线性代数期末试卷及详细答案

一、 填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1、设D1=

3512345 ，

D2=510，则D=

D1OOD2=_____________。

2002、四阶方阵A、B，已知A=

11，且B=2A-12A，则B=_____________。 16323、三阶方阵A的特征值为1，-1，2，且B=A-5A，则B的特征值为_____________。 4、若n阶方阵A满足关系式A-3A-2EO，若其中E是单位阵，那么

2A1=_____________。

5、设11,1,1，21,则t=_____________。 2,3，31,3,t线性相关，

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）

1、若方程

x130x2x2x123614成立，则x是

（A）-2或3； （B）-3或2； （C）-2或-3； （D）3或2； 2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为

（A）ABA3AB+3AB+B； （B）ABA+B=AB；

3223322（C）AE=AEA+E； （D）AB=AB

22223、设A为可逆n阶方阵，则A=

**（A）AE； （B）A； （C）AA； （D）A4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵

nn2A；

100100010（A）； （B）； 002011

011010（C）101； （D）002；

1000015、下列命题正确的是

（A）如果有全为零的数k1, k2 k3,，m 线性无关； （B）向量组1,2，

，m 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,2，

，

,km, 使k11k22kmm，则1,2，

m线性相关；

（C）向量组1,2，（D）向量组1,2，6、1,2， 1=2+3+

，m 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； ，m线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

，m为两个n维向量组，且

，m和1，2，+m +m

2=1+3+

m=1+2++m1

则下列结论正确的是 （A）R1 ,2,（B）R1 ,2,（C）R1 ,2,,mR1,2,,mR1,2,,mR1,2,,m ,m ,m

（D）无法判定

7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有

（A）A=E （B）A相似于E （C）AE （D）A合同于E

8、若1,2,3,4是线性方程组AXO的基础解系，则1+2+3+4是AXO的 （A）解向量 （B）基础解系 （C）通解； （D）A的行向量；

9、1, 2都是n阶矩阵A的特征值，12，且X1和X2分别是对应于1和2的特征向量，当k1, k2满足什么条件时，Xk1X1k2X2必是矩阵A的特征向量。

2

（A）k10且k20； （B）k10，k20 （C）k1k20 （D）k10而k20

11010、下列哪一个二次型的矩阵是130 0002222（A）f(x1,x2)x12x2x23x2； （B）f(x1,x2)x1x1x23x2;

2222(C)f(x1,x2,x3)x12x2x23x2; (D)f(x1,x2,x3)x1x1x2x2x33x2;

三、计算题（每小题9分，共63分）

1、设3阶矩阵，A=22， B=2，其中，，2，3均是3维行向量，且已知333行列式A=18，B=2，求A+B 2、解矩阵方程AX+B=X，其中

01011 ，B20

A=111101533、设有三维列向量组

1110， =1， =1，=

1=1232111为何值时：

（1）可由 1，2，3线性表示，且表示式是唯一的； （2）不能由 1，2，3线性表示；

（3）可由 1，2，3线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。

4、已知四元非齐次线性方程组AX=满足R(A)3，1，2，3是AX=的三个解向量，其中

214012， 23

0324求AX=的通解。

1a10005、已知A=B，且A=a1b，B=010 1b1002求a , b

6、齐次线性方程组

2x1x23x30x13x24x30 x2xax021中当a为何值时，有非零解，并求出通解。

2227、用正交变换法化二次型f(x1,x2,x3)4x14x24x34x1x24x1x34x2x3为标

准型，并求出正交变换。 四、证明题（7分）

设A为m×n矩阵，B为n 阶矩阵，已知R(A)n 证明：若AB=O，则B=O

《线性代数》期末考试题A题参考答案与评分标准

一、 填空题

1、-10； 2、81； 3、4，6，12； 4、

1A3E； 5、5； 2一、 二、单项选择题(每小题2分，共20分)

题号 1 2 C 3 D 4 B 5 C 6 C 7 C 8 A 9 D 10 C 答案A 番 号 一、 三、计算题(每小题9分，共63分)

++1、A+B=32=122 （2分）

433 =122+122 （4分）

33 =22+122 （7分）

33 =2×18+12×2=60 （9分） 2、AX+BXEAXB （2分）

11EA110010130 （3分） 2 XEAB （5分）

EA10211 （7分）321

3011

021113112020 （9分）X321

301153113、设k11k22k33

1+11111A11+1(+3)11+1=2(+3)0 111+111+0且3时，方程组有唯一解

即可由 1，2，3唯一线性表示， （2）当=3时

 A=21101213121311290112

0006R(A)=2， RA=3 无解

即当=3时，不能由 1，2，3线性表示 （3）当=0时

A11101110=11100000100000

11R(A)= RA=1<3 有无穷组解 1基础解系为：111， 2001

c1c2 通解为 Xcc1122c1

c2当=0时 可由 1，2，3线性表示为无穷多种形式

(c1c2)1c12c23 c1，c2为任意常数 4、R(A)= 3 <4 AX= 的基础解系含一个解 Ai （i=1，2，3）

6分） 9分）

2分）

（ （ （

211404设(12)(23)0 （4分）

03324214 为基础解系 （6分）

32A1211122A12A2

1U122012 为特解 0 11c故AX的通解为XU24c0c c为任意常数 3c12c5、

AB EAEB

1a1EAa1b332(2a2b2)(ab)2 1b100EBa10(1)(2)3322 002332(2a2b2)(ab)23322 比较同次幂系数有

2a2b22ab)0 (2解之， 得 ab0 6、A213011134101 12a00a38分） 9分） 2分）

4分）

6分）

(8分) 9分）

3分）

（

（（ （ （ （ （

当a3时， RA=2<3 有非零解 （5分）

1基础解系为1 （8分）

1通解为 Xc c为任意常数 （9分）

4227、EA242(2)2(8)0 224特征值为18， 232 1特征向量为 ，101120，31 111111正交单位化为 1131，1012 122，3161标准型为 f8y22212y22y3 111326正交变换为X12306Y 113216四、证明题（）

B1,2,,n

ABA1,2,,nA1,A2,,AnO Ai (i1,2,,n)

B的每一列向量为齐次方程组AX的解 由于RAn AX只有零解

BO

3分）

4分）

6分）

7分） 8分）

9分）

2分）

4分）

（ （ （ （ （ （ （ （

线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

11. 若03521x0，则__________。 21x1x2x302．若齐次线性方程组x1x2x30只有零解，则应满足 。

xxx02313．已知矩阵A，B，C(cij)sn，满足ACCB，则A与B分别是 阶矩阵。

a114．矩阵Aa21a31a12a22的行向量组线性 。 a32215．n阶方阵A满足A3AE0，则A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）

1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（ ）

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）

，am中，，as3. 向量组a1，a2，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，线性相关。（ ）

014. A00100000，则A1A。（ ） 00101015. 若为可逆矩阵A的特征值，则A的特征值为。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，

共10分)

1. 设A为n阶矩阵，且A2，则AAT（ ）。

① 2

n② 2n1

③ 2n1 ④ 4

，s（3  s  n）线性无关的充要条件是（ ）2. n维向量组 1，2，。

，s中任意两个向量都线性无关 ① 1，2，

，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ② 1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ③ 1，2，，s中不含零向量 ④ 1，2，3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n个n1维向量线性相关 ② 任意n个n1维向量线性无关 ③ 任意n1个n 维向量线性相关 ④ 任意n1个n 维向量线性无关

4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A，B均可逆，则AB可逆 ② 若A，B均可逆，则

AB 可逆

③ 若AB可逆，则 AB可逆 ④ 若AB可逆，则 A，

B均可逆

5. 若1，2，3，4是线性方程组A0的基础解系，则1234是

A0的（ ）

① 解向量 ② 基础解系

四、计算题 ( 每小题9分，共63分)

③ 通解 ④ A的行向量

xa1. 计算行列式

bxbbbccxccdddxd。

aaa

3012. 设ABA2B，且A110, 求B。

014

110021011002, C3. 设B001100000100X(CB)'E, 求。

312043且矩阵满足关系式12

112a2114. 问a取何值时，下列向量组线性相关？1,2a,3。

2211a22

x1x2x335. 为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程

xxx2231组有无穷多解时求其通解。

121349010, , . 求此向量组的秩和一个极大无关6. 设1, 23411370317组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

1007. 设A010，求A的特征值及对应的特征向量。

021五、证明题 (7分)

若A是n阶方阵，且AAI， 证明 AI0。其中I为单位矩阵。 A1，



线性代数期末考试题答案

一、填空题 1. 5

2. 1

3. ss，nn

4. 相关

5. A3E 二、判断正误 1. × 2. √ 三、单项选择题 1. ③ 2. ③ 四、计算题 1.

3. √ 3. ③

4. √ 5. ×

4. ② 5. ①

xaaaabxbbbccxcc1dddxdbxabcdxabcdxabcdxabcdccxccdbxbbbccxccdddxd1bcd0(xabcd)x30x(xabcd)1xb1b1bd0x0(xabcd)d00xxd000

2.

(A2E)BA

(A2E)1211221111，

522B(A2E)1A432

223

3.

12341000CB0123100012，(CB)'203210000143211000100CB'12100121，XECB'121000121121012 4.

a1212a1，a2，a312a1218(2a1)2(2a2)当a12或a1时，1122aa1，a2，a3线性相关。

5.

① 当1且2时，方程组有唯一解； ②当2时方程组无解

③当1时，有无穷多组解，通解为20c1111c20 001

6.

0

001量组

向

1312131124901420010(a1，a2，a3，a4)11370341000317031701002010200110000

3142016160131321则 ra1，a2，a3，a43，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a42a12a2a3 7.

1EA00000(1)30

12100010特征值1231，对于λ1＝1，1EA000，特征向量为k0l0 02001五、证明题

AIAAAAIAIAIA

∴2IA0， ∵IA0