函数的连续性

第九节 函数的连续性和间断点

有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。如气温T随时间t的变化而连续变化，铁棒长度l随着温度u的变化而连续变化等。它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内，T的变化很小；同样当温度u变化很小时，l的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。

一、函数的连续性

1. 预备知识

改变量：设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2u1，就叫u的改变量，记作uu2u1。改变量也叫增量。

注意：①u1，u2并不是u可取值的起点和终点，而是u变化过程中从u1变到

u2。

②u可正可负。

③u是一个整体记号，不是某个量与变量u的乘积。 2. 函数yfx在xx0处连续的定义 y 定义1 当自变量x在点x的改变

0量x为无穷小时，相应函数的改变量

yfx0xfx0fxfx0 也是同一过程中的无穷小量，即limy0， x0yfxy 则称fx在x0处连续，见图1-37.

定理1 fx在x0处连续的充要条 件是limfxfx0。

xx0f(x0x) f(x0)xO x0 x0x 图1-37 x证明 由定义1，

limy0limfxfx00x0xx0limfxlimfx00

xx0xx0xx0limfxfx0.由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2.

定义2 如果0，当xx0时，有fxfx0，则fx0，在x0处连续。

3. 函数yfx在点x0连续的要求

⑴fx在点x0有意义，即有确定的函数值fx0； ⑵limfx存在；

xx0⑶极限值函数值，即limfxfx0。

xx0.

.

这三要素缺一不可。 4. 连续与极限的区别

当fx在x0处有极限时，fx在x0处可无定义，也可有limfxfx0。

xx0而当fx在x0处连续时，fx在x0一定有意义并且limfxfx0必成

xx0立。

所以，函数yfx在点x0处连续，则函数yfx在x0点处必有极限，反之不成立。

5. 左右连续

fxfx00fx0，则称fx在x0处右连续；如果定义3 如果limxx0xx0limfxfx00fx0，则称fx在x0处左连续。

所以fx在x0处连续亦可用以下定义描述。

定义4 若fx00fx00fx0，即函数yfx在点x0处左极限等于右极限等于函数值，则函数yfx在点x0处连续。

6. fx在某区间连续

⑴fx在a,b内连续是指x0a,b，fx在x0处连续。

⑵fx在a,b上连续是指fx在a,b内连续，在xa点右连续，在xb点左连续。

注意：证明分断点处的连续性时一定要用定义4.

若fx在a,b内连续，则称a,b为fx的连续区间。

7. 连续函数的几何意义

连续函数yfx的图形是一条不断开的曲线。 例1 证明yfx3x1在x1处连续。

证明 注意yf1xf131x13113x，所以

x0limylim3x0， x0y 从而y在x1处连续。

1x,x0x0在x0处的 例2 讨论fx1,1x,x0连续性。

解 因为

fxlim f00lim1x1， x0x01 -1 O 1 x f00limfxlim1x1， x0x0图1-38 f01，

所以f00f00f0。由定义4，fx在x0处连续，见图1-38.

例3 证明多项式函数在(,)内连续。 证明 设Pxa0xna1xn1.

an1xan。由极限运算法则知

.

x0(,)，

xx0limPxa0(limx)na1(limx)n1xx0xx0an1limxanxx0axaxn00n110an1x0anPx0

由x0的任意性知Px在(,)内连续。

例4 证明有理函数FxPx（P为m次多项式，Q为n次多项式），在 QxQx0点处处连续。

证明 x0(,)，且Qx00，有

limPxPxPxxx00FxlimFx0，

xx0QxlimQxQx0xx0所以Fx在其定义域内处处连续。

例5 求证ysinx在(,)内连续。

证明 x(,)，给x一个增量x(xx)x，则

x2xx， ysin(xx)sinx2sincos22xxxxcosxlim2cosx从而limylim2sin所以ysinx在x00，x0x02222x点连续。由x的任意性知sinx在(,)内连续。

例6 证明ycosx在(,)内连续。 证明 x(,)，x(xx)x，有

xxycos(xx)cosx2sinxsin， 22xxxxsin2limsinx0，所以cosx在所以limy2limsinxx0x0x02222(,)内连续。

二、函数的间断点

与函数的连续性相对的概念是函数的间断性。 1. 间断点的定义

若fx在点x0处不连续，则称x0为fx的一个间断点。 函数间断的几何解释是fx的图形在xx0处断开。

x2,x0x0的间断点。 例7 讨论yfx0,x2,x0.

.

f00, 解 注意 f00limfxlimx22, x0x0f00limfxlimx22,x0x0yyfx2 可见f00f00f0，所以fx在x0处 不连续，即x0为yfx的间断点。

这种fx00fx00的间断点，我们称其为 跳跃间断点，见图1-39. 2. 间断点的分类

函数fx在x0处产生间断点是由于以下三种情况： ⑴fx在x0点无意义，即fx0不存在； ⑵fx在x0点极限不存在，即limfx不存在；

xx0O -2 x图1-39 ⑶极限值函数值，即limfxfx0。

xx0我们称左右极限都存在的间断点为第一类间断点；其余间断点统称为第二类间断点。进而，设x0为fx的第一类间断点，如果还有fx00fx00，则称x0为fx的可去间断点；如果有fx00fx00，则称x0为fx的跳跃间断点。下表给出了间断点的分类情况。

fx0无意义：可补充定义可去间断点fx00fx00第一类间断点limfxfx0：可修改定义xx0fx00和fx00 间断点均存在不可去间断点fx00fx00（跳跃间断点）第二类间断点：除去第一类均为第二类间断点3. 函数的连续区间

讨论函数的连续区间，就是在其定义域内排除间断点，主要在分段点、端点来考虑是否为间断点。

y例8 研究ytanx在x处的连续性。

2

解 因为ytanx在x

2

处无意义，所以 2x2是间断点。又因为limtanx，即极限

x2Ox不存在，所以x

2

其为无穷间断点，见图1-40.

1例9 讨论ysin在x0点的连续性。

x.

属第二类间断点，通常称

图1-40 .

1解 因为ysin在x0处无意义，且 x1 1limsin不存在，所以x0为y的第二类间 1x0x1断点。这时，ysin在-1和1内来回振荡， Ox1通常称其为振荡间断点，见图1-41. 2x1例10 讨论y在点x1处的连续性。 -1 x1解 因为y在x1处无意义，故x1为 图1-41 (x1)(x1)间断点。但limylimlim(x1)2，从而可补充定义y(1)2，则x1x1x1x1x21y ,x1函数yx1在定义域内处处连续。

2,x11x,x12例11 讨论y1在点x1处的连续 ,x12O yx性，见图1-42.

解 注意y(1)1而limylimx1y(1)， x1x12图1-42 1 x x,x1所以x1为第一类可去间断点，修改定义y(1)1后，则函数z处处连

1,x1x,x1续，称函数z为函数y1的连续延拓函数。

,x12习题1.9

x2,0x11.设函数fx，试讨论fx在x1处的连续性。

2x,1x22.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点。

x211（1）fx2； （2）fx2；

x3x2x111（3）fxex； （4）fxcos

x3.设fx1x，问怎样补充定义f0，才能使fx在x0处连续。

1xcos2xcos3x,x024.当A为何值时，函数fx在x0点处连续。 xx0A,第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

.

.

一、连续函数的运算

1.连续函数的和仍然是连续函数

定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。

证明 以两个函数为例，设fx，gx均在x0点连续，考虑Fxfx

gx。

由limfxfx0，limgxgx0以及和的极限等于极限的和，有

xx0xx0xx0limFxlimfxgxlimfxlimgxxx0xx0xx0fx0gx0Fx0所以fxgx在x0点连续。

一般地，我们有 limf1xf2xxx0

fmxlimf1xxx0limfmxxx0f1x0fmx0，

其中m为有限正整数。

2.连续函数的积仍然是连续函数

定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。

证明 以两个函数为例，设fx，gx均在x0点连续，考虑Fxfx

gx。

注意到limfxfx0，limgxgx0以及积的极限等于极限的积，我

xx0xx0们有

xx0limFxlimfxgxlimfxlimgxxx0xx0xx0fx0gx0Fx0所以fxgx在x0点连续。

一般地，我们有 limf1xf2xxx0，

fmxlimf1xxx0xx0limfmxf1x0fmx0，

其中m为有限正整数。

3.连续函数的商仍然是连续函数

定理3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。

证明 由limfxfx0，limgxgx0以及分母不为零时，商的极限

xx0xx0等于极限的商，设gx0，我们有

limfxfxfxxx0lim0， xx0gxlimgxgx0xx0所以

fx在x0点连续。 gx.

.

secx，cscx均是两个连续函数sinx，cosx之商，例1 tanx，而sinx，cotx，

cosx是在(,)上连续的函数，所以tanx，cotx，secx，cscx在它们的定义区间内（排除分母为零的点）连续。

从而可得，三角函数在其定义区间内连续。 4.单调的连续函数的反函数也单调、连续

定理4 如果函数yfx在某区间上单调且连续，那么它的反函数x

y也在对应的区间上单调且连续。

证明 设yfx的定义域为I，值域为D，且yfx单增。显然x 所以仅证反函数的连续性。取y0D，假设y0y在对应的区间D上单调递增，

不是D的端点，则对应找出x0I，使y0fx0，且x0亦不为I的端点（若x0是端点，由单调性知fx0y0就是函数yfx在D上的最值，即端点，而这个可能性已被上述假设排除）。从而0，可找出x1,x2I，使x1x0x2且

0x2x1。令y1fx1，y2fx2，则由单 调性，y1y0y2，再令miny2y0,y0y1， 则0且y2y0，y0y1且当yy0 时，有y1y0yy0y2，由于xy 也单增，所以，x1y1y0y

y0y y2y1y0y2x2，从而当yy0时，有x x0yx0yy0x2x1，即 xy在y0连续，见图1-43.

O x1x0图1-43 x2x 例2 证明反三角函数在其定义区间内都是连续的。

解 由于ysinx在,上连续且单增，所以反函数yarcsinx在

22[1,1]上也连续且单增。由于ycosx在[0,]连续且单减，所以反函数

,)单增连续，所以22反函数yarctanx在(,)上也连续且单增。由于ycotx在(0,)单减连续，所以反函数yarccotx在(,)内连续且单减。

总之反三角函数在其定义区间内都是连续的。 5.复合函数也连续

（1）函数连续时，极限符号可和函数符号交换次序。

定理5 设ux，limxa，yfu在ua点连续，则复合函数

xx0yarccosx在[1,1]上也连续且单减。由于ytanx在(fx当xx0时的极限为

limfxflimxfa。 xx0xx0证明 由fu在a点连续可得0，0，当ua时，fu

fa。又因为ux在x0点极限存在，我们有，对0，0，当

.

.

，当0xx0时，xaua。从而0，（通过找到的）

0xx0时，有

fufafxfa。

从而limfxfa。 xx0例3 求limcos(1x)

x01x1解 limcos(1x)coslim(1x)xcose

x0x0（2）复合函数的连续性。

定理6 设ux在x0点连续，且u0x0。又yfu在点u0处连续，

1x则复合函数yfx在点x0也连续。

证明 由ux在x0连续，有limxx0。又yfu在点u0处连

xx0limxfx，从而复合函数在点x处连续。续，故有limf xf00xx0xx01例4 讨论函数ysin的连续性。

x1解 因为ysinu，在 (,)上连续，而u在x(,0)和(0,)上

x1连续，由定理6，ysin在(,0)和(0,)上连续。

x二、初等函数的连续性

（1）三角函数、反三角函数在前边我们已证明了它们在定义区间内是连续的。

Px（2）有理函数，即两个多项式之商Rx，前边已证Rx在其定义

Qx区间内也连续。

*（3）指数函数yax(a0,a1)在(,)单调连续。 证明 只证a1的情况。 下面分两步证明。 ①在x00点连续；

②在x00（x0(,)）点连续。

证明① 因为lima1，所以0，N，使0a1。由于ax单增，

n1n1N1xa1。 时，0ax1，这表明limx0N111nN又因为limalim11，所以0，N，使01a。由于ax单

nnan1xa1。 增，所以当x0时，有01ax。从而limx0N所以，当0x.

.

综合以上两方面得limax1。注意a01，所以limaxa01。这就证明了

x0x0yax在x0点连续。

证明② 设x0为任意不为零的点。由①，limax1。注意以下极限：

x0xx0limaxlimax0axx0xx0yax0limaxx0xx0t0 ar2ar1ax0limat(txx0)alim1a,所以yax在x0点连续。

（4）对数函数ylogax.由指数函数

ya(a0,a1)在(,)中单调连续， 知其反函数，即对数函数ylogax在(0,)

xx0x0a xax0ar2ar1O x0r1x0xr2x0x 图1-44 内也是单调连续的函数。

（5）幂函数yx，不论是何值，函数在(0,)内总是有意义的。 设x0，则yxalogax是由yat，tlogax复合而成的。由指数函数和对数函数连续性知yx亦连续。对于其他情况，也可以证明yx连续。

总之，基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的。由连续函数的运算规则知：一切初等函数在其定义区间内连续。

例5 设fxcosx1，则fx在x2n(nz)上有定义，但fx无连续点。

习题1.10

x33x2x31.求函数fx的连续区间，并求极限limfx，limfx及

x0x3x2x6limfx。

x22.求下列极限：

et13sin2x； （1）lim ； （2）limt2tx4（3）limln2cos3x； （4）limx9x4sin2x.

2cos(x)3.求下列极限：

sinxln(1ax)(a0)； （1）limln； （2）limx0x0xxln(ax)lnacotx(a0)； （4）lim1sinx. （3）limx0x0x第十一节 闭区间上连续函数的性质

我们在前面已经讨论过了函数在一个区间上连续的概念，如果函数fx在闭区间a,b上连续，则它会有很多很好的性质，而所谓在闭区间上连续，是指

.

.

函数fx在开区间a,b内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续。下来我们就来讨论这些性质。

一、最值定理

定理1 （有界性定理）若函数fx在闭区间a,b上连续，则fx在闭区间上有界，即存在常数m，M，使得xa,b，mfxM.

证明 用反证法证明。假设这样的m,M不存在，即对任意的自然数n，xn

a,b，使fxnn。显然数列xn是有界的。注意到任意有界无穷数列必存在收敛的子数列xni，我们设limxnic。由于xnixn，所以axnib。从

i而acb。由fx在c点连续可知0，I，当iI时，有xnic，从而limfxnifc。这就证明了fxnii是一收敛数列，从而它是一有界数列。

yM 可是由xni的定义fxnini，产生矛盾。矛盾说明在闭区间连续的函数必有界。

y和定理有关的几点说明： （1）结论的几何解释：

连续曲线在一闭区间内的图像一定介 于直线ym，yM之间，见图1-45.

（2）要使结论成立，两个条件缺一 不可。

1

如函数y在开区间(0,1)内连续，

x

但函数无界。

1x(0,1)又如函数yx在闭区间

2x0,1aOym 图1-45 bxy2 0,1上有定义，但存在有不连续点x0,1，

亦无界，见图1-46.

（3）有界性定理的逆不成立。

即，若fx有界fx在a,b上连续。

y1xx(0,1)如函数yx在(0,1)是有界的，但定义区

Ox间(0,1)不闭。

图1-46 （4）有界性定理可推广到无限区间。

例1 已知fx在a,上连续，且limfxA.求证fx在a,上

x有界。

证明 因为limfxA，所以0，X0，当xX时，有fxA

x。即当xX时，AfxA。这表明当xX,时，fx有界，

上界为A，下界为A。又因为a,Xa,，fx在a,X上连续。由有界性定理知xa,X，m1,M1使m1fxM1。我们取mminA,m1，

.

.

MmaxA,M1，则xa,， 有mfxM，见图1-47.

定理2 若fx在a,b上连续， M则fx在a,b上一定能取到最值， 即至少x1a,b，使fx1M为最 大值，至少x2a,b，使fx2m m为最小值。

如函数ysinx在0,2上是连续 的，则在x1OyM1Am1AaXx 图1-47 处，ysin1sinxy，

222333取得最大值；在x2处，ysin1sinxy，取得最小值。

222关于定理2 的几点说明：

①结论成立的两个条件缺一不可。

1

如函数y在开区间0,1内连续，但函数在0,1内取不到最大值。

x1x(0,1)又如函数yx取不到最值。

2x0,1②结论只说至少存在最值点，最大值点可能为一个、几个、无穷多个。同理

最小值点可能为一个、几个、无穷个，但最值是惟一的。

例2 已知fx在a,b上单调递增且连续，求fx在a,b上的最值点和最值。

解 注意fx单调递增，则x1,x2a,b，当x1x2时，定有fx1fx2。而axb，从而fafxfb。可见最小值点为a，最大值点为b，最小值fa，最大值fb。

二、介值定理

1.零点定理

定理3 若fx在闭区间a,b上连续，且fafb0（即fa与fb异号），则至少有一点c，适合acb，使fc0。

*证明 设fa0，fb0。用点恰在点xab把a,b分成两半，可能遇到函数2abab等于0.那么令c，定理就已经得证。 22ababab,b中必有一个两端函数值符号相反，0a,假设f，则，222ba用a1,b1表示这个区间，则fa10，fb10，且b1a1。

2.

.

再把a1,b1分成两半，分点为

a1b1ab，若f110，已证完。否则22a1b1a1b1a1,,b1中必有一个两端函数值符号相反的区间，，设其为a2,b2，22ba则b2a22，且fa20，fb20。

2继续进行这种构成区间的步骤。这时，要么在有限次步骤以后可能碰到某一分点，在该点函数值等于零，即证毕了。要么我们得出无穷数列

a1a2a3anb

b1b2b3bnaba对于第n个区间an,bn，必有fan0，fbn0，且长度等于bnann。

2所以

balimbnanlimn0， nn2从而limanlimbnc，且ca,b。注意fx在c点连续所以fclimfan

nnnlimfbn，可是limfan0，limfbn0，故fc0。

nnn关于定理3的几点说明：

①定理的几何解释：见图1-48.

如果fafb0，则fx的图形在a,b上至少过x轴一次。

②由定理3知，零点在a,b内必存在，但并不知零点的确切位置和个数。 例3 证明x53x10在0,1内至少有一实根。 证明 考虑函数fxx53x1，则fx在 yyfx0,1上连续。又因为f01，f13，fx 满足零点定理。所以，至少0,1，使f 5310。即为x53x10的一个实根。 例4 已知fx和gx在a,b连续，且fa ga，fbgb。求证至少有x0a,b，使 fx0gx0。

证明 考虑函数Fxfxgx，则Fx 在a,b上连续。又

aOcb x图1-48 Fafaga0，Fbfbgb0

所以，由零点定理，至少存在x0a,b，使Fx00，即fx0gx0。

例5 已知fx在0,1上连续，且0fx1。求证：存在0,1，使

f。

证明 ①当f00时，取0，即有f。 ②当f11时，取1，即有f。

.

.

③当f00时，f11，0fx1时，做Fxfxx，则Fx在

0,1上连续。注意到F0f00f00，F1f110，由零点定理，0,1，使Ff0，即f。

综合①,②,③，知结论成立。 2.介值定理

定理4 若fx在a,b上连续，且AfafbB，不妨设AB，则

CA,B，至少a,b，使fC。

证明 考虑函数FxfxC，ACB，则Fx在a,b上连续。注意

FafaCAC0，

FbfbCBC0.

所以Fx满足零点定理，故a,b，使FfC0，即fC。

介值定理的几点说明：

①定理的几何解释：

连续曲线yfx与水平直线yC， 在a,b内（faCfb）至少相交于 yBC一点，见图1-49.

②定理中a,b存在，并不知的 A确切位置和个数。

定理5 若fx在a,b上连续，则必 Oa123取得介于最大值与最小值之间的任何值。 证明 因为fx在a,b上连续，所 以fx在a,b上可取得最值。从而，存 在,a,b，使得Mff m。不妨设，则,a,b。在 b x图1-49 yMl区间,上应用介值定理即得。

关于定理5的几何解释：lm,M, 有直线yl与曲线yfx至少相交于一 A点，见图1-50.

例6 已知fx在0,1上连续，且

1fx为有理值，f2。求证fx

22，x0,1。

BmO a图1-50 b x11，x00,1，使得fx0f2。则可221111在x0,或,x0上应用介值定理。即Cfx0,f（或Cf, 2222证明 采用反证法。假设x0.

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11xx,x,x），为实数。应有（或，使fxC。由于C可fx0C00）221为有理值，也可为无理值，与fx只取有理值矛盾。所以，必有fx0f

22。由x0的任意性知fx2，x0,1。

习题1.11

1.证明方程x513x20在1与2之间至少有一个实根。 2.证明方程x2x20至少有一个小于1的正根。

3.设fx在a,b上连续，且ax1x2xnb，证明：在x1,xn上必存在，使

ffx1fx2nfxn.

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