中考体系-104.一次函数与线段最值(最全,含答案)

一、 线段最值与轴对称

二、 线段最值与点到直线距离 三、 线段最值与自变量取值范围

一、 线段最值与轴对称

1、B5，7的距离分别为AP、1. 【易】在平面直角坐标系中，x轴上的动点P到点A1，BP，求当APBP最小时的P点坐标是（ ）

320 0 0 A．2， B．， C．，23【答案】B

0 D．1，2，B2，4，2. 【易】在直角坐标系中，已知点A3，在x轴上找一点C，使ACBC最短，则点C的坐标为（ ）

540 0 A．， B．，83【答案】B

0 C．4，

40 D．，34，B4，2，在x轴上取一点P，使点P到3. 【易】在平面直角坐标系中，点A2，点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）

0 A．2，【答案】C

0 B．4，

0 C．2，

0 D．0，3，B6，5，则ACBC4. 【易】已知在平面直角坐标系中，C是x轴上的点，点A0，的最小值是（ ） A．10

B．8

C．6

D．210 【答案】A

2，B3，3两点，现另取一点Ca，1，当a5. 【易】在平面直角坐标系中，有A1，（ ）时，ACBC的值最小． A．2

5B．

3 C．

11 4 D．3

【答案】A

1 / 31

6. 【易】在直角坐标系中有A、B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A、B的距离

之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（ ）

yAyA．

O(C)Bx B．

CAB

xOyyAC．

CABOxB D．

OCx

【答案】C

7. 【易】（2010北京三十一中期中）如图，点A的坐标为1，0，点B在直线yx上运

动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ） A．0，0

11B．，

22

22，C．2 211D．，

22

【答案】B

8. 【易】（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别

0，P是OB上的一在x轴，y轴的正半轴上， 点D在OA上，且D点的坐标为2，个动点，试求PDPA的最小值是（ ） A．210

B．10

C．4

D．6

2 / 31

yCPODAxB

【答案】A

9. 【易】（郑州市八年级数学基本知识与基本技能竞赛预赛试题）

3，B0，1，点P是x轴上的动点，则当PAPB的值最小直角坐标系中，点A4，时，点P的坐标为__________． 【答案】P1，0

10. 【易】（郑州市2010年上期期中考试八年级数学调研试题）

1、B5，7的距离分别为AP和在平面直角坐标系中，x轴上一动点P到定点A1，BP，那么当BPAP最小时，P点坐标为_______________．

3【答案】，0

2

1，P是x轴上一点，当P的坐标11. 【易】在平面直角坐标系中，已知A1，4、B3，为________，APBP取最小值，最小值为____________；当P的坐标为________，

APBP取最大值，最大值为________

1311【答案】，0，29；，0，13

53

1，B2，3 12. 【易】在直角坐标系中，有两点A1，⑴ 若M为y轴上的一点，且MAMB，求M点的坐标

⑵ 若N为x轴上的一点，且NANB最小，求N的坐标

11【答案】⑴ M0，

41⑵ N，0

4

13. 【易】已知点A3,4和B2,1，在y轴上求一点P，使PA与PB的和最小．

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1连结点A、B，与y轴交于点P， 【答案】取点B关于y轴的对称点B2，根据对称性，P就是所求作的点．用待定系数法求得直线AB的解析式是yx1，进而求出点P的坐标是0，1．

14. 【中】如图，在直角坐标系中有线段AB，AB50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为___________

yBAOx

【答案】50550cm

15. 【中】（2012年莆田）点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建

立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PAPB的值最大的点，Q是y轴上使得QAQB的值最小的点，则OPOQ________．



【答案】5

16. 【中】（2009年北京四中初二上期中）

⑴请画出△ABC关于y轴对称的△ABC（其中A，B，C分别是A，B，C的对应点，不写画法），并写出A，B，C三点的坐标：A(_____)，B(_____)，C(_____)． ⑵在y轴上求作一点P，使PAPB最小（写出作法）．

4 / 31

yABOxC2 3，B'3，1，C'1，【答案】⑴ 图略，A'2，

⑵ 作法：作点A关于y轴的对称点A'，连结A'B交y轴于P，点P即为所求．

17. 【中】（天津河西区2011年第一学期八年级期末质量调查数学试卷）已知点P坐标是

4，0，点Q坐标是6，2，在直线yx上找一点M，使得△QMP的周长最小，则

点M的坐标为_________．

3 【答案】M3，

18. 【中】（2009年日照市中考）如图，点A的坐标为1，0，点B在直线yx上运动，

当线段AB最短时，点B的坐标为___________

y B A O x

11【答案】，

22

19. 【中】在直角坐标系中，x轴上的动点Mx,0到定点P5,5、Q2,1的距离分别

为MP和MQ，那么，当MPMQ取最小值时，点M的横坐标x=___________． 【答案】取点Q关于x轴的对称点Q2,1，当点P、M、Q'三点共线时，MPMQ

最小，直线PQ'的解析式为：y2x5，令y0，则x

5． 23、B3，1、C0，n、Dm，0，当四边形20. 【中】在直角坐标系中，有四个点A1，ABCD的周长最小时，mn的值为_________．

5 / 31

【答案】由A、B两点固定可知，AB的线段长度固定，故只需考虑BCCDAD的

1、3，长度，取点B关于x轴的对称点B3，点A关于y轴的对称点A1，易知当A、D、C、B四点共线时，BCCDAD的长度最小，最小值为

AB．

2、D2，0，易知直线AB的解析式为：yx2，此时C0，故mn4．

3、B4，5、C0，n、Dm，0，当四21. 【中】在直角坐标系中，有四个点A8，m的值为_________． n【答案】由A、B两点固定可知，AB的线段长度固定，故只需考虑BCCDAD的

边形ABCD的周长最小时，

长度，取点B关于y轴的对称点B4,5、点A关于x轴的对称点

A8，3，易知当A'、D、C、B'四点共线时，BCCDAD的长度最小，最小值为AB． 易知直线A'B'的解析式为：ym3． n27277x，此时C0,、D,0，故

3332

22. 【中】（2013江苏苏州）

轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为

13，3，点C的坐标为，0，点P为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为

2（ ）

yBP

AxOC1331319 B． C． D．27 222【答案】B

【解析】解：如图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D

作DNOA于N，连接AD交OB于点M，则此时PAPC的值最小．

A． 6 / 31

DyBM

POCNAx∵DPPA，

∴PAPCPDPCCD． ∵B3，3，

∴AB3，OA3，B60． 由勾股定理得：OB23．

11由三角形面积公式得：OAABOBAM，

2211即3323AM． 2233．∴AD23．

22∵AMB90，B60，

∴BAM30，∵BAO90，∴OAM60．

∴AM13∵DNOA，∴NDA30，∴ANAD．

2233由勾股定理得：DN33．

2222131∵C，0，∴CN31．

22233312在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC． 1222即PAPC的最小值是

31． 21、B3，1、C6，0，点P23. 【中】（2010北京延庆初二上期末）已知：三点A2，为x轴上一动点.

⑴ 当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标； ⑵ 求证：AOCBCO45；

⑶ 当APB35时，求OAPPBC度数.

7 / 31

y321-2 -1O-1-21 2 3 4 5 6x

1. 【答案】⑴ 如图3，作点A关于x轴的对称点A'，可得A'2，连结A'B交x轴于点P.

设直线A'B的解析式为ykxbk0, 可得此直线的解析式为y2x5.

5. 2当APBP取得最小值时，可得△OAP与△CBP周长的和取得最小值，此时，

当y0时，x5点P的坐标为，0.

2y321-2 -1O-1-2A BC1 2 3 4 5 6PA'图3

x⑵ 如图4，设AA'交x轴交于点K.连结OA'、OB、AB，作BM⊥OC于M.

∵A'KAKAB1，OKA'A'AB90，OKAA2, ∴△OKA≌△AAB.

∴OA'A'B，OA'KABA'.

∵在Rt△AAB中，ABA'AA'B90， ∴OA'B90.

∴△OA'B为等腰直角三角形.

∴BOA'BOCA'OC45. ∵BM⊥OC，OMMC3， ∴OBBC.

∴BOCBCO. ∵AOCA'OC，

∴AOCBCOBOCAOC45.

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y321-2 -1O-1-2A BCKM1 2 3 4 5 6A'图4

x⑶ 如图5，当APB35时，

OAP+PBC360(AOCBCO)(APOBPC) 36045(18035)170.

y321-2 -1O-1-2A BC1 2 3 4 5 6P

x图5

24. 【中】（成都石室中学初2014级2012年下期期末考试）

如下图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且ACBD3m，CD8m．

⑴ 牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？运用所学知识在图中作出该点并标为点M；

⑵ 试用勾股定理有关知识求出最短路程是多少？

AB

CD小河【答案】⑴ 如下图：作A关于小河的对称点A，连接AB，AB与小河的交点即为所

求点M

AB小河DCA'M

⑵ 最短路程为10m

25. 【中】（河南省郑州市2012年九年级第二次质量预测）

9 / 31

1与直线l2:ymx如图，直线l1:ykx－1交于点P1，0， 2⑴ 分别求直线l1和l2的表达式

⑵ 直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……动点依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3…，Bn，An，……

①求点B1，B2，A1，A2的坐标；

②请你直接写出当动点C到达A6处时，运动的总路径的长。

yOPAA1B1B2l2A2l1x

【答案】解：⑴由题意，得k10，解得：k1.

∴直线l1的表达式为yx1． ∵点P(1,0)在直线l2上，∴m110．∴m． 22∴直线l2的表达式为y11x. 22⑵① 由题意得A点坐标为 (0，-1)，则B1点的纵坐标为-1， 设B1(x1,1)，∴11x1．∴x11． 22∴B1点的坐标为(1,1)．

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∴A1点的横坐标为1，

设A1(1,y1)，∴y1112．∴A1点的坐标为 (1,2)． 同理，可得B2(3,2),A2(3,4)．

②当动点C到达A6处时，运动的总路径的长为： 126.

26. 【中】（2009年北京二中期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的

角平分线． 实验与探究：

3、C2，5关由图观察易知A0，2关于直线l的对称点A的坐标为x，y，B5，于直线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：

B__________、C__________； 归纳与发现：

b关于第一、三结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点Pa，象限的角平分线l的对称点P的坐标为__________；

运用与拓广：

已知两点D1，3、E1，4，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

76ylC54321AAO12'B-6-5-4-3-2-1-1-2-33456xE'-4-5-6D'(第22题图）

5，C5，2 【答案】实验与探究：B3，归纳与发现：Pb，a

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1313运用与拓广：Q，

77

27. 【中】已知：直角坐标平面上两点A2，2，B1，4，P为x轴上一点。

⑴ 求当BP＋AP的值最小时，P点的坐标；

⑵ 求当BP－AP的值最大时，P点的坐标。

y B4 A2 2P1PnxA'【答案】⑴解：根据A2，2，B1，4，可得直线AB:y2x2

∴求得与x轴交点P的坐标为1，0 ∴此时，BPAP的值最小

⑵解：根据A2，2，B1，4，可得直线AB:y∴求得与x轴交点P的坐标为5，0 ∴此时BPAP的值最大

y 4B A2 210x 33 P2Pnx

28. 【中】⑴ 如图⑴，在x轴上有一点C，使△ABC的周长最短，求最短周长的值．

⑵ 如图⑵，在x轴上一点C，在y轴上找一点D，使ADCDBC值最小，求最小值．

⑶ 如图⑶，点C的坐标为3,y，使△ABC的周长最短，求最短周长的值．

12 / 31

⑴ ⑵ ⑶ 【答案】⑴如图⑴，AB'(31)2(13)22025

AB(31)2(13)2822

ABACBCABACB'CABAB'2225 ⑵如图⑵，ADCDBCA'B'(13)2(31)242 ⑶如图⑶，ABBCACABB'CACABAB'513

29. 【难】（2013江苏苏州）

轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为

13，3，点C的坐标为，0，点P为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为

2（ ）

yBP

AxOC1331319 B． C． D．27 222【答案】B

【解析】解：如图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D

作DNOA于N，连接AD交OB于点M，则此时PAPC的值最小．

A． 13 / 31

DyBM

POCNAx∵DPPA，

∴PAPCPDPCCD． ∵B3，3，

∴AB3，OA3，B60． 由勾股定理得：OB23．

11由三角形面积公式得：OAABOBAM，

2211即3323AM． 2233．∴AD23．

22∵AMB90，B60，

∴BAM30，∵BAO90，∴OAM60．

∴AM13∵DNOA，∴NDA30，∴ANAD．

2233由勾股定理得：DN33．

2222131∵C，0，∴CN31．

22233312在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC． 1222即PAPC的最小值是

31． 230. 【难】如图1，△OAB的一边OB在x轴上，OA7，AB42，OAB45

⑴ 求点A的坐标；

⑵ 如图2，点P、M、N分别是△OAB的三边OA、AB、OB上的动点，求△PMN周长的最小值

14 / 31

yA45°742yAPM

xO图1BxON图2B【答案】⑴ 过点B作BDOA于点D，过点A作AEOB于点E

yA45°7DOEBx42

易得△ABD为等腰直角三角形，因此ADBD4，在Rt△OBD中，OB5

11282128因为S△OABOABDOBAE，解得AE，得A，

52255⑵ 先假设点N为定点，过点N分别作关于直线OA和AB的对称点，如下图

yAP1PMP2ONBx

根据“将军饮马”模型可知：当这三条线段成为一条直线时，线段和最小，如图P1AP2AN，P1AP2A，P1AP290因此当AN最1P2即为最小，而AP小时，AP1最小，即P1P2最小。当ANx轴时，如下图，AN最小，此时PP2AP2AN121282 5 15 / 31

yP1APMP2

ONBx

31. 【难】（北大附中期末试题）如图，在直角坐标系中，直线y3x2分别交x轴、y3轴于C、A两点.将射线AM绕着点A顺时针旋转45得到射线AN.点D为AM上的动 点，点B为AN上的动点，点C在MAN的内部. ⑴ 求线段AC的长；

⑵ 当AM//x轴，且四边形ABCD为梯形时，求BCD的面积； ⑶ 求BCD的周长的最小值；

⑷ 当BCD的周长取得最小值，且BDy52时，求BCD的面积. 3AODMCNx

B【答案】⑴ 令y3x2中x0，得y2，故A(0,2). 3令y0，得x23，故C(23,0)

由勾股定理可得，ACOA2OC222(23)24

⑵ 当AM//x轴，且四边形ABCD为梯形时，若AD//BC，则OBOA2. BCOCOA232，SBCD1BCOA232 2若AB//CD，设射线AN与x轴的交点为E，则S△BCDS△ECD232. ⑶ 作点C关于AM、AN的对称点C'、C''.

由两点之间线段最短可知，△BCD的周长的最小值为C'C''. 易知，C'AC''为等腰直角三角形，AC'4，故C'C''42 即△BCD的周长的最小值为42. 16 / 31

⑷ 当△BCD的周长取得最小值，且BDBCCD，

222故BCCDBD572时，有BCCD2，且3350124222(BCCD)(BCCD)，BCCD9. 92S△BCD11244BCCD. 2293

32. 【难】（2011年湖北咸宁市中考）如图，在平面直角坐标系中，直线yx轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩

4x4分别交3形．

，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标； ⑴ 直接写出点A⑵ 动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，

5动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作

3PHOA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒． ①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；

②点Q是点B关于点A的对称点，问BPPHHQ是否有最小值，如果有，求出相

应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

y B P M A H x A O （备用图1）

x A O （备用图2）

x y B D y B D C D C C

【答案】⑴ A3，0，B0，4．

当y2时，

43x42，x． 323所以直线AB与CD交点的坐标为，2．

23 ⑵ ①当0＜t＜时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积．

2过点M作MNOA，垂足为N．

17 / 31

y B P M A N H O x D C

△ABO，得由△AMN∽ANAM． AOAB5t∴AN3．∴ANt．

3512(3tt)32t． 2当32t1时，t1．

∴△MPH的面积为

3当＜t≤3时，设MH与CD相交于点E，△MPH与矩形AOCD重合部分的2面积即△PEH的面积．

过点M作MGAO于G，MFHP交HP的延长线于点F．

y B F D P M E C

x A H G O

FMAGAHAMcosBAO(AOHO)

53t(3t)2t3． 35544HFGMAMsinBAOtt．

353PEHP由△HPE∽． △HFM，得

FMHFPE26t9∴2t34．∴PE．

t2t316t96t9∴△PEH的面积为2．

22t2t 18 / 31

当

6t991时，t． 2t49． 4综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，t为1或②BPPHHQ有最小值．

连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形． ∴BPCH．

∴BPPHHQCHHQ2．

当点C，H，Q在同一直线上时，CHHQ的值最小． ∵点C，Q的坐标分别为(0,2)，(6,4)， ∴直线CQ的解析式为yx2， ∴点H的坐标为(2，0)． ∴点P的坐标为2，2．

4）33. 【难】（2012广西南宁中考）已知点A（3，，点B为直线x1上的动点，设B1,y．

0且1x3，BCAC，求y与x之间的函数关系式； ⑴ 如图1，若点Cx，⑵ 在⑴的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由； ⑶ 如图2，当点B的坐标为1,1时，在x轴上另取两点E，F，且EF1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐

标．

【答案】解：⑴如图1，过点A作AEx轴于点E．

19 / 31

在△BCD与△CAE中，

∵BCDCAE90－ACE，BDCCEA90， ∴△BCD∽△CAE， ∴BD:CECD:AE，

1x＜3， ∵A3，4，B1，y，Cx，0且－＜:3－x）（x1）:4， ∴y（∴y⑵y有最大值，最大值为1．理由如下： ∵y1213xx－1＜x＜3； 4241213131xx(x22x)(x1)21 424444又∵1x3，

∴当x1时，y有最大值1；

⑶如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA，使AA1，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF1，则此时四边形ABEF的周长最小． ∵A3，4，∴A2，4，

1，∴B1，1． ∵B1，设直线AB的解析式为ykxb，

2kb4则，

kb15k3解得．

2b3∴直线AB的解析式为y52x， 33 20 / 31

522x0，解得x． 335故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的

当y0时，2坐标为，0．

5

二、 线段最值与点到直线距离

0，点B在直线y2x4上34. 【易】（2012广西北海中考）如图，点A的坐标为1，运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________

y B A O x 【答案】（

35. 【中】（2012北京中考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1x1,y1与

76，－） 55P2x2,y2的“非常距离”，给出如下定义：

若x1x2≥y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为x1x2； 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为y1y2.

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PP例如：点P11,2，点P23,5，因为1325，所以点1与点2的“非常距离”

为253，也就是图1中线段PQ与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的1直线PQ与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。 1

⑴ 已知点A1,0，B为y轴上的一个动点， 2①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与B点的“非常距离”的最小值； ⑵ 已知C是直线y3x3上的一个动点， 4①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。

【答案】⑴ ①0，2或0，2

1② 23⑵ ①设C坐标x0，x03

483∴当x0x02，此时x0，

74 22 / 31

8815∴距离为，此时C，.

77733483489②E，，x0x03，∴x0 ∴C，

54555555最小值1

36. 【中】（2012福建厦门中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，

连结AB. 如果点P在直线yx1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“邻近点”．

75⑴ 判断点C,是否是线段AB的“邻近点”，并说明理由；

22⑵ 若点Qm，n是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．

y42A B

O2图946x75【答案】⑴解：点C, 是线段AB的“邻近点”.

2275∵1， 2275∴点C,在直线yx1上.

22∵点A的纵坐标与点B的纵坐标相同， ∴ AB∥x轴.

575∴C,到线段AB的距离是3，

222511， 2275∴C,是线段AB的“邻近点”.

22∵3⑵解1：∵点Qm,n是线段AB的“邻近点”， ∴ 点Qm,n在直线yx1上， ∴ nm1. 当m≥4时，

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有nm1≥3. 又AB∥x轴，

∴ 此时点Qm,n到线段AB的距离是n3. ∴0≤n31. ∴ 4≤m5. 当m≤4时， 有nm1≤3 又AB∥x轴，

∴ 此时点Qm,n到线段AB的距离是3n. ∴0≤3n1. ∴ 3m≤4.

综上所述，3m5.

解2：∵点Qm,n是线段AB的“邻近点”， ∴ 点Qm,n在直线yx1上， ∴ nm1 又AB∥x轴，

∴ Qm,n到直线AB的距离是n3或3n， 当0≤n31时， 即 当0≤m131时， 得 4≤m5.

当0≤3n1时， 有0≤3m11时， 得 3m≤4.

综上所述，3m5.

三、 线段最值与函数取值范围

37. 【易】（广州市花都区2013中考一模试题）

如图，已知直线l:y2x2与x轴、y轴分别相交于A、B两点 ⑴ 求点A、B的坐标；

⑵ 把直线l绕点B顺时针旋转90得直线l，作出直线l，并在直线l标出点A的对应点A的位置

⑶ 求由直线l、l和x轴所围成的三角形的周长

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ylB

AOx【答案】解：⑴ A1，0，B0，2

⑵ 作图如下：

yA'Bl

AOl'Cx直线l和点A即为所求

⑶ 设直线l与x轴相交于点C

在Rt△ABO中，ABAO2BO212225 ∵ABCAOB90，AA， ∴△ABC∽△AOB

ABAO，又因为AO1 ACAB∴AC5

∴

在Rt△ABC中，BCAC2AB252△ABC的周长为ABBCAC355

5225

38. 【易】（2010年下学期江岸区考试）

如图，直线AB交x轴正半轴于点Aa,0，交y轴正半轴于点B0,b，且a、b满足a44b0 ⑴ 求A、B两点的坐标；

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⑵ D为OA的中点，连接BD，过点O作OEBD于F，交AB于E，求证∠BDO =∠EDA；

yBFODEAx

⑶ 如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.

yBMOAPx

Q【答案】⑴ 根据非负性，易得ab4，则A4,0,B0,4

⑵ 证明：作CAAO交OE的延长线于C点 由题意得，△OBA为等腰直角三角形

yBFODEC

AxOBOA,OFBD

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OBDAOC

OBDAOC OBOABODOAC△BOD≌△OAC

BDOC,ACOD ∵D为AO中点 ODDAAC

DAACEACEAD45 AEAE△AED≌△AEC，EDAC EDABDO ⑶不变，OQ4

39. 【中】（2010广东中山）如图⑴，⑵所示，矩形ABCD的边长AB6,BC4，点F在

DC上，DF2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： ⑴ 说明△FMN∽△QWP；

⑵ 设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？ ⑶ 问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

DPMQAN图（1）BAMQN图（2）BWPWFCDFC

【答案】⑴由题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，

∴PW是ΔFMN的中位线，即PW//MN

QW∥MF 同理PQ∥FN，∴ΔFMN∽ΔQWP

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⑵由题意可得DMBNx，AN6x，AM4x，

DPMQANBWFEC

由勾股定理分别得 FM242x2，

MN24x6x FN24x16

①当MN2FM2FN2时，4x6x4x24x16 解得 x2222224 3222②当FN2FM2MN2时，4x164x24x6x 此方程无实数根

③FM2FN2MN2时，42x24x6x4x16 解得x110（不合题意，舍去），x24 综上，当x2224或x4时，△PQW为直角三角形； 344当0≤x＜或x4时，△PQW不为直角三角形

33⑶①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x4时，MN的值最小，

等于2；

②当4＜x≤6时，MN2AM2AN2x46x

222x52

当x5时，MN2取得最小值2， ∴当x5时，线段MN最短，MN

40. 【中】(顺义区2010届初三第一次统一练习)

22．

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ymx如图，直线l1：ykxb平行于直线yx1，且与直线l2：

1 相交于点P(1,0)．

2⑴ 求直线l1、l2的解析式；

⑵ 直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，… ①求点B1，B2，A1，A2的坐标；

②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标；并求当动点C到达An处时，运动的总路径的长．

l1A2B3A1AB1POxB2l2y

【答案】⑴ 直线l1与直线yx1平行，则可得k1，又直线l1过P点，则可得-1+b=0，

则b=1，又直线l2也过P点，则m110，m，因此l1,l2的解析式分22别为yx1,y11x 221，A11，2，B2(3，2)，A2(3，4) ⑵ 易得B11，n2n，Bn2n1，2n1 归纳可得An21，当C到达An处时，运动的总路径的长为2n12

41. 【中】在直角坐标系中，有两个点A6，3，B2，5．

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⑴ 在y轴上找一个点C，在x轴上找一点D，画出四边形ABCD，使其周长最短(保留作图痕迹，不要求证明)；

⑵ 在⑴的情况下，求出C、D两点的坐标．

yBA

Ox【答案】⑴ 解：①作图正确找出A6，3．

5． ②作图正确找出B2，③顺次连接ABCD．

yBACOxB'

DA'⑵ 设CD所在直线的表达式为ykxb．

由于A、B在直线CD上， 有36kb

52kbk1 解得b3∴CD所在直线表达式为yx3，

3． 它与x轴交于D3，0与y轴交于C0，

42. 【难】（2012年无锡市中考题）

对于平面直角坐标系中的任意两点P我们把|x1x2|y1y2叫1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P2两点间的直角距离，记作d(PP2)． 做P1、1， 30 / 31

⑴ 已知O为坐标原点，动点P(x,y)满足d(O,P)1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；

⑵ 设P0(x0,y0)是一定点，Q(x,y)是直线yaxb上的动点，我们把d(P0,Q)的最 小值叫做P0到直线yaxb的直角距离．试求点M(2,1)到直线yx2的直角距离．【答案】⑴由dO，P1得|x||y|1，分类讨论去掉绝对值符号得

x1(x≥0,y≥0)x1(x＜0,y≥0)y

x1(x≥0,y＜0)x1(x＜0,y＜0)函数图象如右图

yy1Ox11-1O-1x1

⑵∵d(M,Q)|x2||x21||x2||x1|,当1≤x≤2时，原式取最小值3．

1到直线yx2的直角距离为3． ∴点M2，

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