大学一年级《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(　). （A）f(0)2 （B）f(0)1（C）f(0)0 （D）f(x)不可导.

1x2. 设(x)1x，(x)333x，则当x1时（　　）.

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）(x)与(x)是

等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小； （D）(x)是比(x)高阶的无穷小.

x3. 若

F(x)0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点； （D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。

14.

设f(x)是连续函数，且 f(x)x20f(t)dt , 则f(x)(x2x2（A）2 （B）22（C）x1 （D）x2. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

25. lim(13x)sinxx0 .

6.

已知cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxxdx

.

7.

nlim2n(cos2ncos2ncos2n1n) .

122xarcsinx18.

－11x2dx2 .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数yy(x)由方程

exysin(xy)1确定，求y(x)以及y(0). 求10. 1x7x(1x7)dx.

设f(x)xex，　　x0 111. 　求2xx2，0x13f(x)dx．

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)

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1012. 设函数f(x)连续，，且x0g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常数. 求

13. 求微分方程xy2yxlnx满足

y(1)19的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，

q1f(x)dxqf(x)dx00.

17. 设函数f(x)在0,上连续，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提

F(x)示：设

f(x)dx0）

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1cosx2　()ce635. . 6.2x.7. 2. 8.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

xye(1y)cos(xy)(xyy)0

.

exyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0，y(0)1

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77x6dxdu 10. 解：ux　　1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu1 1(ln|u|2ln|u1|)c7 12ln|x7|ln|1x7|C77

11. 解：301f(x)dxxexdx3x100102xx2dx

xd(e)301(x1)2dx02xxxee3

2(令x1sin)cosd　

4

12. 解：由f(0)0，知g(0)0。

x1xtu2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x (x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx002 (x0)

g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A 2x2

AAA22，g(x)在x0处连续。

x0limg(x)limx0xf(x)f(u)dux02dy2ylnxdxx13. 解：

dxdxxxye(elnxdxC)22

11xlnxxCx29 3

111y(1),C0yxlnxx39 9 ，

四、 解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且

，

将此方程关于x求导得y2yy

0y2ydxyx

2特征方程：rr20 解出特征根：r11,r22.

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x2x其通解为 yC1eC2e

代入初始条件y(0)y(0)1，得

21yexe2x33故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

C121,C233

1ylnx0(xx0)x015. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：

1yxe 由于切线过原点，解出x0e，从而切线方程为：

1则平面图形面积

A(eyey)dy01e12

V11e23

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线ylnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1V2(eey)2dy0

6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qqVV1V2(5e212e3)

116. 证明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx0

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)10

故有：

qf(x)dxqf(x)dx00 证毕。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0证：构造辅助函数：。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0 由题设，有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，

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有0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

F(x)sinxdx0 高等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

x,x1. 当xx0时，都是无穷小，则当xx0时（ D ）不一定是

无穷小.

(A) xx (C)

22(B) xx

2(x)(D) (x)

ln1(x)(x)

1xasinxlimxasina2. 极限（A） 1

的值是（ C ）. （B） e

（C） ecota

（D） etana

sinxe2ax1x0f(x)xax0在x0处连续，则a =（ D ）. 3.

（C） e （D） 1

f(ah)f(a2h)limh0f(x)h4. 设在点xa处可导，那么（ A ）.

（A） 3f(a) （B） 2f(a)

1f(a)f(a)(C) （D） 3 （A） 1

（B） 0

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） ln(xa)lna1lim(a0)x5. 极限x0的值是 a.

6. 由

exyylnxcos2x确定函数y(x)，则导函数y

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yyexyx . xyxelnx7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x2yz0,2x3y5z6都平行，则直

x1y2z3111 . 线l的方程为 2sin2x8. 求函数y2xln(4x)的单调递增区间为 （－，0）和（1，+ ） .

2三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

(1x)ex9. 计算极限x0.

lim(1x)eeelimx0x解：x0lim1x1ln(1x)1x1x1xelimln(1x)xex0x22

10. 已知：|a|3，|b|26，ab30，求|ab|。

解：

ab512cos,sin1cos213ab13x ，

ab72

11. 设f(x)在[a，b]上连续，且

xxF(x)(xt)f(t)dtx[a,b]a，试求出F(x)。

解：

F(x)xf(t)dttf(t)dtaa

xxF(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dtaaF(x)f(x)

cosxxdx.3sinx 12. 求

解：

xcosx12dxxdsinx3sinx2

1111xsin2xsin2xdxxsin2xcotxC2222

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

22dxxx2113. 求

3.

令　1tx

1232原式1t11(2)dtt11t2

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1t2 6

2xy1x2 的极值与拐点. 14. 求函数

解：函数的定义域（－，+）



1232dtarcsint32124x(3x2)2(1x)(1x)yy22(1x)(1x2)3

令y0得 x 1 = 1, x 2 = -1

y(1)0 x 1 = 1是极大值点，y(1)0x 2 = -1是极小值点

极大值y(1)1，极小值y(1)1

令y0得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = -3 x y (-,-3) － (-3,0) + (0, 3) － (3,+) + 33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）

x3y2y3xx415. 求由曲线与所围成的平面图形的面积.

x3解:3xx2,　x312x4x20,4

x(x6)(x2)0,　　x16,　x20,　　x32.

2x3x322S(3xx)dx(3xx)dx6404 x432x3032x3x42(x)6(x)016232316

114524733

216. 设抛物线y4x上有两点A(1,3)，B(3,5)，在弧A B上，求一点P(x,y)使ABP的面积最大.

0解：

AB连线方程：y2x10　　AB45点P到AB的距离ABP的面积2xy15x22x3　(1x3)5

1x22x3　　　S(x)452(x22x3)25

　　　S(x)4x4　当x1　　S(x)0

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　　　S(x)40当x1时S(x)取得极大值也是最大值 此时y3　　所求点为(1，3)

另解：由于ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线2的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4x0),使f(x0)2x053312,　解得x01,所求C点为(1,3)

六、证明题（本大题4分）

2x17. 设x0，试证e(1x)1x.

2x 证明：设f(x)e(1x)(1x),x0 f(x)e2x(12x)1，f(x)4xe2x，

x0,f(x)0，因此f(x)在（0，+）内递减。

在（0，+）内，f(x)f(0)0,f(x)在（0，+）内递减，

2xf(x)f(0),e在（0，+）内，即(1x)(1x)0

2x亦即当 x>0时，e(1x)1x 。 高等数学I A

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数

ln(x1)x1,x1f(x)tanx,0x12xsinx,x0 的全体连续点的集合是 （ ）

(A) (-,+) (B) (-,1) (1,+ )

(C) (-,0)  (0, +) )

(D) (-,0)  (0,1)  (1,+

x21lim(axb)0xx119. 设，则常数a,b的值所组成的数组（a,b）为

（ ）

（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1） 20. 设在[0，1]上f(x)二阶可导且f(x)0，则（ ） （A）f(0)f(1)f(1)f(0)

(B) f(0)f(1)f(0)f(1)

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(C) f(1)f(0)f(1)f(0)

2

3（D）f(1)f(0)f(1)f(0)

42M21.

2sinxcos4xdx,N1x22(sin2xcosx)dxP(x22sin3xcos4x)dx则（ ）

（A） M < N < P （B） P < N < M （C） P < M < N （D） N < M < P

二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

x1d(x2arctanx1)1. 设

（ ）

2. 设则（ ）

x4yz53. 直线方程2mn6p，与xoy平面，yoz平面都平行，

那么m,n,p的值各为（ ）

ie2xi1nlimnin2f(x)dxsinxc,f(n)(x)dx4. （ ）

三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

11lim221. 计算 x0sinxx

12xcos,x0f(x)xx0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f(x) x设

设函数yf(x)在(,)连续，在x0时二阶可导，且其导函数f(x)的

2.

3.

图形如图所示，给出

f(x)的极大值点、极小值点以及曲线yf(x)的拐点。

y x a O 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

x22dx()1. 求不定积分 x1x

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elnxdx

xyz1x1y2z3l1:l2:123254,求过直线l1且平3. 已知直线

行于直线l2的平面方程。

2yax4. 过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为

815，确定抛物线方程中的a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。

2. 计算定积分

1e

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

21. 设F(x)(x1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)0，试证明存在（12）使得F()0。

x2.

f(x)(tt2)sin2ntdt(x0)0

（1） 求f(x)的最大值点；

1f(x)(2n2)(2n3) （2） 证明：

一、单项选择题 B D B C.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

x1(4arctanx1)dxdy2x15. .

6. 7.

nncos(x)dxsin(x)cf(x)dx22. m2,p6,n0.

(n)1(e1)8. 2.

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

11lim(22)9. (8分)计算极限 x0sinxx.

11x2sin2xlim(22)lim22x0xsinx解：x0sinxx

xsinxxsinxlimx0x3x

1cosx12lim2x03x3

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12xcos,x0f(x)xx0，试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出x10. (8分)设

f(x).

解： 当

x0,f(x)2xcos11sinxx；当x0,f(x)1

10x0xx0f'(0)lim0f'(0)lim1x0x0xx

112xcossinx0fxxxx0 1故f (x)在x=0处不可导。

11. (8分)设函数yf(x)在(,)连续，在x0时二阶可导，且其导函数

x2cosf(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线yf(x)的拐

点. y x a O

解：极大值点：xaxd 极小值点：xb 拐点(0,f(0)),(c,f(c))

b c d 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

(x2)2dx212. (9分)求不定积分 x(x1).

413()dx2x(x1)x1解：原式=

=

4lnx13lnx1cx1

13. (9分)计算定积分

1e1elnxdx.

e1解：原式=

1lnxdxlnxdxe1e

exlnxx1xlnxx122e

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xyz1x1y2z3l2:123254,求过直线l1且平行14. (9分)已知直线，

于直线l2的平面方程.

解：ns1s2(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)

l1: 取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为 7x2y(z1)0

2yax15. (9分)过原点的抛物线 (a0) 及y=0, x=1所围成的平面图形绕

81x轴一周的体积为5. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.

5222xV(ax)dxa50解：

110a25

a2由已知得 58125 故 a = 9 抛物线为：y9x

11x492V2x9xdx18402 0绕y轴一周所成的旋转体体积：

五 综合题（每小题4分，共8分）

2F(x)(x1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有16. (4分)设

f(2)0. 证明：存在（12）使得F()0。

证明：由f(x)在[1，2]上二阶可导，故F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,

故F (1)=F (2) = 0

在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点x0,(1x02)使F(x0)0

2F(x)2(x1)f(x)(x1)f(x)得F(1)0

在[1，x0]上对F(x)用罗尔定理，至少有点(1x02)F()0 17. (4分). 解：（1）x1为f(x)的最大值点。

f(x)(xx2)sin2nx，当0x1，f(x)(xx2)sin2nx0；当x1，f(x)(xx2)sin2nx0。f(1)为极大值，也为最大值。 （2）

f(x)(tt2)sin2ntdtf(1)01100x

1(2n2)(2n3)

f(1)(tt2)sin2ntdt(tt2)t2ndt高等数学上B（07）解答

一、填空题：（共24分，每小题4分）

dy222ysin[sin(x)]2xcos[sin(x)]cosxdx1．，则。

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adx1x22． 已知，a=__1______。

e2lnxdx12e。 3． e4． ye过原点的切线方程为yex。

f'(lnx)dxxf(x)ex5．已知，则=xc。

396．a2，b2

32时，点(1,3)是曲线yaxbx的拐点。 二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

cosxy(sinx)1．求的导数。

cosxlnsinxcosxlnsinxy(e)e(sinxlnsinxcotxcosx) 解：

x2．求sinlnxdx。

sinlnxdxxsinlnxcoslnxdx解：

xsinlnxxcoslnxsinlnxdx

1(xsinlnxxcoslnx)C2 x5x21dx3．求。

x51d(x21)5dxdxx212x21x21dx解：

22x15ln|xx1|C

xx0e,f(x)kx0在点x0处可导，则k为何值？ x1,4．设

xkf(0)limlimxk1x0xx0解：

ex1f(0)lim1x0x k1

11lim(2222nn1n25．求极限

解：

1nn22)。

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lim(n1n1nk1n2211n2221nn22)limnlimnk1

1n2k211k2n12n

2

11x0dx=

21ln(x1x)|0ln(12)

x2yz102xyz0xyz10(2,2,0)6．求过点且与两直线和xyz0平行的平面

方程。

解：两直线的方向向量分别为s1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)，平面的法向量

n(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)。

平面方程为xyz0。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

xRcostd2y21．设yRsint，求dx。

dycottdx解：

d2y11(cott)t2RsintRsin3t dx02．求在[1,2]上的最大值和最小值。

解：F(x)x(x1)0,x0,x1

11F(0)0,F(1)t(t1)dt,061252F(1)t(t1)dt,F(2)t(t1)dt0063

25 最大值为3，最小值为6。

F(x)t(t1)dtx223．设yy(x)由方程x(1y)ln(x2y)0确定，求y'(0)。

22解：方程x(1y)ln(x2y)0两边同时对x求导

(1y2)2xyy

将

x0,y2x2y02x2y

12代入上式

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58

22yxy4．求由与x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。

y'(0)解：

V(yy4)dy01

310

四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线xy1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角

形的面积为常数。

证明：双曲线xy1上任何一点(x,y)的切线方程为

1Yy2(Xx)x

1(0,y),(2x,0)x 切线与x轴、y轴的交点为

1sx(y)2x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点使得

bf()g(x)dxg()f(x)dxxab

xa 证明：令

F(a)F(b)0，由Rolle定理，存在一点[a,b]，使F()0，即

F(x)g(x)dxf(x)dxbf()g(x)dxg()f(x)dxa

高等数学上解答（07）

一、 单项选择题（每小题4分，共16分）

|sinx|(x)是 A 。 1．f(x)xcosxe（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数

22．当x0时，f(x)(1cosx)ln(12x)与 B 是同阶无穷小量。

3452（A）x； （B）x； （C）x； （D）x

x2yz03．直线xy2z0与平面xyz1的位置关系是 C 。

（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。

4．设有三非零向量a,b,c。若ab0, ac0，则bc A 。 （A）0； （B）-1； （C）1； （D）3 二、 填空题（每小题4分，共16分）

1．曲线ylnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。

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tanxx1x0x2(ex1)3。 2．

y2e6xyx10确定隐函数yy(x)，则y(0) 0 。 3．方程

lim2yx 、x1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为4．曲线

5。

三、 解下列各题（每小题6分，共30分）

tsin2xtf(x)lim()tt1．已知，求f(x)。

2tsin2xtf(x)lim()esinxtt解：

f(x)esinxsin2x 2．求不定积分解:

2[ln(lnx)1]dxlnx。

[ln(lnx)11]dxln(lnx)dxdxlnxlnx

11dxdxlnxlnx

xln(lnx)C

12sinx2x(1x)dx411x3．计算定积分。

xln(lnx)112sinx2222sinxx(1x)dx(x1x)dxxdx441111x1x 解：

1

(x21x2)dx01xsint1

022sin2tcos2tdt8

1sinxdx1cosx4．求不定积分。

1sinx1sinxdxdxdx1cosx1cosx1cosx 解：

1xdcosxsec2dx21cosx 2xtanln|1cosx|C2

5．已知f(lnx)x，且f(1)e1，求f(x)。

t 解：令lnxt，f(t)e

x f(x)eC



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f(1)e1，f(x)ex1

四、 （8分）设f(x)对任意x有f(x1)2f(x)，且f(0)12。求f(1)。

解：由f(x1)2f(x)，f(1)2f(0)

f(1)limf(x)f(1)x1x1 xt1f(t1)f lim(1)t0t 2f(t)2f lim(0)t0t2f(0)1

 五、（8分）证明：当x1时，(x21)lnx(x1)2。

证明：只需证明(x1)lnxx1。

令f(x)(x1)lnxx1

f(x)lnx1x0，f(x)在[1,)单调递增。

f(1)0，当x1时，f(x)0。即(x21)lnx(x1)2。 六、 （8分）

x已知

F(x)0(x2t2)f(t)dt，f(x)连续，且当x0时，F(x)与x2

为等价无穷小量。求f(0)。

F(x)解： limx0x21

F(x)x(x2t2)f(t)dtx2xf(t)dtx000t2f(t)dt F(x)2xxf(t)dtx2f(x)x2f(x)2xx00f(t)dt

2x limF(x)x0f(t)dtx0x2limx0x22f(0)

f(0)12 七、 （8分）

设有曲线y4x2 (0x1)和直线yc (0c4)。记它们与y轴所围

图形的面积为A1，它们与直线x1所围图形的面积为A2。问c为何值时，可使AA1A2最小？并求出A的最小值。 y解：

AA1A2c2dy4c(1y02)dy

A(c)c1

令A(c)c10，得c1。

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A(1)1102，c1为最小值点。

4yydy(1)dy10212

八、设f(x)在(a,b)内的点x0处取得最大值，且|f(x)|K (axb)。

minA证明：|f(a)||f(b)|K(ba)

证明：f(x0)0 在[a,x0]对f(x)应用拉格朗日定理

f(x0)f(a)f(1)(x0a) (a1x0) f(a)f(1)(ax0), |f(a)|K(x0a) 在[x0,b]对f(x)应用拉格朗日定理

f(b)f(x0)f(2)(bx0) (x02b)

f(b)f(2)(bx0), |f(b)|K(bx0)

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、

ex1设Ixdx,则Ie1(A)　ln(ex1)c　　(B)　ln(ex1)c;(C)　2ln(ex1)xc;(D)　x2ln(ex1)c. 2、

n

答( )

limeee1n2nn1ne(A)1　(B)e　(C)e　(D)e2　　　　　　　　　　答（　　） 3、

1f(x)的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)(　　)(式中01)1x(1)n1n1n1(A)　x　　　(B)　x(n1)(1x)n1(n1)(1x)n1(1)n1n1(C)　x　　　　　(D)　　xn1n2n2(1x)(1x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)4、

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设f(x)在x0的某邻域内连续,且f(0)0,limf(x)2 , 则点x0x01cosx(A)　是f(x)的极大值点　　　　　(B)　是f(x)的极小值点(C)　不是f(x)的驻点　　　　　　(D)　是f(x)的驻点但不是极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　) 5、

曲线yx22x4上点M0(0,4)处的切线M0T与曲线y22(x1)所围成的平面图形的面积A214913(A)　　　　(B)　　　(C)　　　(D)　49412

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

答( )

1设　yln1tan(x)，则y＿＿＿＿x1、

2、用切线法求方程x32x25x10在(1，0)内的近似根时,选x0并相应求得下一个近似值x1  则x0，x1分别为__________________ 

x1y1z12与x1y1z相交于一点，则3、设空间两直线1 。

sinxe2ax1，当x0f(x) , 在x0处连续，则a___________ .xx0a　　　　　，当4、

xdx_________________，其中b是实数．5、 0 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

设平面与两个向量a3ij和bij4k平行，证明：向量c2i6jk与平面垂直。 四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

1dx讨论积分p的敛散性．0x

五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )

dx导出计算积分In的递推公式,其中n为自然数。n2xx1

六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

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x2yz50l1::xyz100P(4,2,3)求过0与平面平行且与直线z100垂直的直线方程。 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

1xsinxcos2xx0xtanx

八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

计算极限lim3试求In(lnx)ndx的递推公式(n为自然数)，并计算积分(lnx)dx．11 九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

设f(x)在(a,b)内可微,但无界，试证明f(x)在(a,b)内无界。 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

设lim(x)u0，limf(u)f(u0) , 证明：limf(x)f(u0)xx0uu0xx0。

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高 十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

124cos,cos135，重量为p的重物用绳索挂在A,B两个钉子上，如图。设

求A,B所受的拉力f1,f2。

eeAOBp十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

　　一质点,沿抛物线yx(10x)运动,其横坐标随着时间t的变化规律为xtt(t的单位是秒,x的单位是米),求该质点的纵坐标在点M(8，6)处的变化速率．十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

设曲线x

y,x2y2及y0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

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、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、C

2、答：B 3、C 4、（Ｂ） 5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

(1121x2)sec(xx)1、2(1tan(x1x))

2、x00 x115

53、4 4、-1

b22，b00　，b0b2，5、2b0 三、解答下列各题

( 本 大 题4分 )

ijknab310{4,12,2}平面法向量114

nn与c2平行c

从而平面与c

垂直。

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

专业整理 知识分享 4分

8分

10分

10分 10分

5分

10分

10分

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　　当p1时，1dx0xplim1dx1110xplim(01pxp1)　　11lim01p(1p1) 1，1pp1 ，p1 当p1时，1dx1dx0xp0xlim0lnx1 1dx0xp当p1时收敛，当p1时发散. 五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )

解:法一In1xn1dx21

x21

xn1(n1)x21xn2dx

x211x2xn1(n1)xn2x21dxx21xn1(n1)1dxxn2x21dx(n1)xnx21x21 xn1(n1)In2(n1)In

故Ix21n2(n1)xn1nn1In 　　　　　　　　　　　　　　　　Iln1x211xxcx2I12nn(n1)xn1n1In2(n2)　I0ln1x2xc法二令xtant　　dxsec2tdt sec2tdt

Isectntanntsecttanntdt 专业整理 知识分享 5分

7分 10分

3分

7分

10分 3分

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dsecttann1tsect(n1)n1tantsect(n1)n1 tantsec3tdtn2tantsec3tsectdt(n1)dtn2ntanttant

5分

　x21xn1(n1)(In2In)In2nx21n1In(n1)xn1Ix212n n(n1)xn1n1In2(n2)

I1x211ln xxc

I0ln1x2xc.

六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

的法向量为n{111,,} ijkS1121{2,1,0}l1的方向向量为 001

所求直线方向向量为

SnS1{12,,3}

从而所求直线方程为

x4

1y22z33

10分

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

原式lim1xsinxcos22xx0xtanx(1xsinxcos2x)

12lim(xsinxsin22xx0xtanxxtanx) 12(14)52

八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

专业整理 知识分享 7分

10分

3分 7分

3分 7分 10分

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eIn(lnx)ndx1　xlnxn(lnx)n1dx1ne1e enIn1

4分

ne1于是　Inenen(n1)e(1)n!dx

enen(n1)e(1)n1n(n1)2e(1)nn!(e1)

7分

所以　(lnx)3dxe3e6e6(e1)1e　　　62e 10分

九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

证明:反证设f(x)在(a,b)内有界,即M0则x(a,b)

取x0(a,b)则对x(a,b),xx0在以x0与x为端点的区间上f(x)有f(x)M2分

满足拉格朗日中值定理的条件,则至少存在介于x0与x之间,使　　f(x)f(x0)f()(xx0)

即f(x)f(x0)f()(ba)　　　f(x0)M(ba)记为K5分

8分

即f(x)在(a,b)内有界与题意矛盾,故假设不正确,即f(x)在(a,b)内无界. 10分 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

由limf(u)f(u0)uu0任给0，存在0

使当uu0时，恒有f(u)f(u0) 又lim(x)u0，取1，存在0xx04分

使当0xx0时，(x)u0故当0xx0时，就有f(x)f(u0)成立因此limf(x)f(u0)xx0 8分

10分

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

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设内接圆柱体的高为h,则圆柱体的底面半径rR2(h22)其体积为　　　Vh(R2h24)　　0h2R 　　　V(R234h2)唯一驻点　h233R

　　V32h0

故h233R时,圆柱体体积最大

十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

按点O受力平衡，应有

12413f15f2p(4分)f1cosf2cospf5f3(8分)1sinf2sin0，即 1315f20

解得f3925156p,f256p

(10

分)

十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

当　x8时，t4

1dx3t23(dt2米／秒)t4t4

dy 18(米／秒)dt(102x)dxdt x8 x(t)3

答：质点的纵坐标在M(8，16)处的变化率为18(米／秒) 十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

解:(1)　　　xy　x2y2　交点(11,).　　　S12220xdx12xdx　　　1(x2x2x232arcsin2)1 专业整理 知识分享 4分

8分 10分

2分

4分

10分

3分

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113224

1,46

5分

21

(2)　Vxx4dx(2x2)dx01 8分

54222().3152(21)3(221) 10分

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、

lim(1cosx)2secx(　　)x

14　　　　　　　　　　　　　答（　　） 2、

　　设f(x),g(x)在x0的某去心邻域内可导,g(x)0且limf(x)limg(x)0,A．e2　　B．e2　　C．4　　D．xx0xx0则(I)limxx0f(x)f(x)A与(Ⅱ)limA关系是:xx0g(x)g(x)(A)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要但非充分条件(C)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)　(Ⅰ)不是(Ⅱ)的充分条件，也不是必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　）3、

设f(x)在a，b连续，F(x)f(x)dt　(axb)，则F(x)是f(x)的ax　(A)．原函数一般表示式　　　　　　　　 (B)．一个原函数　(C)．在a，b上的积分与一个常数之差 　(D)．在a，b上的定积分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

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4、

若已知x0时，F(x)(x2t2)f(t)dt的导数与x2是等价无穷小，则f(0)0x1(A)1　　　 (B)　212　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

(C)　1　 (D)　1x_______1、yxe的铅直渐近线是__________

2

2、__________.

3、设f(x)为以T为周期的连续周期函数，则f(x)在a，aT(a0)上的定积分与f(x)在0，T上的定积分的大小关系是______________

xy2z71354、直线与平面3xy9z170的交点为

 。 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)

写出f(x)ln(1x)x1带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式. 2、(本小题6分)

x2y2z2指出锥面416被平行于zox平面的平面所截得的曲线的名称。 四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

求　xdx. 2、(本小题2分)

2tanxdx计算(xx)dx．0

3、(本小题5分)

lnx求dx.x1lnx

4、(本小题5分)

4dx求．1x(1x)

5、(本小题11分)

设　y(x)(2x)tanx24五、解答下列各题

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1，(x1)求dy．2

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(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

试证：F(t)ln(t22tcosx1)dx为偶函数．0

2、(本小题7分)

试证：对角线向量是A3,4,1,B2,3,6的平行四边形是菱形，并计算其边长。

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)

在抛物线yx2找出到直线3xk4y2的距离为最短的点 2、(本小题6分)

设曲线的方程为yf(x).已知在曲线的任意点(x,y)处满足y6x,且在曲线上的(0,2)点处的曲线的切线的方程为2x3y6,求此曲线的方程. 3、(本小题8分)

经济学上,均衡价格p0定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格,消费者剩余定义为需求曲线与直线pp0间的面积(右图区域),生产者剩余定义为供曲线与直线pp0间的面积(右图区域).已知需求曲线方程p(x)10000.4x2,供给曲线方程为p(x)42x.求均衡点及消费者剩余和生产者剩余.

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

设f(x)在xx0处连续，g(x)在x0处不连续，

试判定F(x)f(x)g(x)在x0处的连续性． 2、(本小题5分)

若limf(x)，limg(x)A，试判定limf(x)g(x)是否为无穷大？xx0xx0xx0

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

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(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、D

2、答　(B) 3、B 4、B

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、x0

2、tanxxc. 3、=

4、(2,4,3) 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)

f(x)xx22x3xn3nRn(x) R11n(x)n1(1)n1xn1,介于0与x之间2、(本小题6分)

x2z2y20用yy0所截得的曲线为y4y160 4分

故y00时为一对相交直线

y00时为双10分

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

xdx233x2c. 2、(本小题2分)

3原式(x2223x2)40 403 3、(本小题5分)

lnxx1lnxdx

lnx1lnxd(lnx)

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线

10分 10分 10分 10分

10分

7分 10分

10分

7分 10分

3分

曲 完美WORD格式

1lnxd(1lnx)d(1lnx)1lnx

23(1lnx)3221lnxc.

4、(本小题5分)

令　xt

原式22t1t2(1t)dt

221(11tt1)dt

2lntln(t1)21

2ln4

3 5、(本小题11分)

dyy(x)dx

　(2x)tan2x21x2secx2ln(2x)2xtan2dx

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

F(t)0ln(t22tcosx1)dx 令　xu

F(t)0ln(t22tcosu1)du 

0ln(t22tcosx1)dx

F(t) 2、(本小题7分)

因为AB32(4)3(1)(6)0，故AB

因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。

（6分） 2边长=05.|A|205.|B|



1232(4)2(1)21/2211/222232(6)22 523 （10分）

六、解答下列各题

专业整理 知识分享 7分 10分

4分 6分

8分 10分 2分

10分

2分

6分 8分 10分

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(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)

设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为

d3x4x22291615(4x3x2)

d15(8x3)唯一驻点　x38d850

故当x38时,d最小

即点38，964到直线3x4y20的距离最短

(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

yydx3x2c　　　　　　(1)

又由2x3y6得y23x2y2(0,2)3　　　代入(1)得 y3x223

y(3x223)dxx323xc

再将(0,2)代入得c2,yx323x2.

3、(本小题8分)

p10000.4x2p42x, 解出x20. 均衡点p840.

消费者剩余200(10000.4x2)840dx　　　　2133.33生产者剩余20084042xdx

8400 七、解答下列各题

专业整理 知识分享 4分

8分 10分

3分

5分

10分

3分

6分 10分

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(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

F(x)f(x)g(x)在x0处必不连续

若F(x)在x0处连续，则g(x)F(x)f(x)在x0处也连续，矛盾！ 2、(本小题5分)

答：不一定．若A0，lim11xxf(x)g(x)00

limxxf(x)g(x)0

但若A0则等式可能不成立 例如lim1x1x1，xlimx(x1)20１

但lim1x1x1(x1)20

1、极限limx0(1xba)x　　(a0，b0)的值为

b(A)1．　(B)lnba　(C)ea．　(D)bea　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 2、

3lim(1cosxx0cosx)A．e3　　B．8　　C．1　　D．　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 3、

　　设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导记(Ⅰ)f(a)f(b)(Ⅱ)在(a,b)内f(x)0则：(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分条件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)(Ⅰ)与(Ⅱ)既非充分也非必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　)

4、

专业整理 知识分享 4分 10分

4分 6分

10分

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若x0，f(x0)为连续曲线,yf(x)上的凹弧与凸弧分界点,则(　　)(A)　(x0，f(x0))必为曲线的拐点(B)　(x0，f(x0))必定为曲线的驻点(C)　x0为f(x)的极值点(D)　x0必定不是f(x)的极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答(　　)5、

一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动.杆的线密度r为杆上一点到O点的距离,角速度为,则总动能1111(A)　2L2　　(B)　2L2　　(C)　2L2　　(D)　2L22345 答( ) 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

1,r1、

23(3x)dx_______________.

设f(x)t(t1)dt，则f(x)的单调减少的区间是__________02、 3、对于的值，讨论级数n1

（1）当时，级数收敛 （2）当时，级数发散 三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)

验证f(x)x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性 2、(本小题4分)

级数

x(nn1)n10110n n1是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题5分)

nn123x,22时，fxx。又设Sx是设fx是以2为周期的函数，当

fx的

以2为周期的Fourier级数之和函数。试写出Sx在,内的表达式。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

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x312x16求极限　lim3x22x9x212x4

2、(本小题2分)

求(ex1)3exdx.3、(本小题4分)

x21求dx． 1x

4、(本小题7分)

2

5、(本小题8分) 试将函数五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

求x dx.y1x2在点x00处展开成泰勒级数。

如果幂级数n0在x2处条件收敛，那么该 级数的收敛半径是多少 试证之. 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

如图要围成三间长都为 y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为a,anxn问x,y各等于多少时 , 所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)

2、(本小题9分) 求由曲线ye2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积. 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

chx，x0，设　f(x),试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f(x)ln(1x)，x0

八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

九、解答下列各题 ( 本 大 题12分 )

(ab)dt计算lim，(a0，b.0)．ln(1t)dt

x002x0xtt 专业整理 知识分享

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设函数f(x)在a，b上有连续导数(a0)，又设xrcos，f(x)rsin．试证明：2f(x)dxr2()dbf(b)af(a) ,ab其中arctanf(a)f(b)，arctan．ab

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的

括号中）

(本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、答：C 2、B

3、答　　(B)

4、(A) 5、 C因dE1(dm)v22　　121rdr(r)2　　122rdr　EL1220rdr　12L24

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

1、27x9x95x5x737c.

2、(0，1)　(答0，1不扣分)

3、1时收敛

1时发散

三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)

证明 : f(x)x2在[2 , 3]上连续 , 在(2 , 3)可导 即f(x)在[2 , 3]上满足拉格朗日中值定理的条件

又f'(x)2x令f'()2f(4)f(2)426

专业整理 知识分享 10分 10分 10分

10分 10分

4分

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得到(2 , 3)内有解3

即存在3 , 使f'()f(4)f(2)42

这就验证了拉格朗日中值定理对函数f(x)x2在[2 , 3]上的正确性

2、(本小题4分)

10u1nn1nn10n2 记

10n10n

un11n由于 un10 ……6分

故原级数绝对收敛，从而收敛 ……10分 3、(本小题5分)

对

fxx,32x2作周期为2的延拓，fx在,内的表达式为

x2,x2,fxx,x0,x,02x,

(3分)

fx满足Fourier级数收敛的充分条件。 (5分)

故

x2,x,2Sx,x,2x,x0,x,02x,

(10分)

注：只要写出Sx的表达式即可得10分。 四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

lim3x2解:原式12x26x218x12

　　　lim6xx212x18

专业整理 知识分享 8分

10分

5分 8分

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　　　2 2、(本小题2分)

(ex1)3exdx (ex1)3d(ex1) 14(ex1)4c.

3、(本小题4分)

令　xsect

原式30tan2tdt

 30(sec2t1)dt

(tantt)30

3

3 4、(本小题7分)

x2c1　　x0xdx2,2x2c2　x0.

由原函数的连续性,得x2xlimo(2cx21)xlimo(2c2)　　c1c2　　令c1c2c

x2c,　x0xdx2,xxc2x2.2c,　x0

5、(本小题8分)

因为

1x21x1x1x101xx0

x0 ……3分

1nxx而 11xn1,1n0 专业整理 知识分享 10分

5分 10分

4分 6分 8分 10分

5分

10分

……

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5分

11n1xxn0x0,2x0所以 xxn0n0x0

1n1nxxn10x0,2x0

x21n0xn10 ……

10分

五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

由题意,知:

当x2时, 级数绝对收敛； ……4分 当x2时, 级数不可能收敛. ……8分 故收敛半径是2. ……10分 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

如图　4y6xa　　ya342x 总面积为A3xy3x(a432x)

dAdx3a49x　　当xadAd2A12时,dx0　　dx290

故当xa12时,A取得唯一极大值也是最大值

此时　　ya3a42a128故当xa12，ya8时,所求总面积最大

2、(本小题9分)

解:y2e2x.　　设切点(t0,e2t0),切线y2e2t0x,　　ye2t0,　　1y2e2ttt0002 切线y2ex,　　　切点(12,e)

1s2e2xdx1122e

12x12 2e14e14e. 专业整理 知识分享 3分 6分 8分

10分

3分 6分 8分 10分

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七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

f(0)1，f(00)xlim00ln(1x)0f(00)xlim00coshx1 f(x)在x0处不连续,故不可导

sinhx，xf(x)0，11x，x0，

八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

axbx原式limx02ln(12x) limaxlnabxlnbx04 12x

1a 4lnb 九、解答下列各题 ( 本 大 题12分 )

因为r2x2f2(x)，arctanf(x)xf(x)fx，d(x)x2f2(x)dx

于是　br2()daxf(x)f(x)dx

bbaxf(x)dxaf(x)dx

xf(x)bbf(x)dxbaaaf(x)dx bf(b)af(a)2baf(x)dx

所以　2bf(x)dxar2()dbf(b)af(a)

一、 一、 填空

cosf(x)xx2,x0aax(a0),x1.

1. 设x0时，

x=0是f(x)的连续点。

解：

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10分

5分

10分

4分 6分

8分

10分

a=

当

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aax1x0x2a故a1时x0是连续点，a1时x0是间断点。

dy设方程xyarctany0确定了yy(x),求dx＝ 。 2．

y1y21y0y221yy解：

f(0)limlim1acos2xbcos4xx43． x0 ＝A，则a= ，b= ， A= 。

解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限A＝8/3

x4．函数yx2的极小值点为 。

limx1xln2驻点y2解：

12cosx1x0x22x1x2ln2,y2(2ln2x(ln2))在驻点处y’’>0,

故驻点为极小值点。

5．设f (x) = x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则 f (x0)= 。 解：f(x)lnx1,由f(x0)2知x0e,于是有f(x0)e.

6.设limx0fxf01,2x则f(x)在x=0取得 （填极大值或极小值）。

解：

fxf0fxf0lim＝－1,由极限的保号性有0,有fxf0022x0xx即在x0的某邻域内有fxf0,由极值定义知x0是极大值点。　 二、

1x1x0函数f(x)x0,x0 是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。 解：当x>0及x<0时，，f(x)为初等函数，连续。

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x0x0x1x1limf(x)0limf(x)f(0)f(x)在,连续。x0x0x0limf(x)lim1x1limx0当x0时，f(x)1x12x3/21xxx,当x0时，f(x)00limx01x1x0limf(x)f(0)limx0x1x(1x1)1x1x0,f(x)在x0不可导，　f(x)2x3/21x0x0三、 三、 解下列各题 1．x02x12x1lim

x2

4x12x22412x2x2ln12x解：原式＝

2limx01x2x1x.

limx(332．x解：原式＝

1x1x2)；

1x1x11332ln333ln32xlimlimlimln3(33x)ln3xx2112xxx2

xt2sint设曲线方程为ytcost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及3．

d2yx2dx2。

x2时y1,t0ysintcost1y解：

四、 四、 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点

(1,-1)处有拐点，且在x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。 解：

1cost31sint11yt0切线方程：y1x21cost22sin0cos011yx241cos03

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y3x22axb,y00b0,y(0)1,c1.y6x2a,y(1)62a0,a3.yx33x21,y3x26x3x(x2)y0时，驻点：　　x10,x22,y060.极小值y(2)3。

五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和

为常数，求有最大面积的直角三角形。 解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L，则

1x2sxLxx2L22Lx22LL3x1xsL22Lx22L2Lx2L22LxL令s0x这是唯一驻点，且最大值存在，故3L2Ls为最大面积，此时x边与斜边夹角为3 363,e. 六、 六、 证明不等式：

lnx1lnx证：令f(x)则f(x)0(xe)xx2ln()ln()f(x)在(a,)上单减，f()f(),　　即　ln()ln()lnln.

七、 七、 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极

2limnf.nn 限

解：f(0)sin(0)0.f(0)sinxx0cos01,当x0时f(x)与x是等价无穷小，2f2/n2　　limnflim2nn2/nn

八、 八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 )

内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.

证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ; (2)R ，存在(0,)，使得f’()-[f()-]=1 证：（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2>0

F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点，使F（ ）=0,即f ()=.。 (2) 证：

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令G(x)exF(x),G()0,G(0)00,使得G0.eF()eF0得出F＝F()即f()1f于是ff1

一、 一、 选择题（每题4分，共16分）

1．lim(1x0x)1xlim1xxsinx（ D ）。

A、e； B、e1； C、e1； D、e112．设f(x)xlnx在x0处可导，且f(x0)2，则f(x0)（ B A、0； B、e； C、1； D、e2。

3．若sin2x是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx（ D A、xsin2xcos2xC； B、xsin2xcos2xC；

C、xsin2x12cos2xC； D、xsin2x12cos2xC。4．已知函数f(x)x3ax2bx在x1处取得极值2，则（ B A、a3,b0且x1为函数f(x)的极小值点； B、a0,b3且x1为函数f(x)的极小值点；

C、a3,b0且x1为函数f(x)的极大值点； D、a0,b3且x1为函数f(x)的极大值点。

二、填空题（每题5分，共20分）

1． limx1x0exex2。 2．

x21x3dx23329(1x)C。

2sinx3．(x2cos3x)dx4213。 4．设,,,为向量，k为实数。若||||1,||||1，，

12,k，，则k2。 三、计算下列各题（每题9分，共45分）

1．求极限xlim0xx。

1limlnxx01xlimx01lnxexlim0xlnxex解：

xlim0xxlimexx0ex21

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。

）。

）

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d2y|xy2x0yy(x)eexy0dx2．函数由方程确定，求。

exeyxy0exeyyyxy0xyy2解：eeyeyyyxy0

d2y|22x0x0,y0y1 又，，得dx。

3．求定积分

解

11221x2dxx2。

：

xsint1x22222dxcottdt(csct1)dt122x24 444．求过点(3,1,2)且与平面x2z1和y3z2平行的直线方程。

ijk2(2,3,1)x3y1z223，。

s10解：

0131sinx, 0xf(x)2x(x)f(t)dt0, 其它05．设，求。

解：x0，

x1x1(x)f(t)dtsintdt(1cosx)0202 0x， xx1(x)f(t)dtsintdt0dt1020x，

0(x)f(t)dt0x四、（7分）长为l的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这

两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？

解：设正方形的边长为x，则正方形的面积与圆的面积之和为

(l4x)22S(x)x4。 l4xl4l4lS(x)2x20x,l4。所以两段铁丝分别为44时，正，

方形的面积与圆的面积之和最小。

五、解答下列各题（每小题4分，共12分）

221．设曲线y1x (0x1)，x轴以及y轴所围区域被曲线yax(a0)分成面积相等的两部分，求a。 解：由

1a10(1xax)dx221a10axdx211a1(1x2)dx，a3

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x2．设函数f(x)在[0,1]上连续，且0f(x)1。判断方程(0,1)内有几个实根？并证明你的结论。 解

：

2xf(t)dt10在

F(x)2xf(t)dt1010x，

F(x)在

[0,1]上连续，

F(0)1,F(1)1f(x)dx0x，所以F(x)在(0,1)内有一个零点。又

F(x)2f(x)2110，F(x)在[0,1]上是单调递增的，所以F(x)在(0,1)内有唯一零点，即

2xf(t)dt10在(0,1)内有唯一实根。

120f(1)2xf(x)dx03、设函数f(x)在[0,1]上可导，且，求证在(0,1)内至少存

f()f()。 在一点，使得

f(1)2解：F(x)xf(x)，F(x)在[0,1]上可导。由

1f(1)2cf(c)02使得，即f(1)cf(c)。由Roll定理，存在(c,1)(0,1)，

1201c[0,]xf(x)dx02，，存在

。 使得F()0，即

高等数学第一学期半期试题解答（05）

一． 一． （共20分）试解下列各题： 1．

f()f()设yy12x1x1x1x1,(x1)求dy。

解：2．

x1x12dy11x1x1dx2x12x1

dydx。

设方程xyarctany0确定了yy(x),求1y2yy2

x3ax2x4A.。则a= 4 , A= -6 3．设limx1x114．函数yx2x的极小值点。

ln2xcosx2,x05. 设f(x)aax(a0) x,x01cosx1aax1解：f(0)limlim2x0x22x0x2a y1y021y解：

故a1时x0是连续点，a1时x0是间断点。二．

二． （10分）若yf(x)是奇函数且x=0在

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可导,

解：由f(x)是奇函数，且在x0可导，知f(x)在x0点连续，f(0)f(0)故f(0)0F(x)f(x)x在x=0是什么类型的间断点？说明理由。

f(x)f0可去。limF(x)limf0存在,故为第一类间断点x0x0x0三． 三． （共20分）求下列极限 1

1x

．

1xxlimx21(3x31x1x2)1x；解

11：原式＝

4x2x12x2ln12x2x(12x)112xlimlim2242x0x0x2x2.；解：原式＝

332ln333limlimxx211xx2ln32xlimln3(33x)ln32xxt2sint设曲线方程为ytcost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及3．

d2ydx2。

解：x2时y1,t0ysintcost1y1sint1yt01cost2切线方程：y11x22

1cost3四． （10分）证明：当x0时，

11x1x1四．

(x21)lnxx12。

证明：当x1时，令f(x)lnx在[1,x]上用拉氏中值定理有lnx其中1x即lnxx11x1同乘以x21有x21lnxx12x1111x 当0x1时，令f(x)lnx在[x,1]上用拉氏中值定理有lnx1xx11x1同乘以x21有x21lnxx12其中x1即lnxx1当x1时等式成立。x2五． 五． （10分）求内接于椭圆a底边与x轴平行的等腰三角形之面积的最大值。 解：

2y2b21，且

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设底边方程为：ytbt0，t22a三角形面积Abt2a12bb设zbtb2t222bt2b2t22z2btbt2z的最大值点也是A的最大值点。2tbt2btb2t2令z0得tb（舍去）tb2bbzb20即t为唯一极大值点，2233ab4

nn1x2x1六． 六． （10分）证明：方程xxlimxn在（0，1）上必有唯一的实根xn(n>2)，并求n。 证：

亦即为所求面积之最大值点。最大值为A设f(x)xnxn1x2x1其在[0,1]上连续。f(0)1,f(1)n1由n2知函数在端点异号。由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点(0,1)使f()0.又fnxn12x10知函数f(x)单调增加，故在(0,1)上有唯一实根。由xnxnxn1n1nn1xnxn1n22xn1xn1xn115151因此0xn1故由极限存在准则知其有极限，设极限22nxn1xnx1由方程有1两边n取极限01解出x01xn1x02七． 七． （10分）确定常数a、b,使极限

1acos2xbcos4xlim存在，并求出其值。 4x0x解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为8/3

八． 八． （10分）设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)

内可微，且 f (a) = f (b) =0,证明：对R,ca,b，使得fcfc。 证明：构造函数F(x)=e-x f (x) 则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微F (a) = F (b) =0由罗尔定理R,ca,b，使得Fc0,而Fxexfxexfx 即有R,ca,b，使得fcfc 证毕。

知xn是单调下降数列，而x2 专业整理 知识分享