大一《高等数学》期末考试题A卷及答案

一、填空题：（共24分，每小题4分）

dyysin[sin(x)]dx1．，则 。

2adx1x22． 已知，a=__ ______。

3．

e1elnxdx 。

xye4． 过原点的切线方程为 。

5．已知f(x)e，则

xf'(lnx)dxx= 。

326．a ，b 时，点(1,3)是曲线y= yaxbx 的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

1．求y(sinx)的导数。

sinlnxdx2．求。

高等数学试题 第1页（共4页）

cosx3．求

x5x12dx。

xx0e,f(x)kx0在点x0处可导，则k为何值？ x1,4．设

111lim()222222nn1n2nn。 5．求极限

高等数学试题 第2页（共4页）

x2yz102xyz0xyz10(2,2,0)6．求过点且与两直线和xyz0平行的平面方

程。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

xRcostd2y21．设yRsint，求dx。 2．求

F(x)t(t1)dt0x在[1,2]上的最大值和最小值。

223．设yy(x)由方程x(1y)ln(x2y)0确定，求y'(0)。

高等数学试题 第3页（共4页）

224．求由yx与yx围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。

四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线xy1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点使得

f()g(x)dxg()f(x)dxab

高等数学试题 第4页（共4页）

大一《高等数学》期末考试题A卷参考答案

一、填空题：（共24分，每小题4分）

222xcos[sin(x)]cosx1．

2． __1__ 3．

22e

4． yex 5． xc 6．a392，b2

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

cosxlnsinxcosxlnsinxy(e)e(sinxlnsinxcotxcosx) 1．解：

2．解：sinlnxdxxsinlnxcoslnxdx

xsinlnxxcoslnxsinlnxdx1(xsinlnxxcoslnx)C2

3．解：

x51d(x21)5dxdxdx2222x1x1x1

22 x15ln|xx1|C

xkf(0)limlimxk1x0xx04．解：

ex1f(0)lim1x0x k1

5．解：

11lim(2222nn1n2n1limnk1n2k21nn22)

高等数学试题 第5页（共4页）

limnk1n

1011k2n12n

211xdx=

21ln(x1x)|0ln(12)

6．解：两直线的方向向量分别为

s1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)，平面的法向量

n(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)。

平面方程为xyz0。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

dycottdx1．解：

d2y11(cott)t2RsintRsin3t dx

2．解：F(x)x(x1)0,x0,x1

11F(0)0,F(1)t(t1)dt,061252F(1)t(t1)dt,F(2)t(t1)dt0063

25 最大值为3，最小值为6。

223．解：方程x(1y)ln(x2y)0两边同时对x求导

(1y2)2xyy

将

x0,y58

112代入上式

2x2y02x2y

y'(0)

四、证明题：(共12分，每小题6分)

高等数学试题 第6页（共4页）

4．解：

3 10

V(yy4)dy0

1．证明：双曲线xy1上任何一点(x,y)的切线方程为

1Yy2(Xx)x

1(0,y),(2x,0)x 切线与x轴、y轴的交点为

1sx(y)2x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为

2．证明：令

F(x)g(x)dxf(x)dxxabbx

F(a)F(b)0，由Rolle定理，存在一点[a,b]，使F()0，即

f()g(x)dxg()f(x)dxa

高等数学试题 第7页（共4页）