复合函数的概念及复合函数的单调性(可编辑修改word版)

1. 复合函数的概念

如果 y 是

的函数，

又是 x 的函数，即 y  f () ， g(x) ，那么 y 关于 x 的函数 y  f [g(x)] 叫做

函数 y  f (

) 和 g(x) 的复合函数，其中1

2

是中间变量，自变量为 x ，函数值 y 。

例如：函数 y  () x2 x

是由 y  ()，  x2  2x 复合而成立。

1

3

3

，函数 y  lg(3  4x  x2 ) 是由 y  lg

 3  4x  x2 复合而成立， 、是中间变量。

2. 复合函数单调性

一般地，

定理：设函数

 g(x) 在区间 M 上有意义，函数 y  f () 在区间 N 上有意义，且当 x  M 时， N

有以下四种情况：

（1） 若

 g(x) 在 M 上是增函数， y  f () 在 N 上是增函数，则 y  f [g(x)] 在 M 上也是增函数；  g(x) 在 M 上是增函数， y  f () 在 N 上是减函数，则 y  f [g(x)] 在 M 上也是减函数；  g(x) 在 M 上是减函数， y  f () 在 N 上是增函数，则 y  f [g(x)] 在 M 上也是减函数；  g(x) 在 M 上是减函数， y  f () 在 N 上是减函数，则 y  f [g(x)] 在 M 上也是增函数。

（2） 若

（3） 若

（4） 若

即：同增异减 注意：内层函数

 g(x) 的值域是外层函数 y  f () 的定义域的子集。

例 1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）



1x 2 x

（1） y ()

3

2

（2） y  lg(3  4x  x2 )

解：

1

练习 1：

1. 求下列函数的单调区间。

2

2

（2） y  log (1 x  2x  3)

2

（1） y  2x 5 x2

（3） y x2  x 1



（4） y  (3x  x )

1

 22

例 2、已知 y  f (x) ，且lglg y  lg 3x  lg(3  x) 。

（1） 求 y  f (x) 的表达式及定义域；

（2） 讨论 y  f (x) 的单调性。

练习 2

1．已知 f (x)  8  2x  x2 ， g(x)  f (2  x2 ) ，求 g(x) 的单调区间。

2. 讨论函数 y  loga (x2  4x  3) 的单调性。

2

练习题

1.

若函数 y  f (x) 的图象过点(0,1) ，则 y  f (x  4) 的图象必过点（ A． (4,1)

B． (1,4)

C． (4,1)

D． (1,1)

）

）

22．函数 y  log 2 x 在区间 ,0 0,上（

A. 是奇函数，且在0,上是增函数 B.是偶函数，且在0,上是增函数C.

是奇函数，且在0,上是减函数

3.

D.是偶函数，且在0,上是减函数

）

函数 y  16  6x  x 2 (0  x  4) 的最大值与最小值分别是（ A．25，16

B．5，0

1 2C．5，4 D．4，0

 1  x 1 4. 函数 y    值域为（

 3 

1B. ( ,1) A． (,1)

3

3 ）

C．[ ,1)

1

3

D．[ ,)

1

3

5. 函数 f (x)  log (6  x  x 2 ) 的单调递增区间是( 1

)

D． (3, )

A．[,)

2

6. 函数 f (x)  2

1

B．[,2)

2

x2 2(a1) x1

1

C． (, )

1 1

2 2

在区间[5,) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ( )

C. (,6]

D. (,6)

）

A. [6,+ )

B. (6,)

7. 已知 y  log a (2  ax) 在

0,1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（

C. 0,2

D. 2,

A. 0,1B. 1,2

3