1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
2.应用：
〔1〕矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.
简析：AB为定线，∠APB为定角〔90°〕，P点路径为以AB为弦〔直径〕的弧，如下列图，易得DP为2或8。
〔2〕如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为 .
简析：AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下列图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+1+2。 〔3〕A〔2，0〕，B〔4，0〕是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，那么点C的坐标为_____． 简析：作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。 如下列图，易得C点坐标为〔0，22〕或〔0，-22〕。 〔4〕如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C(0, 2),交轴于点A、B，(A点在点左侧),顶点为D. ①求抛物线的解析式及点A、B的坐标; ②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A',试求A'的坐标; ③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC？假设存在,求出点P的坐标;假设不存在,请说明理由. 简析③：定线BC对定角∠BPC=∠BAC，那么P点在以BC为弦的双弧上〔关于BC对称〕，如下列图所示。 三 三点定圆
1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.应用：
ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。
简析：作ΔABC的外接圆，如下列图，易得AD=7+5=12。
四 四点共圆
1.依据：对角互补的四边形四个顶点共圆〔或一边所对两个角相等〕。
2.应用：
如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，假设AP=2，求CF的长。
简析：因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下列图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。
五旋转生圆
1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD〔点D、P在直线两侧〕，假设AB边绕点P旋转一周，那么CD边扫过的面积为_____ 。
简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下列图。
2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置，那么线段AB扫过区域的面积为_____。
简析：扫过的阴影局部旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。
六 动圆综合
1.动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。 如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 那么EF的最小值为 .
简析：图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.
2.动圆+定线：相切时为临界值。
如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DA＝DE, 那么AD的取值范围是 。
简析：因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，那么圆D与BC相切时，半径DE最小。E向B点移动半径增大直至D到B处〔不含B点〕，得2≤AD<3。
3.动弦+定角：圆中动弦所对的角一定，那么当圆的直径最小时此弦长最小。 ：△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，过E作EH⊥AB于H，EI⊥BC于I，连FG、HI，
求证：FG与HI的最小值相等。
简析：可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BE⊥AC，解△OHI可得HI的最小长度。同样可求FG的最小长度。
此题可归纳一般结论：当∠ABC=α，∠ACB=β，BC=m时，FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ。
达标测试：
1.BC＝AC＝6，∠BCA＝90°，∠BDC＝45°，AD＝2，求BD.
2.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α〔0°＜α＜120°〕得到线段AD，连接CD，BD，那么∠BDC的度数为 .
3.如图，在边长为2√3的等边△ABC中，动点D、E分别在BC、AC边上，且保持AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，那么CP的最小值为____.
4.如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE＝DE.
5.当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何欣赏最理想吗？如图，设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米，最低点Q距地面2米，观察者的眼睛E距地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在此处欣赏最理想，那么此时E到墙壁的距离为 米.
6.如图直线y=x+2分别与x轴，y轴交于点M、N，边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点，直线AN与MC交于点P，假设正方形OABC绕点O旋转一周，那么点P到点〔0, 1〕长度的最小值是____.
2021•淮安填压〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并
且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，那么点P到边AB距离的最小值是 ．
【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到
＝
求出FM即可解决问题．
【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．〔点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小〕
∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°， ∴△AFM∽△ABC， ∴
＝
，
∵CF＝2，AC＝6，BC＝8， ∴AF＝4，AB＝∴
＝
，
＝10，
∴FM＝3.2， ∵PF＝CF＝2， ∴PM
∴点P到边AB距离的最小值是1.2． 故答案为1.2．
〔2021•无锡填空倒2〕如图，▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，那么对角线OB长的最小值为 ．
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．那么OB＝
．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由
平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，那么可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC， ∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴， ∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形， ∴∠MAN＝∠NCM， ∴∠OAF＝∠BCD， ∵∠OFA＝∠BDC＝90°， ∴∠FOA＝∠DBC， 在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD． ∴BD＝OF＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴OB＝
．
由于OE的长不变，所以当BE最小时〔即B点在x轴上〕，OB取得最小值，最小值为
OB＝OE＝5． 故答案为：5．
〔2021•南通选压〕如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，那么四边形EFGH周长的最小值为〔 〕
A．5
B．10
C．10
D．15
【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB＝10、GG′＝AD＝5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．
【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如下图． ∵AE＝CG，BE＝BE′， ∴E′G′＝AB＝10， ∵GG′＝AD＝5， ∴E′G＝
∴C四边形EFGH＝2E′G＝10应选：B．
＝5．
，
〔2021•镇江选压〕如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝〔k＞0〕的图象交于A，B两点，点P在以C〔﹣2，0〕为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，OQ长的最大值为，那么k的值为〔 〕
A．
B．
C．
D．
【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B〔t，2t〕，那么CD＝t﹣〔﹣2〕＝t+2，BD＝﹣2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【解答】解：连接BP， 由对称性得：OA＝OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为， ∴BP长的最大值为×2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP＝1， ∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B〔t，2t〕，那么CD＝t﹣〔﹣2〕＝t+2，BD＝﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝〔t+2〕2+〔﹣2t〕2， t＝0〔舍〕或﹣， ∴B〔﹣，﹣〕，
∵点B在反比例函数y＝〔k＞0〕的图象上， ∴k＝﹣应选：C．
〔2021•无锡〕如图，∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域〔包括各边〕内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，那么a+2b的取值范围是 ．
＝
；
【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a+2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°， ∴EP＝OD＝a，
Rt△HEP中，∠EPH＝30°， ∴EH＝EP＝a，
∴a+2b＝2〔a+b〕＝2〔EH+EO〕＝2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝1，即a+2b的最小值是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1+＝，即〔a+2b〕的最大值是5， ∴2≤a+2b≤5．
〔2021•苏州〕如图，AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为 〔结果留根号〕．
【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°设PA＝2a，那么PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝
〔4﹣a〕，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：连接PM、PN．
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°， ∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°， ∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°， ∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，那么PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝∴MN＝
＝
〔4﹣a〕， ＝
，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2故答案为2
．
，
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