必修5《解三角形》综合测试题及解析

必修5第一章《解三角形》综合测试题（A）及解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为45和60，若45角所对的边长是6，则60角所对的边长是 【 A 】 A．36 B．32 C．33 D．26 答案：A.

解析：设60角所对的边长是x，由正弦定理得

ooooo6x，解得x36.故选A. oosin45sin60oooo2.在ABC中，已知a52，c10，A30，则B等于 【 D 】

A．105 B．60 C．15 D．105或15 答案：D.

解析：在ABC中，由

ooocsinA2acoo，得sinC，则C45或C135.故 a2sinAsinCooo 当C45时，B105；当C135时，B15.故选D.

3.在ABC中，三边长AB7，BC5，AC6，则ABBC的值等于 【 D 】 A．19 B．14 C．18 D．19 答案：D.

解析：由余弦定理得cosB49253619，故ABBC|AB||BC|cos(B) 2753575(19)19.故选D. 354.在ABC中，sinAb C．a≥b D．a、b的大小关系不确定 答案：A.

解析：在ABC中，由正弦定理 abab，sinB，由sinA 2R，得sinAsinAsinB2R2Rab，故ac6，B60；④a5，b8，A30.其中有两个解的是 【 B 】 A．①② B．①④ C．①②③ D．②③ 答案：B.

解析：① csinBo第 - 1 - 页 共 6 页

226.在ABC中，已知bbc2c0，且a6，cosA7，则ABC的面积是 【 A 】 8 A．15 B．15 C．2 D．3 2答案：A.

解析：由bbc2c0，得(b2c)(bc)0，故b2c或bc(舍去)，由余弦定理

2得3c120，故c2，又由cosAa2b2c22bccosA及已知条件，b4，

227及A是ABC8的内角可得sinA1515151，故S24.故选A.

88227.设a、a1、a2是钝角三角形的三边长，则a的取值范围为 【 B 】 A．0a2(a1)2(a2)2解析：设钝角为C，由三角形中大角对大边可知C的对边为a2，且cosC

2a(a1)(a3)(a1)<0，因为a>0，故a1>0，故0a+2，故a>1，故

2a(a1)18.ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且a4，bc5，tanAtanB3 3tanAtanB，则ABC的面积为 【 C 】

A．

3335 B．33 C． D．

222答案：C.

解析：由已知，得tanAtanB3(1tanAtanB)，即tan(AB)3，又A、B是ABC

ooo的内角，故AB120，则C60，由c4(5c)24(5c)cos60，解得c2227， 2故b

1133333，故SABCabsinC4.故选C.

222222

第 - 2 - 页 共 6 页

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共30分） 9.在ABC中，sinA答案：6.

31，cosB，a1，则b_________.

33解析：由cosB3ab326，得sinB1cos2B1(，由，得b )3sinAsinB33asinBsinA113636.

10.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c答案：2.

2，b6，B120o，则a______.

o2222解析：由余弦定理得bac2accosB，即6a222acos120，即a2a4

20，解得a2(舍去负值).

a2b2c211.如果ABC的面积是S，那么C____________.

43答案：30.

o1a2b2c23o解析：由题意得absinC，即3sinCcosC，故tanC，故C30.

234312.ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A60，b1，三角形的面积S

o3，则

答案：abc的值为____________.

sinAsinBsinC239. 3解析：由S11222bcsinAcsin60o3，得c4.由余弦定理得abc2bccosA 22abc13239，由等比性质，得 sinAsinBsinCsin60o3 13，故a13.故

abca239. sinAsinBsinCsinA313.一蜘蛛沿正北方向爬行xcm捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10cm捉到另一只小虫，这 时它向右转135爬行回它的出发点，那么x____________.

B

第 - 3 - 页 共 6 页

oo105

oC 135

ox A

答案：106. 3ooo解析：由题意作出示意图如图所示，则ABC18010575， BCA18013545，BC10，故A1807545

oooooo60o，由正弦定理得

106x10x，解得(cm). oo3sin45sin6014.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m(3,1)，n(cosA,sinA)， 若mn，且acosBbcosAcsinC，则B____________. 答案：

o或30. 6解析：由mn得mn0，故3cosAsinA0，即sinA3cosA0，故2sin(A 0，故A3)

3.由acosBbcosAcsinC，得sinAcosBsinBcosAsinC，即

2sin(AB)sin2C，故sinCsin2C，故sinC1，又C为ABC的内角，故C2，故

B(AC)().

326三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分12分）在ABC中，已知a2，c6，A45o，解此三角形.

解：由正弦定理，得sinCcsinA623oo，故C60或120. a222ooo222当C60时，B180(AC)75，由余弦定理，得bac2accosB

46226cos75423，则boo31.

oo222当C120时，B180(AC)15，由余弦定理，得bac2accosB

46226cos15423，则b故bo31.

A 31，C60o，B75o或b31，C120o，B15o.

D 16.（本题满分12分）如图，在四边形ABCD中，已知BAAD，AB10，

BC56，BAC60o，ADC135o，求CD的长.

ABsinBAC解：在ABC中，由正弦定理，得sinBCA

BC10sin602oo，因BC>AB，故CAB>BCA，故BCA45，故B75，由正弦 25610sin75ooo5(31)CAD90BAC30定理，得AC，在中，因，由正弦 ACDosin45第 - 4 - 页 共 6 页

oB C

ACsin30o5(62)定理，得CD. osin1352答：CD的长为

5(62).

217.（本题满分14分）a、b、c是ABC的内角A、B、C的对边，S是ABC的面积，若a4， b5，S53，求c. 解：由S31111，则cosC或cosC. absinC45sinC53，得sinC22222112时，由余弦定理，得c162524521，故c21； 22112 （2）当cosC时，由余弦定理，得c162524561，故c61.

22 （1）当cosC综上可知c为21或61.

18.（本题满分14分）在ABC中，sinBsinAcosC，其中A、B、C是ABC的三个内角， 且ABC最大边是12，最小角的正弦值是 （1）判断ABC的形状；

（2）求ABC的面积.

1. 3a2b2c2222解：（1）由sinBsinAcosC根据正弦定理和余弦定理，得ba，得bca，

2ab故ABC是直角三角形.

（2）由（1）知a12，设最小角为，则sin221，故cos（舍去负值），故SABC

33

111122bcasinacos1212162. 22233北 o19.（本题满分14分）海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为126海里；在A

o处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为83海里；货轮向正北

由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120.求 （1）A处与D处之间的距离； （2）灯塔C与D处之间的距离. 解：由题意画出示意图，如图所示.

oD 120C 30oo75oB oo（1）ABD中，由题意得ADB60，B45，由正弦定理得ADA ABsin45o24 osin60(海里).

22222o（2）在ABD中，由余弦定理，得CDADAC2ADACcos3024(83)

第 - 5 - 页 共 6 页

224833，故CD83(海里). 2答：A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为83海里.

● 以下两题任选一题作答

20.（本题满分14分）在锐角ABC中，边a、b是方程x23x20的两根，A、B满足

22sin(AB)30，解答下列问题：

（1）求C的度数； （2）求边c的长度； （3）求ABC的面积. 解：（1）由题意，得sin(AB)23oo，因ABC是锐角三角形，故AB120，C60； 2 （2）由a、b是方程x23x20的两根，得ab23，ab2，由余弦定理，得

2222 cab2abcosC(ab)3ab1266，故c6.

（3）故SABC1331. absinC2222220.（本题满分14分）ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若ABACBABC

1.解答下列问题：

（1）求证：AB； （2）求c的值；

（3）若|ABAC|6，求ABC的面积.

证：（1）因ABACBABC，故bccosAaccosB，即bcosAacosB.由正弦定理，得 sinBcosAsinAcosB，故sin(AB)0，因为b2c2a22221，即bca 解：（2）因ABAC1，故bccosA1，由余弦定理得bc2bc22；又由（1）得ab，故c2，故c2.

解：（3）由|ABAC|6得|AB||AC|2|ABAC|6，即cb26，故cb

22222224，因c2，故b2，故ABC是正三角形，故面积SABC332(2). 42

第 - 6 - 页 共 6 页