一、选择题
1．如图，是一个几何体的三视图，则这个三视图，则这个几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．圆锥体
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣5，3），则k的值为（ ） A．﹣15
B．
C．﹣2
D．
4．菱形ABCD的周长为20cm，∠ABC＝120°，则对角线BD等于（ ） A．4cm
B．6cm
C．5cm
D．10cm
5．如图，在△ABC中，点D在AB上一点，下列条件中，能使△ABC与△BDC相似的是（ ）
A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADC C．AC2＝AD•AB D．BC2＝BD•AB
6．一个密闭不透明的盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（ ） A．30个
B．35个
C．40个
D．50个
7．若k≠0，则函数y＝和y＝kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．若二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（ ） A．a＞﹣1
B．a＞﹣1且a≠0
C．a≥﹣1
D．a≥﹣1且a≠0
二、填空题
9．已知＝，则10．计算：cos60°+
＝ ． tan60°＝ ．
11．高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为 米．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若△ABC的面积是8，则k＝ ．
13．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．该矩形草坪BC边的长是 米．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，E为对角线BD上一点，且BE＝3DE，CE⊥BD于E，则BC＝ ．
15．已知A（0，3）和B（2，3）在抛物线y＝x2+bx+c上，则二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线 ． 16．已知反比例函数y＝的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，
M2，M3…，Mn，则
＝ ．
三、作图题
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2），以原点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2，在y轴的左侧，请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1．
四、解答题
18．计算
（1）x2+6x﹣2＝0（配方法）
（2）已知关于x的方程2x2+（k﹣2）x+1＝0有两个相等的实数根，求k的值．
19．小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏．游戏规则如下：在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．游戏者先从纸箱里随机摸出一个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再随机摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则游戏者可获得一份纪念品．请你利用树状图或列表法求游戏者获得纪念品的概率． 20．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． （1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
（3）如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？
21．某商店经销一种销售成本为每件40元的商品，根据市场分析，当销售定价为52元时，每月可售出180件，定价每增加1元，销售量就将减少10件；定价每减少1元，销售量就将增加10件．若商店想在销售成本不高于7200元的情况下，使该商品的月销售利润达到2000元，则销售价应定为每件多少元？
22．小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（计算结果精确到1m） （参考数据：sin15°＝，cos15°＝
，tan15°＝
）
23．如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．
（1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；
（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
24．如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的
任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过点B（，2），C（2，）． 请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度； （2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
25．（8分）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2，
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2＝ ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10＝ ；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点
B出发沿BA向点A运动，到达A点时停止运动．点P也同时停止．点P，Q运动速度均为每秒1
个单位长度，连接PQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点）， ①当t＝ 时PQ∥BC
②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求此时的t的值和AE的长； ②当l经过点B时，求t的值．
参考答案
一、选择题
1．如图，是一个几何体的三视图，则这个三视图，则这个几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．圆锥体
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再根据几何体的特点即可得出答案．
【解答】解：圆柱体的主视图和左视图均为矩形，俯视图是圆， 故选：B．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，关键是对三视图能熟练掌握和灵活运用，体现了对空间想象能力的考查．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
代入数据进行计算即可得解．
【分析】利用勾股定理求出AB的长度，然后根据sinB＝【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝∴sinB＝故选：D．
＝＝．
＝5，
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣5，3），则k的值为（ ） A．﹣15
B．
C．﹣2
D．
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式中可求k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣5，3）， ∴k＝﹣5×3＝﹣15 故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上的点的坐标满足解析式是本题的关键．
4．菱形ABCD的周长为20cm，∠ABC＝120°，则对角线BD等于（ ） A．4cm
B．6cm
C．5cm
D．10cm
【分析】由菱形的性质可得，AB＝AD＝5cm，∠A＝60°，则△ABD是等边三角形，则对角线BD的长为5cm．
【解答】解：∵菱形的周长为20cm， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5cm， ∵∠ABC＝120°， ∴∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝5cm． 故选：C．
【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．关键是掌握菱形的四条边相等． 5．如图，在△ABC中，点D在AB上一点，下列条件中，能使△ABC与△BDC相似的是（ ）
A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADC C．AC2＝AD•AB D．BC2＝BD•AB
【分析】根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，即可判断． 【解答】解：选项A、B、C的条件无法判断△ABC与△BDC相似． 正确答案是D．理由如下： ∵BC2＝BD•BA， ∴
＝
，∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD（两边成比例夹角相等的两个三角形相似）．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
6．一个密闭不透明的盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球（ ） A．30个
B．35个
C．40个
D．50个
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【解答】解：设盒子里有白球x个， 根据
解得：x＝40．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
7．若k≠0，则函数y＝和y＝kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是（ ）
得：
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【解答】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y＝kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y＝的图象在第一、三象限； ②当k＜0时，y＝kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y＝的图象在第二、四象限． 故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
8．若二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（ ） A．a＞﹣1
B．a＞﹣1且a≠0
C．a≥﹣1
D．a≥﹣1且a≠0
【分析】直接利用根的判别式进行计算，“图象和x轴有交点”说明△≥0，a≠0，即可得出结果．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点， ∴△＝b2﹣4ac＝4+4a≥0，a≠0， ∴a≥﹣1，且a≠0； 故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、判别式的应用；熟练掌握根的判别式的运用是解决问题的关键，本题的易错点是漏掉a≠0．
二、填空题
9．已知＝，则
＝ ﹣ ．
的值．
【分析】根据题意，设x＝3k，y＝4k，代入即求得【解答】解：设x＝3k，y＝4k， ∴
＝
＝﹣．
【点评】已知几个量的比值时，设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
10．计算：cos60°+
tan60°＝ 2 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案． 【解答】解：cos60°+故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．
11．高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为 40 米．
【分析】设此建筑物的高度为h，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出h的值． 【解答】解：设此建筑物的高度为h， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴
，解得h＝40m．
tan60°＝+
×
＝2．
故答案为：40m．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若△ABC的面积是8，则k＝ ﹣16 ．
【分析】连接AO，利用同底等高三角形面积相等求出AOB面积，利用反比例函数k的几何意义求出k的值即可．
【解答】解：接AO，由同底等高得到S△AOB＝S△ABC＝8， ∴|k|＝8，即|k|＝16， ∵反比例函数在第二象限过点A， ∴k＝﹣16， 故答案为：﹣16．
【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键．
13．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．该矩形草坪BC边的长是 12 米．
【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是方程求解．
【解答】解：设BC边的长为x米，则AB＝CD＝
米，
，根据长方形的面积公式列出一元二次
根据题意得：×x＝120，
解得：x1＝12，x2＝20， ∵20＞16，
∴x2＝20不合题意，舍去， 故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，E为对角线BD上一点，且BE＝3DE，CE⊥BD于E，则BC＝ 2
．
【分析】根据矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD，由BE＝3DE可得OE＝DE，根据线段垂直平分线的性质可得OC＝DC＝2，根据勾股定理可求BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AO＝BO＝CO＝DO，AB＝CD＝2， ∵BE＝3DE
∴BD＝4DE，OD＝2DE， ∴OE＝DE，且CE⊥DB， ∴CO＝DC＝2， ∴AO＝CO＝2， ∴AC＝4
在Rt△ABC中，BC＝故答案为2
＝2
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键．
15．已知A（0，3）和B（2，3）在抛物线y＝x2+bx+c上，则二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线 x＝1 ．
【分析】根据抛物线对称性求解可得．
【解答】解：∵A（0，3）和B（2，3）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴点A和点B是抛物线上关于对称轴对称的两点， ∴对称轴为直线x＝故答案为：x＝1．
【点评】此题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性．
16．已知反比例函数y＝的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，
＝1，
M2，M3…，Mn，则
＝ ．
【分析】先确定M1（1，1），M2（2，），M3（3，），…，Mn（n，），再根据三角形面积公式得到
S△P1M1M2＝×1×（1﹣），S△P2M2M3＝×1×（﹣），…，S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝×1×（
然后把它们相加即可．
【解答】解：∵M1（1，1），M2（2，），M3（3，），…，Mn（n，），
∴S△P1M1M2＝×1×（1﹣），S△P2M2M3＝×1×（﹣），…，S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝×1×（∴×（
﹣）
﹣）
﹣），
﹣），
＝×1×（1﹣）+×1×（﹣）+…+×1
＝（1﹣+﹣+…+＝•＝
．
．
故答案为
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
三、作图题
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2），以原点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2，在y轴的左侧，请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1．
【分析】利用位似比为1：2，进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案． 【解答】解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题关键．
四、解答题
18．计算
（1）x2+6x﹣2＝0（配方法）
（2）已知关于x的方程2x2+（k﹣2）x+1＝0有两个相等的实数根，求k的值． 【分析】（1）根据配方法的步骤计算可得；
（2）由方程有两个相等的实数根知△＝0，据此列出关于k的方程，解之可得． 【解答】解：（1）∵x2+6x﹣2＝0， ∴x2+6x＝2，
则x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11， 解得x+3＝±
，
∴x＝﹣3±即x1＝﹣3+
， ，x2＝﹣3﹣
；
（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴△＝0，即（k﹣2）2﹣4×2×1＝0， 整理，得：k2﹣4k﹣4＝0， 解得：k1＝2+2
，k2＝2﹣2
．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程与一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得△＝0．
19．小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏．游戏规则如下：在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．游戏者先从纸箱里随机摸出一个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再随机摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则游戏者可获得一份纪念品．请你利用树状图或列表法求游戏者获得纪念品的概率． 【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色相同的结果数为6， 所以游戏者获得纪念品的概率＝
＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． （1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
（3）如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【分析】（1）将点（24，50）代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间； （3）工作量除以工作时间即可得到工作的效率． 【解答】解：（1）设y＝． ∵点（24，50）在其图象上， ∴所求函数表达式为y＝
（2）由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200（m）； 2台挖掘机需要1200÷（2×30）＝20天；
（3）1200÷10＝120（m）． 故每天至少要完成120m．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 21．某商店经销一种销售成本为每件40元的商品，根据市场分析，当销售定价为52元时，每月可售出180件，定价每增加1元，销售量就将减少10件；定价每减少1元，销售量就将增加10件．若商店想在销售成本不高于7200元的情况下，使该商品的月销售利润达到2000元，则销售价应定为每件多少元？
【分析】设销售价应定为每件x元，根据利润＝2000，列出方程即可解决问题． 【解答】解：设销售价应定为每件x元，根据题意，得 （x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000 整理得x2﹣110x+3000＝0
解这个方程得x1＝50，x2＝60
当x＝50时，销售成本为40×[180﹣10（50﹣52）]＝8000（元） ∵8000＞7200，∴x＝50不合题意，应舍去
当x＝60时，销售成本为40×[180﹣10（60﹣52）]＝4000（元） 答：销售价应定为每件60元
；
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，列出方程解决问题． 22．小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（计算结果精确到1m） （参考数据：sin15°＝，cos15°＝
，tan15°＝
）
【分析】作DH⊥AB于H，根据余弦的定义求出BC，根据正弦的定义求出CD，结合题意计算即可． 【解答】解：作DH⊥AB于H， ∵∠DBC＝15°，BD＝20， ∴BC＝BD•cos∠DBC＝20×
＝19.2，CD＝BD•sin∠DBC＝20×＝5，
由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形， ∴EF＝BC＝19.2，BH＝CD＝5， ∵∠AEF＝45°， ∴AF＝EF＝19.2，
∴AB＝AF+FH+HB＝19.2+1.6+5＝25.8≈26m， 答：楼房AB的高度约为26m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．
（1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；
（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，求出CE∥AB，CE＝AB，根据平行四边形的判定得出四边形ABEC是平行四边形，根据矩形的判定得出即可．
（2）根据平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，求出AG＝CF，根据平行四边形的判定得出四边形
AFCG是平行四边形，求出AG＝CG，根据菱形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝CE， ∴CE∥AB，CE＝AB，
∴四边形ABEC是平行四边形， ∵AC⊥CD， ∴∠ACE＝90°， ∴四边形ABEC是矩形；
（2）四边形AFCG是菱形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB，
∵点F、G分别是BC、AD的中点， ∴AG＝DG＝AD，BF＝CF＝BC， ∴AG＝CF，
∴四边形AFCG是平行四边形， ∵∠ACD＝90°，G为AD的中点， ∴AG＝CG，
∴四边形AFCG是菱形．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24．如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过点B（，2），C（2，）． 请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度； （2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c表示，且经过点B（，2），C（2，），可以求得抛物线的解析式，然后令x＝0，求得y的值，即可得到OA的值；
（2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，即可求得喷出的水流距水面的最大高度； （3）根据题意和图象，求出抛物线与x轴的交点，即可得到水池半径的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c表示，且经过点B（，2），C（2，），
∴，
解得，，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+， 当x＝0时，y＝，
即抛物线的函数关系式是y＝﹣x2+2x+，喷水装置OA的高度是米；
（2）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+， ∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝， 答：喷出的水流距水面的最大高度是米； （3）令﹣x2+2x+＝0， 解得，x1＝﹣0.5，x2＝2.5，
答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
25．（8分）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2，
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2＝
；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四
个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10＝
；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
【分析】（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可；
（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的，依此可知结果；
（3）探索规律可知：，依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
【解答】解：（1）解法1：如图甲，由题意，得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝12＝1 如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x， ∴解得∴又∵
，
∴甲种剪法所得的正方形面积更大．
说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，S正方形OFDE＝1．
解法2：如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，
如图乙，设MN＝x，则由题意得AM＝MQ＝QP＝PN＝NB＝MN＝x， 则解得又∵
， ，
，即EC＞MN．
∴甲种剪法所得的正方形面积更大． （2）
（3）解法1：探索规律可知：
，
．
剩余三角形面积和为2﹣（S1+S2+…+S10）＝2﹣（1++…+解法2：由题意可知，
第一次剪取后剩余三角形面积和为2﹣S1＝1＝S1 第二次剪取后剩余三角形面积和为
，
）＝
第三次剪取后剩余三角形面积和为…
第十次剪取后剩余三角形面积和为
．
，
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点
B出发沿BA向点A运动，到达A点时停止运动．点P也同时停止．点P，Q运动速度均为每秒1
个单位长度，连接PQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点）， ①当t＝
秒 时PQ∥BC
②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求此时的t的值和AE的长； ②当l经过点B时，求t的值．
【分析】（1）①由题意得：BQ＝AP＝t，根据平行线分线段成比例定理得：程，解出即可；
，列关于t的方
②作高线PE，根据三角形面积公式可得：S关于t的函数关系式，并根据AB的长和点Q的速度确定
t的取值范围；
（2）①如图2，延长CD交QP于M，根据线段垂直平分线的性质可得：AQ＝AP，即6﹣t＝t，可得t的值，证明△AQP∽△CMP，列比例式可得CM的长，证明△AQE∽△DME，可得结论； ②如图3，作辅助线，构建等腰三角形，根据平行线分线段成比例定理可得结论． 【解答】解：（1）①由题意得：BQ＝AP＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10，AQ＝6﹣t，
∵PQ∥BC， ∴∴
， ， ，
秒时，PQ∥BC， 秒；
t＝
则当t＝故答案为：
②如图1，过P作PE⊥AB于E， sin∠BAC＝∴
，
，PE＝t，
∴S△APQ＝S＝AQ•PE＝（6﹣t）
t＝﹣+t（0＜t≤6）；
（2）①如图2，延长CD交QP于M， ∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A， ∴AQ＝AP，即6﹣t＝t， ∴t＝3，
∴AQ＝AP＝3，CP＝10﹣3＝7， ∵AQ∥CD， ∴△AQP∽△CMP， ∴∴
， ，CM＝7，
∴DM＝7﹣6＝1， ∵AQ∥DM， ∴△AQE∽△DME， ∴
＝，
∵AE+DE＝8， ∴AE＝6；
②如图3，连接PB，过P作PG⊥AB于G，则PG∥BC，
∵线段PQ的垂直平分线l经过点B， ∴PB＝BQ＝t＝AP， ∴AG＝BG，
∴AP＝PC＝AC＝5， ∴t＝5．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用等知识，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．
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