第一章 极限与连续
第三节 极限的求法
[例1]求下列各极限： （1）lim√1−𝑥2
𝑥→0
（2）limcos𝑥 𝜋
𝑥→
4[例2]求下列极限： （1） lim(𝑥2+3𝑥)
𝑥→2
（2） lim
2𝑥3−𝑥2+1𝑥+1
𝑥→1
[例3]求极限lim[例4]求极限lim
𝑥2−16
𝑥→4𝑥−4
√𝑥+6−3 𝑥→3𝑥−3
[例5]求下列各极限： （1） lim（2） lim（3） lim
2𝑥2+𝑥
𝑥→∞3𝑥2+2𝑥+1
5𝑥2+1
𝑥→∞𝑥3−1
𝑥3+𝑥2−2𝑥+5𝑥2+2𝑥+1
𝑥→∞
习题1-3
1.填空：
(1）limcos𝑥=__________. limtan𝑥=__________ : 𝜋
𝑥→
3
𝑥→𝜋
(2) lim𝑥=_________, lim𝑥2=__________ :
𝑥→5
𝑥→−1
(3) lim2𝑥=__________, limlog2𝑥=__________ :
𝑥→0
𝑥→4
(4) lim𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥=__________, lim(𝑥2+1)=__________ : 1
𝑥→
2
𝑥→0
(5) lim(6)lim
2𝑥3+3𝑥+4
𝑥
𝑥→−1
𝑥2−1
=__________ ,lim2𝑥2+𝑥+3=__________ :
𝑥→0𝑥
𝑥→∞𝑥2+1
𝑥3+𝑥
𝑥→∞
=__________ ,lim
𝑥2+1
=_________ :
2.选择：
（1）lim𝑒𝑥=( )
𝑥→0
A.0 B.1 C. 𝑒 D. 𝑒2 （2）limsin𝛼𝑥=,则𝛼的值为（ ） 𝜋
𝑥→
212
A. B. C.2 D.3
2
3
11
（3）若极限lim√𝑥2−2𝑥+5=2√2 ，那么𝛼的值应是（ ）
𝑥→𝛼
A.3 B.-1 C.-1或3 D.1或-3 3.求下列极限： （1）lim𝑥2−16𝑥→4𝑥−4
（2）lim
𝑥−1
𝑥→4𝑥2−1
（3）lim𝑥−3
𝑥→3
𝑥2−9 （4）lim√𝑥+1−2𝑥→3𝑥−3
（5）lim
√𝑥+1−√3−𝑥𝑥→1
𝑥−1 （6）lim𝑥→1
(2
1
𝑥2−1−𝑥−1)
（7）𝑥→∞
lim(√𝑥−1−√𝑥)
（8）𝑥→∞
lim𝑥(√𝑥2+1−𝑥)
4.求下列极限： （1）lim3𝑥2−2𝑥−1𝑥→∞2𝑥2−𝑥+5
（2）𝑥→∞lim𝑥4+1
3𝑥4−1
（3）lim𝑥−𝑥2−6𝑥3
𝑥→∞2𝑥−5𝑥2−3𝑥3
（4）lim
𝑥2−𝑥+2
𝑥→∞3𝑥3+2𝑥+4
5.设𝑓(𝑥)=3𝑥+3𝑥𝑥→2
lim𝑓(𝑥) ,其中𝑥−2
lim𝑓(𝑥)存在，求𝑥−2
lim𝑓(𝑥)
第四节 两个特殊极限
【例1】 【例2】 【例3】 【例4】
求极限lim求极限lim
sin2𝑥𝑥tan𝑥𝑥
𝑥→0
𝑥→0
12𝑥
求极限lim(1+)
𝑥
𝑥→∞
求lim(1+2𝑥)
𝑥→0
1𝑥
习题1-4
1. 填空： （1）若lim（2）若lim（3）lim
sin𝑥𝑥→0𝑘𝑥
=2 ,则K=________ =2 ,则K=________
sin𝑘𝑥2𝑥
𝑥→0
sin3𝑥𝑥
𝑥→0
=________ =________ =________
（4）lim（5）lim
sin(𝜋−𝑥)𝜋−𝑥cos(𝑥−)
2𝑥
𝜋2𝑥→𝜋
𝑥→0
（6）lim(1−)=________
𝑥
𝑥→∞
1𝑥
（7）lim(1+𝑥)𝑥→∞𝑥→0
2𝑥
𝑘2𝑥
=𝑒 ,则K=________
（8）lim(1+𝑥)=________
（9）lim(1−𝑥)=𝑒2，则K=________
𝑥→0
𝑘𝑥
2.选择： （1）极限lim
𝑠𝑖𝑛2𝑚𝑥𝑥2
𝑥→0
（m为常数）的值等于（ ）
1𝑚2
A.𝑚 B.1 C.𝑚2 D.（2）极限lim
sin(𝑥−2)𝑥2−41
𝑥→2
的值等于（ ）
1
A.0 B.1 C.2 D.4 （3）下列运算正确的是（ ） A.lim
sin2𝑥𝑥
𝑥→0
sin𝑥2𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝑥
=1 B.lim
1
sin𝑥𝑥
𝑥→∞
=1 C.lim
𝑥→0
D.lim
𝑥→0𝑥2=1
（4）极限lim(1−2𝑥)𝑥的值等于（ ）
𝑥→0
A.𝑒 B.-𝑒 C.− D. 𝑒
𝑒
11
（5）极限lim(1−2𝑥)𝑥的值等于（ ）
𝑥→0
1
A.𝑒 B.𝑒2 C.−𝑒 D.𝑒2 （6）lim(1−)=𝑒2 ,则K的值等于（ ）
𝑥
𝑘𝑥
11
𝑥→∞
A.2 B.-2 C.11
2 D.−2 （7）下列各式正确的是（ ）
A.lim(1−1)𝑥
=𝑒 B.lim(1+1)𝑥
𝑥→∞
𝑥𝑥→∞
𝑥
=𝑒（8）下列各式正确的是（ ）
A.lim(1+1)𝑥
=𝑒 B.lim(1+𝑥)1𝑥→0
𝑥
𝑥→∞
𝑥=𝑒 3.求极限： （1）lim𝑥−sin𝑥
𝑥→0
𝑥+sin𝑥 （2）limsin3𝑥
𝑥→0
sin2𝑥 （3）lim2𝑥sin1
𝑥→∞
2𝑥 （4）lim𝑥→0
2𝑥cos4𝑥
（5）lim(1+2𝑥
𝑥→∞
𝑥)
1（6）lim(1+𝑥
𝑥
𝑥→0
2
)
（7）lim1
12𝑥+1𝑥→0(1+𝑥)
（8）𝑥→
lim𝜋(1+cos𝑥)−sec𝑥 2
（9）lim(
𝑥−2𝑥→∞
)3𝑥𝑥
𝑥
（10）lim(𝑥−1
2+4𝑥→∞
𝑥+1)
C.lim(1+𝑥)−1
𝑥→0
𝑥=𝑒C.lim(1−𝑥)−
1𝑥→0
𝑥=𝑒 D.lim(1+𝑥)1
𝑥→0
𝑥=𝑒D.lim(1+𝑥)1𝑥→0
𝑥=𝑒
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