高斯-克吕格直角坐标系

高斯-克吕格投影

大地坐标系是大地测量的基本坐标系。常用于大地问题的细算，研究地球形状和大小，编制地图，火箭和卫星发射及军事方面的定位及运算，若将其直接用于工程建设规划、设计、施工等很不方便。所以要将球面上的大地坐标按一定数学法则归算到平面上，即采用地图投影的理论绘制地形图，才能用于规划建设。

高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种，根据我国的地理情况，为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制，早在1952年决定，采用高斯克吕格平面直角坐标系。

重点：

1 高斯投影概念、投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系

2 高斯平面直角坐标系的建立

3 坐标方位角的定义、性质与反算

难点：

l 投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系

2 坐标方位角的定义、性质与反算

1 高斯—克吕格投影的形成

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1.1 为什么要投影

 参考椭球面是不可展曲面

 不便于地图的制作、使用和保管

 不便于地图应用中的计算

1.2 什么是投影

 按一定的数学法则将参考椭球面上的点、线、图形化算到平面上的过程。

1.3 投影变形

 长度变形、角度变形、面积变形

1.4 地图投影的种类

 按投影面：方位投影, 圆锥投影, 圆柱投影

 按投影变形：等角投影 等积投影 任意投影（等距投影）

 按投影面与参考椭球的位置关系：

 切、割 横、纵、斜

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1.5 地图投影的选择

 依国土的位置、形状和地图的用途选择投影方式。

 我国基本比例尺地形图投影选择标准:

 投影后保持角度不变

 长度变形不能超过一定限度

 小范围内图形保持相似

2 高斯投影(等角横切椭圆柱投影）

2.1 高斯投影的基本概念

地球是椭球面，是不可展曲面，无论如何选择投影函数，椭球面上的元素，投影到平面上，都会产生变形（角度、长度、面积）。高斯是德国杰出的数学家、测量学家。他提出的横椭圆柱投影是一种正形投影。它是将一个横椭圆柱套在地球椭球体上，如下图所示：

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椭球体中心O在椭圆柱中心轴上，椭球体南北极与椭圆柱相切，并使某一子午线与椭圆柱相切。此子午线称中央子午线。然后将椭球体面上的点、线按正形投影条件投影到椭圆柱上，再沿椭圆柱N、S点母线割开，并展成平面，即成为高斯投影平面。在此平面上：

2.2 高斯投影变形规律

①中央子午线是直线，其长度不变形，离开中央子午线的其他子午线是弧形，凹向中央子午线。离开中央子午线越远，变形越大。

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②投影后赤道是一条直线，赤道与中央子午线保持正交。

③离开赤道的纬线是弧线，凸向赤道。

④ 投影前后的角度保持不变，且小范围内的图形保持相似。

⑤具有对称性。

⑥面积有变形。

2.3 坐标系的定义：

在投影面上，中央经线和赤道的投影都是直线，并且以中央经线和赤道的交点作为坐标原点，以中央经线的投影为纵坐标，以赤道的投影为横坐标，这就形成了高斯平面直角坐标系。

2.4 分带投影：

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高斯投影可以将椭球面变成平面，但是离开中央子午线越远变形越大，这种变形将会影响测图和施工精度。为了对长度变形加以控制，测量中采用了限制投影宽度的方法，即将投影区域限制在靠近中央子午线的两侧狭长地带。这种方法称为分带投影。投影带宽度是以相邻两个子午线的经差来划分。有6°带、3°带等不同投影方法。

分带投影示意图

通常按经线每隔6°进行分带投影。由0°经线起每隔经差6°自西向东分带，依次编号1、2、3……。6°带的带号N和中央经线L的关系为：L=6N-3。

已知某点大地经度L，可按下式计算该点所属的带号：,有余数时，为n的整数商+1。

为了进一步限制变形，可以采用3°投影分带。

3°带和6°带的中央经线重合，6°带的中央经线和分带经线均是3°带的中央经线。3°带的带号n和中央经线L的关系为：L=3n。

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中国用3°带划分的范围是 24~45，用6°带划分的范围是 13~23。

2.5 坐标系中的XY取值

2.6 高斯—克吕格平面直角坐标系的形成

X轴—中央子午线的投影

Y'轴—赤道投影

X⊥Y' ；A(X、Y')Y'称为横坐标的自然值

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x值无论在哪一带都是由赤道起算的自然值。

为了使Y'不出现负值，Y轴西移500公里，形成XOY坐标系。

B (X,Y) ∴ Y=带号+ Y' + 500000米 Y 称为横坐标的通用值

例1：已知:yB=18 267135m(通用坐标)

求：B点的自然坐标值Y'(6带划分)

解：Y'= Y-500000=267135-500000=-232865m

例2：6°带第20带中，y=-200.25m，应写为20499799.75m。

例3：

AB点自然坐标如下：

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A: X =50000.00 m Y =-10000.00m

B: X =50000.00 m Y =10000.00m

转换成通用坐标

A: X=50000.00 m Y= 19 490000.00 m

B: X=50000.00 m Y= 19 510000.00 m

2.7 换带计算

1 目的

使带边沿附近控制点化算到同一坐标系统中，以便相互利用；使3°、标之间实现共享。

2 计算过程

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6°或任意带坐

由已知X、Y、L0应用高斯投影反算公式求得L、B；

由L、B、L’ 0应用高斯投影正算公式求得X’、Y’。

2.8 投影带的重叠

1、为什么要重叠

采用分带投影，虽限制了长度变形，但相邻带坐标系相互独立，带边沿地形图无法拼接使用，控制点不能相互利用。为此，需用投影带重叠的方法解决。

2、重叠规定

西带向东带延伸30′，东带向西带延伸7.5 ′或15 ′重叠范围内的地形图有两套坐标网格，控制点有两套坐标。

3 方位角及其相互关系

3.1方位角的定义：

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在高斯平面内，由基准方向（北方向）顺时针量至某直线的夹角，称为该直线的方位角。

依据基准方向（北方向）的不同选择，方位角有真方位角、坐标方位角和磁方位角三种。

3.2 真方位角

基准方向：子午线北方向

来源：天文观测、陀螺经纬仪测定和计算求得。

特点：同一直线上各点的真方位角不等。

3.3 坐标方位角

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基准方向：坐标纵轴方向

特点：1、正反方位角相差180º

2、同一直线上各点坐标方位角相等

来源：由坐标反算或角度传递得到。

用途：控制网起算数据和坐标推算。

坐标方位角反算步骤:

已知XA、 YA、 XB、YB 求 αAB（用计算机）

<1> 计算坐标增量 △X =XB-XA，△Y =YB-YA

<2> 计算α ＝TAN -1(△Y / △X )

<3> 判断△X<0? 是 α = α + 180º

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<4> 判断α<0?是α = α + 360º

特殊情况：

1、 △X ＝0， △Y>0, α= 90º

2、 △X ＝0， △Y<0, α=270º

3、 △X ＝0， △Y＝0, α不存在

3.4 磁方位角

基准方向：磁子午线北方向

来 源：带磁针装置的经纬仪测定。

特 点：1、同一直线上各点的磁方位角不等。

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2、易受磁性物质干扰，精度不高。

用 途：用于概略指示方位。

3.5 方位角的相互关系－偏角

三北方向之间的夹角称为偏角。

偏角有子午线收敛角γ、磁偏角δ、磁坐偏角ε三种。

子午线收敛角γ： 真北与坐标北方向之间的夹角。东偏为正，西偏为负。

磁偏角δ：真北与磁北方向之间的夹角。东偏为正，西偏为负。

磁坐偏角ε：坐标北方向与磁北方向之间的夹角。东偏为正，西偏为负。

3.6 方位角、偏角的关系

A＝α＋γ

δ＝A－M＝ α＋γ －M

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ε＝ α－M

3.7 三北方向图

地图中央一点上的三个基准方向的关系图。

其中： γ为四个图廓点平均值，δ为图内实测点平均值，ε为计算得到。

4. 理解地理坐标系（Geographic coordinate system）

地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？地球是一个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上？这必然要求我们找到这样的一个椭球体。这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。具有长半轴，短半轴，偏心率。以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。

Spheroid: Krasovsky_1940

Semimajor Axis: 6378245.0000000

Semiminor Axis: 6356863.000000

Inverse Flattening（扁率）: 298.3010000

然而有了这个椭球体以后还不够，还需要一个大地基准面将这个椭球定位。在坐标系统描述中，可以看到有这么一行：

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Datum: D_Beijing_1954

表示，大地基准面是D_Beijing_1954。

有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。

完整参数：

Alias:

Abbreviation:

Remarks:

Angular Unit: Degree (0.9943299)

Prime Meridian（起始经度）: Greenwich (0.0000000)

Datum（大地基准面）: D_Beijing_1954

Spheroid（参考椭球体）: Krasovsky_1940

Semimajor Axis: 6378245.0000000

Semiminor Axis: 6356863.000000

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Inverse Flattening: 298.3010000

2、接下来便是Projection coordinate system（投影坐标系统），首先看看投影坐

标系统中的一些参数。

Projection: Gauss_Kruger

Parameters:

False_Easting: 500000.000000

False_Northing: 0.000000

Central_Meridian: 117.000000

Scale_Factor: 1.000000

Latitude_Of_Origin: 0.000000

Linear Unit: Meter (1.000000)

Geographic Coordinate System:

Name: GCS_Beijing_1954

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Alias:

Abbreviation:

Remarks:

Angular Unit: Degree (0.9943299)

Prime Meridian: Greenwich (0.0000000)

Datum: D_Beijing_1954

Spheroid: Krasovsky_1940

Semimajor Axis: 6378245.0000000

Semiminor Axis: 6356863.000000

Inverse Flattening: 298.3010000

从参数中可以看出，每一个投影坐标系统都必定会有Geographic Coordinate System。

投影坐标系统，实质上便是平面坐标系统，其地图单位通常为米。

那么为什么投影坐标系统中要存在坐标系统的参数呢？

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这时候，又要说明一下投影的意义：将球面坐标转化为平面坐标的过程便称为投影。

好了，投影的条件就出来了：

a、球面坐标

b、转化过程（也就是算法）

也就是说，要得到投影坐标就必须得有一个“拿来”投影的球面坐标，然后才能使用算法去投影！

即每一个投影坐标系统都必须要求有Geographic Coordinate System参数。

3、关于北京54和西安80是我们使用最多的坐标系

先简单介绍高斯-克吕格投影的基本知识，了解就直接跳过，我国大中比例尺地图均采用高斯-克吕格投影，其通常是按6度和3度分带投影，1:2.5万－1:50万比例尺地形图采用经差6度分带，1:1万比例尺的地形图采用经差3度分带。具体分带法是：6度分带从本初子午线开始，按经差6度为一个投影带自西向东划分，全球共分60个投影带，带号分别为1－60；3度投影带是从东经1度30秒经线开始，按经差3度为一个投影带自西向东划分，全球共分120个投影带。为了便于地形图的测量作业，在高斯-克吕格投影带内布置了平面直角坐标系统，具体方法是，规定中央经线为X轴，赤道为Y轴，中央经线与赤道交点为坐标原点，x值在北半球为正，南半球为负，y值在中央经线以东为正，中央经线以西为负。由于我国疆域均在北半球，x值均为正值，为了避免y值出现负值，规定各投影带的坐标纵轴均西移500km，中央经线上原横坐标值由0变为500km。为了方便

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带间点位的区分，可以在每个点位横坐标y值的百千米位数前加上所在带号，如20带内A点的坐标可以表示为YA=20 745 921.8m。

在Coordinate SystemsProjected Coordinate SystemsGauss KrugerBeijing 1954目录中，我们可以看到四种不同的命名方式：

Beijing 1954 3 Degree GK CM 75E.prj

Beijing 1954 3 Degree GK Zone 25.prj

Beijing 1954 GK Zone 13.prj

Beijing 1954 GK Zone 13N.prj

对它们的说明分别如下：

三度分带法的北京54坐标系，中央经线在东75度的分带坐标，横坐标前不加带号

三度分带法的北京54坐标系，中央经线在东75度的分带坐标，横坐标前加带号

六度分带法的北京54坐标系，分带号为13，横坐标前加带号

六度分带法的北京54坐标系，分带号为13，横坐标前不加带号 在Coordinate SystemsProjected Coordinate SystemsGauss KrugerXian 1980目录中，文件命名方式又有所变化：

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Xian 1980 3 Degree GK CM 75E.prj

Xian 1980 3 Degree GK Zone 25.prj

Xian 1980 GK CM 75E.prj

Xian 1980 GK Zone 13.prj

西安80坐标文件的命名方式、含义和北京54前两个坐标相同，但没有出现“带号+N”这种形式，为什么没有采用统一的命名方式？让人看了有些费解。

高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是 “等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪

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偏移为零，南半球则为10000公里。

高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系

高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。由于高斯-克吕格投影与UTM投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，通常在横轴坐标前加上带号，如(4231898m，21655933m)，其中21即为带号。

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