合情推理第一课时教学过程简录及反思

No.1-22011

“合情推理（第一课时）”教学过程简录及反思江建国（浙江省丽水学院附属高级中学）郭楚明（湖北省浠水县实验高级中学）摘要：学生对归纳推理与类比推理有着丰富的感知，借助生活概念原型，概括其特征形成科学概念；在识别、举例中深化对概念外延的理解；在欣赏名人名猜中感悟合情推理的作用及局限性；基于生活概念的“数学化”凸显数学本质.

关键词：合情推理；数学化；个人认知；学科逻辑

教学指导意见》对教学要求的陈述分两个层次，基本要求是：“了解合情推理的含义、结构和基本类型；能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发展中的作用；结合具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.”发展性要求是：“了解不完全归纳法，并能根据不完全归纳法猜想一些结论；能回顾整理一些已学的典型数学结论.”在说明中

2009年5月丽水市举行高中数学青年教师优质课大奖赛，课题是“推理与证明（第一课时）”和“三视图（第一课时）”，丽水学院附属高级中学一名青年教师代表市直学校参赛，抽到的课题是前者，虽说只有一人参赛，但学校数学组却以此为契机，以“磨课”为抓手，推动整个数学组的教研活动蓬勃开展.在这次活动中我们不仅打造了一堂精品课，同时全体教师还亲历了一次“备课、听课、评课再改进”的有深度的教研活动.

一、研讨过程中争议较大的问题

在磨课过程中争论较多、分歧较大的问题主要有以下四个方面.

1.课时教学内容确定

根据普通高中课程标准实验教科书数学2-2《教师教学用书》的学时安排“合情推理与演绎推理”共三课时，浙江省《数学学科教学指导意见》的安排是“合情推理”一课时，“演绎推理”两课时.第一课时究竟上哪些内容是磨课过程中争论的第一个焦点.

2.教学目标定位

“合情推理”是课改后的新增内容，《教师教学用书》中对教学目标的表述是：“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.”浙江省《数学学科

收稿日期：2010-11-30

明确提出：“利用合情推理开展一些数学探究.”如何把教学目标细化、具体化？侧重点是知识层面的概念，还是方法层面的如何推理，抑或是态度价值观层面的“用数学的眼光看世界”，是争论的第二个焦点.

3.章头图和章引言如何处理

新教材每章都配有章头图和章引言，对这部分内容的教学处理经验不足，尚未形成比较统一的意见，分歧主要是：要不要在第一节课中体现出来？怎样体现？

4.如何处理生活中的推理与数学推理间的关系

推理属于思维方法范畴，不仅在数学中需要推理，生活中也离不开推理，学生对推理有丰富的感性认识，如何将学生的生活概念“数学化”？

二、教学过程简录1.情境导入，提出问题

上课开始教师展示图片：神探狄仁杰探案、考古发掘、医生诊断病人、卫星云图，同时作简单的解说，并提出问题：你认为推理是什么？

学生在教师的启发、引导下总结出“推理”就是根据已知判断得出新的判断.

2.探索新知

由于是在校外借班上课，教师因地制宜，有感而发.

作者简介：江建国（），男，湖北黄冈人，中学高级教师，硕士，主要从事数学教育与中学数学教学研究.1968—

38JIAOXUEPINDAO教学频道①校办的严老师很热情高二（9）班同学很热情

数学组胡老师很热情圯得出：本校的所有人都很热情.｛an｝的前四项，请你猜猜它的第n项的表达式.②已知数列a1=1

a2=5=1×4+1a3=9=2×4+1a4=13=3×4+1

󰀁

󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀃󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀄

󰀁󰀂󰀂󰀂󰀂󰀃󰀂󰀂󰀂󰀂󰀄

课的任务之一.

学生对推理、归纳推理、类比推理和演绎推理有着丰富的体验，在生活、学习中也经常自觉或不自觉地运用，这些经验自然也就成为学生思维的生长点，教师展示四副常见图片，把生活中的推理呈现给学生，让学生感悟在这些不同的场景中蕴含共同的方法———推理，把章头图、章引言、推理的定义有机融合在图片之中，自然、直观、简洁，符合学生的认知规律，还能激起学生的兴趣.

在探索新知中，问题①自然、亲近，拉近了师生间的距离，问题②和问题③是学生熟悉的推理，三个推理的共同特征的概括自然生长出归纳推理的概念.概念形成后，运用概念对推理

圯an=？

③研究集合子集的个数.

｝A=｛a｝B=｛a，b

有子集2个有子集22个

3

M中有n个元素M有子集多少个？

④、推理⑤和推理⑥进行判断辨别，类比推理、演绎推理在学生的认知结构中自然由内隐而显现出来.名人名猜的欣赏把数学文化有机地渗透在数学教学过程之中，赏析后的两个问题“归纳推理的作用是什么？归纳推理的不足是什么？”起到了画龙点睛的作用，至此整个教学内容在学生已有认知基础上脉络清晰地构建而成.

2.在概念形成过程中凸显数学本质

叶澜教授在《重建课堂教学价值观》一文中提出这样的观点，她说每个学科都有两个层面的价值：一是各个学科共通层面的价值———形成学生主动健康发展的意识与能力；二是学科教学层面的价值———学科本身的知识、技能、思想、方法.课程改革是让我们把以往我们淡化的学科共通层面的教育价值给凸显出来，但绝不是否定学科教学层面的价值.高中数学学科教学“对于认识数学与自然界、数学与人类社会层面的价值表现为：

的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础作用.”从生活概念出发，抽象概括出推理、归纳推理、类比推理等科学概念，再运用科学概念辨识生活中的推理，举例说明生活中的推理，让学生经历了生活—数学—生活的过程，体悟数学与生活的联系.概念学习过程往往由四个自低向高逐级发展阶段组成：概念的具体化、概念的掌握、概念的实际应用和概念的分类.通过对生活中不同具体推理的分析、比较、抽象和概括掌握概念，在应用中对概念进行分类，在“数学化”的过程中培养学生的数学思维和数学情感，形成理性思维.

四、启示

教无定法，教亦有法，贵在得法.

何谓得法？所谓得法不外乎这样两点：首先教学设计要符合学生的认知规律；其次教学设计要符合学科规律.

怎么样才能得法？我无法从正面回答这个问题，但是我想照搬教材必定不能得法.要想得法至少做到这样几点：深度解读教材，领会编者的意图；了解学生实际；对学科知识结构的洞悉；对学生认知规律的了解.

｝有子集2个C=｛a，b，c

学生完成问题②和问题③后，教师提问：上述三个推理有什么共同的特征？

学生归纳出三个推理的共同特征：由部分、个别推出整体或一般，再由师生共同口述归纳推理的概念.

请判断下列推理是不是归纳推理？

④麻雀会飞、燕子会飞、老鹰会飞，猜想所有的鸟会飞.⑤由等差数列的通项公式和等差中项得性质：当m+n=s+t

*

（时，有am+an=as+at，由等比数列的通项公m、n、s、t∈N）

式和等比中项猜想等比数列的性质.

⑥所有能被2整除的数是偶数，0能被2整除，所以0是偶数.

通过对上面三个推理特征的分析导出类比推理和演绎推理，其中归纳推理与类比推理统称为合情推理.

3.现身说法

说说身边的归纳推理.具体过程略.4.名人名猜欣赏

向学生介绍欧拉公式的发现、哥德巴赫猜想、费马猜想及欧拉发现的反例.提出问题：归纳推理的作用是什么？归纳推理的不足是什么？

学生通过上述三个著名猜想的欣赏得出：归纳推理可以发现新结论，却不能保证新结论的正确性.

5.小结

说说你的感悟，让大家和你一起分享.具体过程略.三、反思

1.教学引入自然，学生思维自然生长

教学内容的联系体现了学科本身的逻辑结构，学生的认知结构与学科的逻辑结构并非总是一致，如何把逻辑结构体系下的学科内容按照学生的认知顺序进行序列化的设计，是教师备

39

JIAOXUEPINDAO教学频道磨课过程中的争论，在教学设计的改进中渐渐趋于一致.运用四副图片把章头图、章引言嵌合在教学内容之中，是科学与艺术的结合；学生认知过程的长短与文字多少没有多大关联，长达9页的教学内容，照本宣科读一遍，一节课也许难以完成，通过对教材的取舍、重组，不仅在既定课时内完成了教学内容，同时也认识到要进行有效教学，提高课堂效益要敢于改造教材、超越教材.叶圣陶先生说：“教材无非是个例子.”例题的选取、教学流程的安排、学习情境的呈现等都是改造、加工的对象.再就是教学目标定位与如何处理生活中的推理与数学推理的关系，从本质上说是同一个问题，当前应试教育之下，过分重视题型归类和技巧总结，训练学生记题型，套类型，而忽视了数学的，没有难度本质，以致许多教师认为没有技巧就缺少“数学味”就没有深度，殊不知“数学玩的是概念不是技巧”.

“教学相长”说的是教师和学生之间可以互相促进，其实教师之间的交流、沟通、分享对促进教师的专业发展与提高是十分必要的.教学是科学，也是艺术，是艺术就需要雕琢，观众看到的是作品，雕刻者享受的是雕刻过程.新课程理念提出“重结，作为一线教师，听的“优质课”不少，亲身经历果更重过程”

过优质课打磨过程的却不多，教师在专业发展过程中固然要多听“结果”，经历打磨过程恐怕比结果更重要.在打磨过程中可以增进教师之间的交流，增强教研组的凝聚力，对事不对人的讨论有利于形成良好的教研氛围，不同思想的碰撞既能深化对学科知识结构的把握，还能纠正一些不正确的想法.对青年教师而言，优质课不再陌生，能增加信心，还能从打磨过程中感悟如何加工教材，如何研究学生，如何琢磨细节.

参考文献：

［1］渠东剑.让数学活动设计更精当［J］高.中国数学教育（

（6）：9-11.中版），2010

［2］林婷.课堂精彩源于有效生成［J］高.中国数学教育（

（5）：28-30.中版），2010

［3］祝智庭，闫寒冰.怎样备课［M］.上海：华东师范大学

出版社，2009.

［4］徐伯华，涂荣豹.教师个体的研课模式：以“数学归纳

［J］（4）：32-35.法”一课为例.数学教育学报，2010，19［5］浙江省教育厅.数学学科教学指导意见［M］.杭州：浙

江教育出版社，2006.

≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤（上接第37页）

略和方法，突出学科的基本思想，就是让学生学习数学的精髓，学习处理问题的策略和方法.这样做，自然而然可以提高学生学习数学的效率.同时，对优化学生的认知结构也有较大的促进作用.

本节课自始至终都坚持突出“从方程（或函数）来研究椭圆的几何性质”的做法，例如教师下面的话：

师：你认为该椭圆上的点的横坐标的最大值和最小值分别是3和-3，这是为什么？

师：能从方程推出来吗？

师：说得很好!由椭圆的方程可以看出椭圆上的点（x，y）的纵坐标和横坐标满足关系-3≤x≤3，-2≤y≤2.

师：对！从椭圆的方程看，将x换为－x，方程不变；将y换为－y，方程不变；将x换为－x，y换为－y，方程不变，就是表明上述结论成立.

师：好，我们从方程出发用函数的方法证明了我们观察的结果.

这样做的目的就是要突出解析几何的基本思想，不仅如此，而且还训练了学生从方程研究曲线性质的一般途径和技巧.由数形两方面的考察，数与形的相互印证，使得学生对椭圆几何性质的理解得到深化.由此不难看到，突出学科基本思想，必然会突出相应的常规方法和技巧，必然会加深学生对基础知识的理解，从而促进学生数学认知结构的发展.

3.用小问题激发学生的潜能，让学生实现“小发现”和“小创造”

发掘与培养学生的潜能是数学教育的重要任务，创新型人才的培养需要中学数学课堂教学重视学生创造性思维的训练.实践表明，学生具有的创造和发现潜能常常超出老师的想象.

在本节课中，学生的发现和创造可谓比比皆是，如果说从方程发现椭圆的范围和对称性还不算太难的话，那么，由图形发现长轴和短轴的最值性则表现出较高的观察发现能力，而更加让人惊喜的是，学生提出用“a－b”及“b”来表示椭圆的

a扁平程度，并最终通过反例确认“a－b”不能用来表示椭圆的扁平程度.由直觉思维发现结论，再由逻辑思维进行判断，在这一过程中，学生的潜能得以充分展示，也充分享受到了数学发现的乐趣.在课堂教学中，不断地为学生提供这样的机会，激发学生的潜能，使学生的数学学习过程成为发现和创造的过程，经常性的发现和创造会极大地提升学生学习数学的信心和兴趣，同时也使得学生的创造性思维得到长足的发展.

参考文献：

［1］陶兆龙．“对数”教学实录与反思［J］．中国数学教育

（高中版），2009（6）：26-29.

［2］黎银燕．在解决问题的实践中发展对运算的积极情感与

信心：“椭圆及其标准方程”教学案例及其分析［J］．中（6）：18-20.国数学教育（高中版），2010

40