一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 设全集U=R，A={x|-3＜x≤1，x∈Z}，B={x|x2-x-2≥0，x∈R}，则A∩∁UB=______． 2. 已知复数z=（m2-2）+（m-1）i对应的点位于第二象限，则实数m的范围为______． 3. 高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取
一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为______．
4. 根据如图的算法，输出的结果是______．
5. 已知函数f（x）=log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上随机取一点x0，使得f（x0）≥0的概率为______．
6. 已知双曲线的一条渐近线为y=2x，且经过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的标准方
程为______． 7. 给出下列等式：
归纳出第n个等式：8. 已知角
，=______．
），则sinα=______．
，
，…请从中
的终边过点P（-1，-2
9. 若函数y=log2x的图象上存在点（x，y），满足约束条件，则实数m
的最大值为______．
10. 正四面体ABCD的一个顶点A是圆柱OA的上底面的圆心，另外三个顶点BCD在
圆柱下底面的圆周上，记正四面体ABCD的体积为V1，圆柱OA的体积为V2，则的值是______
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且满足Sn=an+1，则数列{Sn}的前10项的和为
______．
12. 有以下四个命题：
（1）在△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB
（2）函数y=f（x）在区间（1，2）上存在零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0； （3）对于函数y=f（x），若f（2）=f（-2），则f（x）必不是奇函数； （4）函数y=f（1-x）与y=f（1+x）的图象关于直线x=1对称； 其中正确命题的序号为______．
13. 已知直角坐标系中起点为坐标原点的量向量，满足||=||=1，且=，=（m，
1-m），=（n，1-n），存在，，对于任意的实数m，n，不等式|-|+|-|≥T，则实数T的取值范围是______． 14. 已知a＞0，b＞0，c＞2且a+b=1，则二、解答题（本大题共6小题，共74.0分）
b、c分别为角A、B、C的对边，15. 在△ABC中，设a、记△ABC的面积为S，且
（1）求角A的大小； （2）若c=7，
，求a的值．
．
的最小值是______
16. 在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、
CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E-AFMN的体积．
17. 某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷
泉的示意图如图所示，A，B两点为喷泉，圆心O为AB的中点，其中OA=OB=a米，半径OC=10米，市民可位于水池边缘任意一点C处观赏．
（1）若当∠OBC=时，sin∠BCO=，求此时a的值；
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（2）设y=CA2+CB2，且CA2+CB2≤232．
（i）试将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度∠ACB的最大值不小于，试求A，B两处喷泉间距离的最小值．
18. 在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（4m，0）（M
＞0，m为常数），离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、
N两点．
（1）求椭圆C的标准方程； （2）若θ=90°时，（3）试问
+=
，求实数m；
+的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．
19. 已知数列{an}，其前n项和为Sn，若对于任意m，n∈N*，且m≠n，都有
．
（1）求证：数列{an}是等差数列 （2）若数列{cn}满足
在正整数p，q，使得ap+cq，求|a1|的最小值．
，且等差数列{an}的公差为，存
20. 已知函数f（x）=
，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．
（1）求实数a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x-}（x＞
0），若函数h（x）=g（x）-cx2为增函数，求实数c的取值范围．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：{0，1}
2.答案：3.答案：20 4.答案：22 5.答案： 6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：1 10.答案： 11.答案：512 12.答案：（1）
【解答】
解：（1）在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔2RsinA＞2RsinB⇔sinA＞sinB，故（1）正确； （2）函数y=f（x）在区间（1，2）上存在零点，比如f（x）=（x-）2在（1，2）存在零点，
但是f（1）•f（2）＞0，故（2）错误；
（3）对于函数y=f（x），若f（2）=f（-2）=0，满足f（-2）=-f（2）， 则f（x）可能为奇函数，故（3）错误；
（4）函数y=f（1-x）与y=f（1+x）的图象，可令1-x=t，即x=1-t，
即有y=f（t）和y=f（2-t）的图象关于直线t=1对称，即x=0对称，故（4）错误． 故答案为（1）．
13.答案：（-∞，14.答案：24
]
15.答案：解：（1）由
因为A∈（0，π）， 所以tanA=1，
可得：A=．……（6分） （2）△ABC中，cosB=， 所以sinB=，
，得bcsinA=bccosA，
所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
，..（10分）
由正弦定理，得=，解得a=5，…（14分）
（评分细则：第一问解答中不交代“A∈（0，π）”而直接得到“A=”的，扣（1分）；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣（1分）．）
16.答案：证明：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），
所以MN应是△ABF的一条中位线， 则
．
⇒AB⊥面BEF
（2）解：因为
且AB=6，BE=BF=3， ∴VA-BEF=9， 又∴
．
，
，
17.答案：解：（1）在△OBC中，由正弦定理得，
易得
．
（2）（i）易知AC2=100+a2-20acos∠AOC，BC2=100+a2-20acos∠BOC， 故CA2+CB2=200+2a2，
又因为CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，解得0＜a≤4， 即y=200+2a2，a∈（0，4]；
（ii）当观赏角度∠ACB的最大时，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得
，
即由题意可知经验证，
，解此不等式得，即
．
，
18.答案：解：（1）由题意，c=4m，=0.8，∴a=5m，b=3m，∴椭圆C的标准方程为
；
（2）θ=90°时，N（4m，∵
+=
，∴=
，∴m=
），NF=MF=；
（3）+=，证明如下：
+=
由（2）知，当斜率不存在时，
当斜率存在时，设1：y=k（x-4m）代入椭圆方程得（9+25k2）x2-200mk2x+25m2（16k2-9）
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=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则MF=e（∴
+=
=与θ无关．
）=5m-，NF=5m-，
19.答案：解：令m=2，n=1，则
即
，
，
∴a1+a3=2a2，∴a1，a2，a3成等差数列，
下面用数学归纳法证明数列{an}是等差数列，
假设a1，a2，…，ak成等差数列，其中k≥3，公差为d， 令m=k，n=1，
，
∴2Sk+1=（k+1）（ak+a1+d）=k（ak+a1）+ak+（k+1）d =2Sk+a1+ak+（k+1）d，
∴2Sk+1=a1+ak+（k+1）d=2（a1+kd）， 即ak+1=a1+kd，
∴a1，a2，…，ak，ak+1成等差数列， ∴数列{an}是等差数列； （2）=
，
，
若存在正整数p，q，使得ap+cq是整数， 则=设
，
，
∴18a1=3（3m-p-q+1）+1是一个整数， ∴|18a1|≥1，从而又当
，
时，有a1+c3=1∈Z，
综上，|a1|的最小值为．
20.答案：解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=
设切点为（m，n），即有n=可得ame=em，①
由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得
=，②
，
，n=m，
由①②解得m=1，a=1；
（2）函数g（x）=min{f（x），x-}（x＞0）， 由f（x）=的导数为f′（x）=
，
当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减． 对x-在x＞0递增，设y=f（x）和y=x-的交点为（x0，y0）， 由f（1）-（1-1）=＞0，f（2）-（2-）=-＜0，即有1＜x0＜2，
当0＜x＜x0时，g（x）=x-，
h（x）=g（x）-cx2=x--cx2，h′（x）=1+-2cx， 由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立， 即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减， 可得2c≤+① 当x≥x0时，g（x）=，
h（x）=g（x）-cx2=-cx2，h′（x）=
-2cx，
由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立， 即有2c≤
，由y=
，可得y′=
，
可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减， 即有x=3处取得极小值，且为最小值-． 可得2c≤-②，
由①②可得2c≤-，解得c≤-．
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