一、选择题（共10小题）. 1．﹣2的相反数是（ ） A．﹣2 2．使
B．2
有意义的x的取值范围是（ ）
B．x≥﹣1
C．x≠﹣1
D．x≤﹣1
C．
D．﹣
A．x＞﹣1
3．一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（ ） A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和大于1 C．两个小球的标号之和等于7 D．两个小球的标号之和大于7
4．下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，则一次打开锁的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
7．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），B（﹣2，n）．则关于x的不等式ax﹣b＞的解集是（ ）
A．x＞2，或﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1，或0＜x＜2
B．x＞1，或﹣2＜x＜0 D．0＜x＜1，或x＜﹣2
9．如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，C为PB上的一点，连接CO交⊙O于点D，若CD∥PA，PA＝9，CD＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
10．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中△ABC的与四边形DEFG均为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积可表示为S＝N+aL+b（a，b为常数），若某格点多边形对应的N＝14，L＝7，则S＝（ ）
A．16.5 B．17 C．17.5 D．18
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．计算的结果是 ．
12．在2021年元旦汇演中，10位评委给八年级一班的参赛节目打分如表格：
成绩/分 评委人数
94 2
95 1
96 3
97 1
98 2
99 1
则这组数据的众数是 ． 13．计算
﹣
的结果是 ．
14．如图．将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BE，若∠CBE＝75°，则∠BED的度数是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，点E为Rt△ABC外一点，且△ADE为等边三角形，∠CBE＝60°，若BC＝7，BE＝4，则△ADE的边长为 ．
16．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论为 ． 三、解答题（共8题，共72分} 17．计算：[（3x3）2﹣4x4•x2]÷x3．
18．如图，四边形ABCD中，BD⊥BC，点E在CD边上，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
19．小明同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调 查（每名学生只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m的值是 ，扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 度； （2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有1000名学生，请你估计该校九年级学生中大约有多少名学生对数学感兴趣？
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将边AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BA'； （2）画△ABC的高AD；
（3）将点D竖直向下平移3个单位长度得到点D'，画出点D'； （4）画线段A'B关于直线BC的对称线段BA″．
21．如图，从⊙O外一点P引割线PBC，PA与⊙O相切于点A，连接OB，AC，∠OBC＝
∠P．
（1）求证：∠BCA+∠P＝45°； （2）已知OB＝5，PA＝7，求BC的长．
22．B两种型号的受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
A型 B型
进价（元/个）
600 800
售价（元/个）
900 1200
销量（个/日）
200 400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
23．[问题背景]（1）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，直线l过点C，AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M，N．求证：△AMC≌△CNB；
[尝试应用]（2）如图2，AC＝BC，∠ACB＝90°，N，B，E三点共线，CN⊥NE，∠E＝45°，CN＝1，BN＝2．求AE的长；
[拓展创新]（3）如图3，在△DCE中，∠CDE＝45°，点A，B分别在DE，CE上，AC＝BC，∠ACB＝90°，若tan∠DCA＝，直接写出
的值为 ．
24．如图1，抛物线y＝x2+bx﹣4交x轴于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BC，点P在抛物线上，且满足∠PBC＝∠ACB，求点P的坐标； （3）如图2，直线l：y＝x+t（﹣4＜t＜0）交y轴于点E，过直线l上的一动点M作MN∥y轴交抛物线于点N，直线CM交抛物线于另一点D，直线DN交y轴于点F，试求OE+OF的值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．﹣2的相反数是（ ） A．﹣2
B．2
C．
D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 解：﹣2的相反数是2． 故选：B． 2．使
有意义的x的取值范围是（ ）
B．x≥﹣1
C．x≠﹣1
D．x≤﹣1
A．x＞﹣1
【分析】让被开方数为非负数列式求值即可． 解：由题意得：x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故选：B．
3．一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（ ） A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和大于1 C．两个小球的标号之和等于7 D．两个小球的标号之和大于7
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、两个小球的标号之和等于1是不可能事件，不合题意； B、两个小球的标号之和大于1是必然事件，不合题意； C、两个小球的标号之和等于7是随机事件，符合题意； D、两个小球的标号之和大于7是不可能事件，不合题意； 故选：C．
4．下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可． 解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D．
5．如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解：从左面看，第一层有2个正方形，第二层左侧有1个正方形． 故选：A．
6．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，则一次打开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况，即可求出所求的概率．
解：列表如下：（其中1，2，3分别表示三把钥匙，a，b表示两把锁，1能开启a，2能开启b），
a b
1 （1，a） （1，b）
2 （2，a） （2，b）
3 （3，a） （3，b）
所有等可能的情况有6种，任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况有2种，（1，a），（2，b）， 则P＝故选：B．
7．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（ ）
．
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出出各个选项中的量，从而可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
解：由题意和图象可得，乙到达B地时甲距A地120km，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷（3﹣1）＝60km/h，乙的速度是：80÷3＝时后两人距离为
；
x，得x＝1.8，即乙出发后被甲追
，即乙出发1小
设乙出发后被甲追上的时间为xh，则60（x﹣1）＝上的时间为1.8h．
所以符合题意的函数图象只有选项B． 故选：B．
8．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），B（﹣2，n）．则关于x的不等式ax﹣b＞的解集是（ ）
A．x＞2，或﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1，或0＜x＜2
B．x＞1，或﹣2＜x＜0 D．0＜x＜1，或x＜﹣2
【分析】不等式ax﹣b＞的解集，即为一次函数y＝ax﹣b的图象在反比例函数y＝（k＞0）的图象上方时的自变量的取值范围．
解：∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），B（﹣2，n），
m）Bn） ∴一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（2，，（﹣1，．由图象可知，关于x的不等式ax﹣b＞的解集是：﹣1＜x＜0或x＞2， 故选：A．
9．如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，C为PB上的一点，连接CO交⊙O于点D，若CD∥PA，PA＝9，CD＝2，则⊙O的半径长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
【分析】由切线长定理可得PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，由平行线的性质可证CP＝CO＝2+OD，由勾股定理可求解． 解：如图，连接OB，PO，
∵从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点， ∴PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°， ∵CD∥AP，
∴∠COP＝∠OPA＝∠OPB， ∴CP＝CO＝2+OD，
∴BC＝9﹣（2+OD）＝7﹣OD， ∵OC2＝OB2+BC2，
∴（7﹣OD）2+OD2＝（2+OD）2， ∴OD＝3，OD＝15（不合题意舍去）， ∴⊙O的半径长是3， 故选：D．
10．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中△ABC的与四边形DEFG均为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积可表示为S＝N+aL+b（a，b为常数），若某格点多边形对应的N＝14，L＝7，则S＝（ ）
A．16.5 B．17 C．17.5 D．18
【分析】先分别根据△ABC和四边形DEFG中，S、N、L的数值得出关于a和b的二元一次方程组，解得a和b的值，则可求得当N＝14，L＝7时S的值． 解：△ABC中，S＝1，N＝0，L＝4，则4a+b＝1；
同理，四边形DEFG中，S＝2×4﹣1×2÷2﹣1×1÷2﹣2×3÷2＝3.5 N＝2．L＝5 ∴2+5a+b＝3.5； 联立得
解得：a＝0.5，b＝﹣1
∴N＝14，L＝7，则S＝14+3.5﹣1＝16.5 故选：A．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．计算
的结果是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 解：
＝
＝4．
故答案为：4．
12．在2021年元旦汇演中，10位评委给八年级一班的参赛节目打分如表格：
成绩/分 评委人数
94 2
95 1
96 3
97 1
98 2
99 1
则这组数据的众数是 96 ． 【分析】根据众数的意义求解即可．
解：10位评委的打分，出现次数最多的是96分，共出现3次，因此打分的众数是96分，故答案为：96． 13．计算
﹣
的结果是
．
【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值． 解：原式＝＝＝
﹣．
．
﹣
故答案为：
14．如图．将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BE，若∠CBE＝75°，则∠BED的度数是 15° ．
【分析】由旋转的性质可得∠ADE＝∠ABC，∠BAD＝90°，由三角形内角和定理和四边形内角和定理可求∠BHE的度数，即可求解． 解：如图，延长ED交BC于H，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC，∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠DAE+∠AED＝180°＝∠ABC+∠DAE+∠AED， ∵∠ABC+∠BHE+∠AED+∠BAD+∠DAE＝360°， ∴∠BHE＝90°， ∵∠CBE＝75°， ∴∠BED＝15°， 故答案为15°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，点E为Rt△ABC外一点，且△ADE为等边三角形，∠CBE＝60°，若BC＝7，BE＝4，则△ADE的边长为 2
．
【分析】在BC的延长线上取点F，使得∠AFD＝60°，证△AFD≌△DBE（AAS），得FD＝BE＝4，AF＝BD，设CF＝x，则CD＝4﹣x，BD＝3+x，再由含30°角的直角三角形的性质得AF＝2x，则2x＝x+3，解得x＝3，即可解决问题． 解：在BC的延长线上取点F，使得∠AFD＝60°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝∠AFD+∠DAF＝∠ADE+∠EDB，
∴∠DAF＝∠EDB， 在△AFD和△DBE中，
，
∴△AFD≌△DBE（AAS）， ∴FD＝BE＝4，AF＝BD，
设CF＝x，则CD＝4﹣x，BD＝7﹣（4﹣x）＝3+x， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°， ∴AF＝2CF＝2x， ∴2x＝x+3， 解得：x＝3， ∴CF＝3，AC＝3∴CD＝1， ∴AD＝故答案为：2
．
＝
＝2
，
，
16．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论为 ②③ ．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数
的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根． 解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误，不符合题意；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， ∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确，符合题意；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2）， ∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确，符合题意；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2， 即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④错误，不符合题意． 故答案为：②③．
三、解答题（共8题，共72分} 17．计算：[（3x3）2﹣4x4•x2]÷x3．
【分析】原式括号中利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及同底数幂的乘法法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值． 解：原式＝（9x6﹣4x6）÷x3 ＝5x6÷x3 ＝5x3．
＝﹣1，
18．如图，四边形ABCD中，BD⊥BC，点E在CD边上，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
【分析】根据平行线的判定得出BD与EF平行，进而利用平行线的性质和判定解答即可．【解答】证明：∵BD⊥BC，EF⊥BC， ∴BD∥EF， ∴∠BDC＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD．
19．小明同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调 查（每名学生只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m的值是 18 ，扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是 108 度； （2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有1000名学生，请你估计该校九年级学生中大约有多少名学生对数学感兴趣？
【分析】（1）（1）先算出总人数，再求m的值，算出数学的百分比后求圆心角的度数；（2）求出数学的人数； （3）利用对数学的百分比可求．
解：（1）总人数＝10÷20%＝50，m＝9÷50×100＝18．“数学”所对应的圆心角的度
数＝15÷50×360＝108°．
（2）“数学”的人数＝50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3＝15．
（3）该校九年级学生中对“数学”感兴趣的人数＝1000×15÷50＝300人．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将边AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BA'； （2）画△ABC的高AD；
（3）将点D竖直向下平移3个单位长度得到点D'，画出点D'； （4）画线段A'B关于直线BC的对称线段BA″．
【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）取格点M连接AM交BC于点D．
（3）取格点M，N，G，H，连接MN，GH交于点D′，点D′即为所求作． （4）取格点P，Q，连接BP，PQ，作AA″⊥PQ于A″，连接BA″即可． 解：（1）如图，线段BA′即为所求作． （2）如图，线段AD即为所求作． （3）如图，点D′即为所求作． （4）如图，线段BA″即为所求作．
21．如图，从⊙O外一点P引割线PBC，PA与⊙O相切于点A，连接OB，AC，∠OBC＝∠P．
（1）求证：∠BCA+∠P＝45°； （2）已知OB＝5，PA＝7，求BC的长．
【分析】（1）连接OA，OC，根据切线的性质可得OA⊥PA，进而可得结论； （2）设OA交BC于点E，过点O作OD⊥BC于点D，可得BC＝2CD，由△COE∽△PAE，对应边成比例可得
＝
＝，设OE＝5a，则AE＝7a，OC＝OA＝12a，利用
勾股定理和锐角三角函数即可得结论． 解：（1）连接OA，OC， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠OBC＝∠P， ∴∠OCB＝∠P， ∴OC∥PA， ∴OC⊥OA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝45°，
∴∠BCA+∠P＝∠BCA+∠OCB＝∠OCA＝45°；
（2）设OA交BC于点E，过点O作OD⊥BC于点D， 则BC＝2CD， ∵OC∥PA， ∴△COE∽△PAE， ∴
＝
＝，
设OE＝5a，则AE＝7a，OC＝OA＝12a， ∴CE＝∴cos∠ECO＝∴CD＝
OC＝
＝13a， ＝
＝×5＝．
＝，
，
∴BC＝2CD＝
22．B两种型号的受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
A型 B型
进价（元/个）
600 800
售价（元/个）
900 1200
销量（个/日）
200 400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
【分析】（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论； （2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，
解得0≤x≤60，
故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数； （2）x的取值范围为20≤x≤60．
理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250， 当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000， （x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25， 解得：x＝20或x＝70． 要使y≥234000， 得20≤x≤70； ∵0≤x≤60， ∴20≤x≤60；
（3）设捐款后每天的利润为w元，
则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a， 对称轴为∵0＜a≤100， ∴
，
，
∵抛物线开口向下，
当30≤x≤40时，w随x的增大而增大， 当x＝40时，w最大，
∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200， 解得a＝30．
23．[问题背景]（1）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，直线l过点C，AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M，N．求证：△AMC≌△CNB；
[尝试应用]（2）如图2，AC＝BC，∠ACB＝90°，N，B，E三点共线，CN⊥NE，∠E＝45°，CN＝1，BN＝2．求AE的长；
[拓展创新]（3）如图3，在△DCE中，∠CDE＝45°，点A，B分别在DE，CE上，AC＝BC，∠ACB＝90°，若tan∠DCA＝，直接写出
的值为 5 ．
【分析】（1）由“AAS”可证△AMC≌△CNB；
（2）延长NC，EA交于点H，过点A作AM⊥NH于M，由（1）可知：△BCN≌△CAM，可得CM＝BN＝2，CN＝AM＝1，由直角三角形的性质可求解； （3）通过证明△BCN∽△BFH，可求FH＝即可求解．
【解答】证明：（1）∵AM⊥l，BN⊥l， ∴∠AMC＝∠BNC＝90°＝∠ACB， ∴∠ACM+∠MAC＝90°＝∠ACM+∠BCN， ∴∠MAC＝∠BCN， 在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS）；
（2）如图2，延长NC，EA交于点H，过点A作AM⊥NH于M，
a，通过证明△FEH∽△AEC，可求AE，
由（1）可知：△BCN≌△CAM， ∴CM＝BN＝2，CN＝AM＝1， ∵∠E＝45°，∠N＝90°， ∴∠H＝∠E＝45°，
∴NE＝NH，∠H＝∠MAH＝45°， ∴MH＝AM＝1， ∴AH＝∴HE＝4∴AE＝3
，HN＝4＝NE， ， ；
（3）如图3，过点B作BN⊥CD，交DC的延长线于N，延长NB交DE于F，过点A作AM⊥CD于M，过点F作FH⊥CE于H，
∵tan∠DCA＝＝，
∴设AM＝a，CM＝2a， ∴AC＝
＝
a＝BC，
由（1）可知：△AMC≌△BNC， ∴AM＝CN＝a，BN＝CM＝2a， ∵∠CDE＝45°，AM⊥CD，BN⊥CD， ∴∠CDE＝∠DAM＝∠DFN＝45°，
∴AM＝DM＝a，DN＝NF＝DM+CM+CN＝4a， ∴AD＝∴AF＝3
a，DF＝4a，
a，BF＝NF﹣NB＝2a，
∵∠FHB＝∠CNB＝90°，∠CBN＝∠FBH， ∴△BCN∽△BFH， ∴∴FH＝
＝a，
，
∵FH⊥CE，AC⊥CE， ∴∠ACE＝∠FHE＝90°， 又∵∠AEC＝∠FEH， ∴△FEH∽△AEC， ∴
，
∴∴AE＝5∴
＝a，
，
＝5，
故答案为5．
24．如图1，抛物线y＝x2+bx﹣4交x轴于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BC，点P在抛物线上，且满足∠PBC＝∠ACB，求点P的坐标； （3）如图2，直线l：y＝x+t（﹣4＜t＜0）交y轴于点E，过直线l上的一动点M作MN∥y轴交抛物线于点N，直线CM交抛物线于另一点D，直线DN交y轴于点F，试求OE+OF的值．
【分析】（1）求出点B的坐标，由抛物线的解析式可得出b的值，则可得出答案； （2）延长CA、BP交于点Q，设点Q点的坐标为（m，n），求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣4，解方程组得出答案；
（3）设点D的坐标为（s，s2+s﹣4），C（0，﹣4），由题意得出
＝t+4，设
可求出点Q的坐标，联立直线BQ和抛物线解析，则可
直线DN：y＝mx+n，由得出s•xN＝﹣8﹣2n，则＝﹣4﹣n，可得
出﹣t﹣n＝8，由点的坐标可得出OE+OF＝8．
解：（1）对于抛物线y＝x2+bx﹣4，当x＝0时，y＝﹣4， ∴点C的坐标为（0，﹣4），即OC＝4， ∵OC＝2OB，
∴OB＝2，即点B的坐标为（2，0）， ∴×22+2b﹣4＝0， 解得，b＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4； （2）延长CA、BP交于点Q， 设点Q点的坐标为（m，n）， ∵∠PBC＝∠ACB， ∴QC＝QB，
∴QC2＝QB2，即m2+（n+4）2＝（2﹣m）2+n2， 整理得，m+2n+3＝0，
解方程x2+x﹣4＝0得，x1＝﹣4，x2＝2， 则点A的坐标为（﹣4，0）， 设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则解得，
， ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣4， ∵点Q在直线AC上， ∴n＝﹣m﹣4，
，
解得，
，
∴点Q点的坐标为（﹣5，1）， 设直线BQ的解析式为：y＝px+q， 则
，
解得，，
则直线BQ的解析式为：y＝﹣x+，
解方程组，得，，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（3）设点D的坐标为（s，s2+s﹣4），C（0，﹣4）， ∴直线CD的解析式为y＝（s+1）x﹣4，
联立，得x+t＝，
∴sx＝x+4， ∴
＝t+4，
设直线DN：y＝mx+n，
联立，
∴+（1﹣m）x﹣n﹣4＝0，
∴s•xN＝﹣8﹣2n， ∴
＝﹣4﹣n，
∵MN∥y轴， ∴xM＝xN， ∴t+4＝﹣4﹣n， ∴﹣t﹣n＝8，
∵OE＝﹣t，OF＝﹣n， ∴OE+OF＝8．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容