一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，最小的数是（ ） A．0 2．式子
B．﹣2
C．1
D．﹣
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
B．x≥﹣2
C．x＜﹣2
D．x≤﹣2
A．x＞﹣2
3．若一个口袋中装有2个红球和一个黑球，对于“从中摸出一个球是红球”这个事件，下列说法正确的是（ ） A．发生的可能性为 C．随机事件
B．是不可能事件 D．必然事件
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知某个几何体的主视图和俯视图分别如下，则该几何体可能为（ ）
A． B． C． D．
6．中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思
是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ） A．3（x﹣2）＝2x+9 C．+2＝
B．3（x+2）＝2x﹣9 D．﹣2＝
7．从0，1，2，3这四个数中任取一个数记为a，则关于x的不等式（a﹣2）x＞3（a﹣2）的解集为x＜3的概率是（ ） A． 8．反比例函数y＝取值范围（ ） A．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜1
B．a＞1
B．
C．
D．1
的图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），若y1＜y2，则a的
D．这样的a值不存在
9．如图，半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，连接OA交BC于点H，连接OB，AB．若∠D+∠E＝240°，HC＝3BH，则△ABO的面积为（ ）
A．3
B．
C．
D．2
10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在1+1+似地1+A．
+…中，“…”代表按规律不断求和，设
+…＝2．类
+…＝x．则有x＝1+x，解得x＝2，故1++…的结果为（ ） B．
C．
D．2
二．填空题（共6小题） 11．计算
的结果是 ．
12．据2020年3月16日中央电视台“战疫情•看数据变化”报道，截止3月15日24时止的前八天，31个省市和新疆生产建设兵团报告新增确诊病例数（单位：例）如表： 3月8日 3月9日 3月10日 3月11日 3月12日 3月13日 3月14日 3月15日 40
18
24
15
8
11
20
16
这组数据的中位数是 ． 13．计算
的结果为 ．
14．如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF＝120°，则∠C的度数为 ．
15．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象的顶点在第三象限，且经过点A（1，0），B（﹣1，t），则t的取值范围为 ．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为AC边上一点，∠ABD＝45°，tan∠A＝，若BC＝21，则DC的长为 ．
三．解答题（共8小题） 17．计算：（2x2）4﹣x•x3•x4．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，E是DC延长线上一点，连接AE，求证：∠E＝∠BAE．
19．某中学全体同学参加了“关怀贫困学生”爱心捐款活动，该校随机抽查了七、八、九三个年级部分学生捐款情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图．根据图中的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽查了 学生进行统计，其中D类所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校有2000名学生，估计该校捐款25元的学生有多少人？
20．横、纵坐标均为整数的点称为格点，如图，△ABC的三个顶点A（2，1），B（6，3），C（3，3）均为格点，AB上的点D（4，2）也为格点．用无刻度的直尺作图： （1）将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，写出格点E的坐标； （2）将线段AE平移至线段CM，使点A与点C重合，直接写出格点M的坐标； （3）画出线段AC关于CM对称的线段CH，保留作图痕迹．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，∠BAD＝90°，延长AD，BC交于点F．过点D作⊙O的切线，交BF于点E． （1）求证：DE＝EF； （2）若
，求
的长．
22．受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
A型 B型
进价（元/个）
600 800
售价（元/个）
900 1200
销量（个/日）
200 400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值． 23．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F
（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；
（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．
（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长． 24．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，9），与x轴的交点为A（﹣2，0），B． （1）求抛物线的解析式；
（2）M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO，求点M的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为y＝ax2+bx+h，E，F新抛物线在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若始终存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，最小的数是（ ） A．0
B．﹣2
C．1
D．﹣
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较． 【解答】解：最小的数是﹣2， 故选：B． 2．式子
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
B．x≥﹣2
C．x＜﹣2
D．x≤﹣2
A．x＞﹣2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故选：B．
3．若一个口袋中装有2个红球和一个黑球，对于“从中摸出一个球是红球”这个事件，下列说法正确的是（ ） A．发生的可能性为 C．随机事件
B．是不可能事件 D．必然事件
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依此即可求解．
【解答】解：若一个口袋中装有2个红球和一个黑球，对于“从中摸出一个球是红球”可能发生也可能不发生，所以这个事件是随机事件． 故选：C．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D．
5．已知某个几何体的主视图和俯视图分别如下，则该几何体可能为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的主视图和俯视图，结合各选项的几何体可得答案． 【解答】解：由该几何体的主视图和俯视图知该几何体是
故选：C．
6．中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思
是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（ ） A．3（x﹣2）＝2x+9 C．+2＝
B．3（x+2）＝2x﹣9 D．﹣2＝
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【解答】解：设有x辆车，则可列方程： 3（x﹣2）＝2x+9． 故选：A．
7．从0，1，2，3这四个数中任取一个数记为a，则关于x的不等式（a﹣2）x＞3（a﹣2）的解集为x＜3的概率是（ ） A．
B．
C．
D．1
【分析】根据不等式的性质得出a＜2，再根据概率公式求解可得． 【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣2）x＞3（a﹣2）的解集为x＜3， ∴a﹣2＜0， 解得a＜2，
在0，1，2，3这四个数中满足a＜2的有2个数，
所以关于x的不等式（a﹣2）x＞3（a﹣2）的解集为x＜3的概率是＝， 故选：C． 8．反比例函数y＝取值范围（ ） A．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜1
B．a＞1
的图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），若y1＜y2，则a的
D．这样的a值不存在
【分析】先判断比例系数的正负，再根据反比例的性质，确定a的不等式，并解不等式便可．
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴在同一分支上，反比例函数y随x的增大而减小， ∵a﹣1＜a+1，y1＜y2，
∴点A，B不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上． ∴a﹣1＜0，且a+1＞0， ∴﹣1＜a＜1， 故选：C．
9．如图，半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，连接OA交BC于点H，连接OB，AB．若∠D+∠E＝240°，HC＝3BH，则△ABO的面积为（ ）
A．3
B．
C．
D．2
【分析】连接OC，过点C，B分别作AO的垂线，垂足分别为M，N，根据切线的性质得到∠OAE＝∠OCD＝90°，根据五边形的内角和得到∠AOC＝120°，求得∠MOC＝180°﹣∠AOC＝60°，根据直角三角形的性质得到的性质得到
，于是得到结论．
，根据相似三角形
【解答】解：连接OC，过点C，B分别作AO的垂线，垂足分别为M，N， ∵半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∵∠AOC+∠OCD+∠D+∠E+∠OAE＝540°，∠D+∠E＝240°， ∴∠AOC＝120°，
∴∠MOC＝180°﹣∠AOC＝60°， ∵OC＝3， ∴
，
∵CM⊥AO，BN⊥AO， ∴CM∥BN， ∴△HCM∽△HBN， ∴
，
∴∴故选：C．
，
，
10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在1+1+似地1+A． 【
分
析
+…中，“…”代表按规律不断求和，设
+…＝2．类
+…＝x．则有x＝1+x，解得x＝2，故1++…的结果为（ ） B．
】
设
，据此可得
C．
D．2
，知
，再进一步求
解可得． 【解答】解：设则∴解得
， ，
，
，
故选：B．
二．填空题（共6小题） 11．计算
的结果是 2 ．
【分析】根据算术平方根的定义把原式进行化简即可． 【解答】解：∵22＝4，
∴＝2．
故答案为：2．
12．据2020年3月16日中央电视台“战疫情•看数据变化”报道，截止3月15日24时止的前八天，31个省市和新疆生产建设兵团报告新增确诊病例数（单位：例）如表： 3月8日 3月9日 3月10日 3月11日 3月12日 3月13日 3月14日 3月15日 40
18
24
15
8
11
20
16
这组数据的中位数是 17 ．
【分析】要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数的平均数．
【解答】解：按从小到大的顺序排列8，11，15，16，18，20，24，40，最中间的两个数是16，18，
故这组数据的中位数为（16+18）÷2＝17． 故答案为：17． 13．计算
的结果为 ﹣
．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值． 【解答】解：原式＝＝＝＝﹣＝﹣
．
． ﹣
﹣
故答案为：﹣
14．如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF＝120°，则∠C的度数为 140° ．
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，进而利用三角形的内角和解
答即可．
【解答】解：设∠CBD＝x， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝x， ∴∠ADB＝∠CBD＝x， ∵AH⊥BC，AD∥BC， ∴∠DAH＝∠AHB＝90°， ∵F为ED的中点． ∴AF＝FD，
∴∠FAD＝∠ADB＝x， ∵∠BAF＝120°， ∴∠BAD＝120°+x， ∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°， 可得：2x+120°+x＝180°， 解得：x＝20°，
∴∠BAD＝120°+x＝140° ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠C＝∠BAD＝140°． 故答案为：140°．
15．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象的顶点在第三象限，且经过点A（1，0），B（﹣1，t），则t的取值范围为 ﹣6＜t＜0 ．
【分析】根据二次函数图象的性质利用图象经过点（1，0），得出b＝3﹣a，再结合图象的顶点在第三象限得出0＜a＜3，然后由抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点（﹣1，t），得出t＝a﹣b﹣3＝2a﹣6，进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（1，0），B（﹣1，t），且顶点在第三象限， ∴抛物线开口向上，a+b﹣3＝0， ∴a＞0，b＝3﹣a． 又﹣
＜0，
∴b＞0，
∴3﹣a＞0，a＜3， ∴a的取值范围为0＜a＜3．
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点（﹣1，t），
∴t＝a﹣b﹣3＝a﹣（3﹣a）﹣3＝a﹣3+a﹣3＝2a﹣6， ∵0＜a＜3， ∴0＜2a＜6，
∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜t＜0， ∴t的取值范围为﹣6＜t＜0． 故答案为﹣6＜t＜0．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为AC边上一点，∠ABD＝45°，tan∠A＝，若BC＝21，则DC的长为 3 ．
【分析】过点D作BD的垂线交AB于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．证△BCD≌△DFE得DF＝BC＝21，EF＝CD，设CD＝EF＝3x，由
知AF＝4x，从
而得AC＝AF+CD+DF＝7x+21，结合AC＝28求出x的值，从而得出答案． 【解答】解：过点D作BD的垂线交AB于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
∵∠ABD＝45°，
∴DE＝BD． 又∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠BDC＝90°，∠EDF+∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝∠EDF， 又∠C＝∠EFD＝90°， ∴△BCD≌△DFE（AAS）， ∴DF＝BC＝21，EF＝CD， 设CD＝EF＝3x， ∵
∴AF＝4x，
∴AC＝AF+CD+DF＝4x+3x+21＝7x+21， 又
∴AC＝28， ∴7x+21＝28， ∴x＝1， ∴CD＝3x＝3． 故答案为：3． 三．解答题（共8小题） 17．计算：（2x2）4﹣x•x3•x4．
【分析】先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可． 【解答】解：原式＝16x8﹣x8 ＝15x8．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，E是DC延长线上一点，连接AE，求证：∠E＝∠BAE．
，
，
【分析】根据平行线的性质可得∠D＝∠BCE，根据等量关系可得∠B＝∠BCE，根据平行线的判定可得AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠E＝∠BAE． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠D＝∠BCE， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠BCE， ∴AB∥DC， ∴∠E＝∠BAE．
19．某中学全体同学参加了“关怀贫困学生”爱心捐款活动，该校随机抽查了七、八、九三个年级部分学生捐款情况，将结果绘制成两幅不完整的统计图．根据图中的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽查了 50名 学生进行统计，其中D类所对应扇形的圆心角的度数为 50.4° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校有2000名学生，估计该校捐款25元的学生有多少人？
【分析】（1）根据C类的人数和所占的百分比可以求得本次抽查的人数，再根据条形统计图中的数据，可以计算出D类所对应扇形的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B类的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校捐款25元的学生有多少人． 【解答】解：（1）本次抽取了14÷28%＝50名学生进行统计，
其中D类所对应扇形的圆心角的度数为：360°×故答案为：50名，50.4°；
＝50.4°，
（2）捐款10元的学生有：50﹣9﹣14﹣7﹣4＝16（名）， 补全的条形统计图如右图所示； （3）2000×
＝160（人），
答：该校捐款25元的学生有160人．
20．横、纵坐标均为整数的点称为格点，如图，△ABC的三个顶点A（2，1），B（6，3），C（3，3）均为格点，AB上的点D（4，2）也为格点．用无刻度的直尺作图： （1）将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，写出格点E的坐标； （2）将线段AE平移至线段CM，使点A与点C重合，直接写出格点M的坐标； （3）画出线段AC关于CM对称的线段CH，保留作图痕迹．
【分析】（1）根据线段AD绕点A顺时针旋转90°，即可得到线段AE； （2）根据线段AE平移至线段CM，使点A与点C重合，即可得到线段CM； （3）设CM与AB交于点G，由图可得CF∥MN，CF＝MN＝2，进而得出四边形CMNF
为平行四边形，故FN∥CM，根据AM＝MN，即可得到AG＝GH，再根据AE⊥AB，CM∥AE，即可得出CM⊥AB，故CM垂直平分AH，进而得到线段AC关于CM对称的线段为CH．
【解答】解：（1）如图所示，AE即为所求，E（3，﹣1）； （2）如图所示，CM即为所求，M（4，1）；
（3）取点F（5，3），N（6，1），连接NF交AB于点H，连接CH，则CH即为所求． 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，∠BAD＝90°，延长AD，BC交于点F．过点D作⊙O的切线，交BF于点E． （1）求证：DE＝EF； （2）若
，求
的长．
【分析】（1）连接BD，由AB＝AC知∠ABC＝∠ADB，证∠ABC＝∠CDF得∠CDF＝∠ADB．由∠BAD＝90°知BD为⊙O的直径，据此得∠F+∠CDF＝90°，结合DE为⊙O的切线得∠ADB+∠EDF＝90°，根据∠CDF＝∠ADB得∠F＝∠EDF，从而得证； （2）由此知
可设EC＝3，则EF＝5，CF＝8，证△EDC～△EBD得
，BC＝
，据
，连接OB，OC，AC，AO并延长AO交BC于点H，由AB
，再由AH⊥BC，DC⊥BC
＝AC，OB＝OC知AO垂直平分BC，从而得知DC∥AH，得
．
【解答】解：（1）连接BD，
∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF， ∴∠CDF＝∠ADB． ∵∠BAD＝90°， ∴BD为⊙O的直径， ∴∠DCB＝90°， ∴∠DCF＝90°， ∴∠F+∠CDF＝90°， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， ∴∠ADB+∠EDF＝90°， ∵∠CDF＝∠ADB， ∴∠F＝∠EDF， ∴DE＝EF；
，
设EC＝3，则EF＝5，CF＝3+5＝8， ∵∠BDE＝∠DCE＝90°，∠DEC＝∠DEB， ∴△EDC～△EBD， ∴∴
， ，
∴，
连接OB，OC，AC，AO并延长AO交BC于点H， 又∵OB＝OC，AB＝AC， ∴AO垂直平分BC， ∴
，
∵AH⊥BC，DC⊥BC， ∴DC∥AH， ∴
．
22．受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
A型 B型
进价（元/个）
600 800
售价（元/个）
900 1200
销量（个/日）
200 400
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值． 【分析】（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论； （2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，
解得0≤x≤60，
故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数； （2）x的取值范围为20≤x≤60．
理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250， 当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000， （x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25， 解得：x＝20或x＝70． 要使y≥234000， 得20≤x≤70； ∵0≤x≤60， ∴20≤x≤60；
（3）设捐款后每天的利润为w元，
则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a， 对称轴为∵0＜a≤100， ∴
，
，
∵抛物线开口向下，
当30≤x≤40时，w随x的增大而增大， 当x＝40时，w最大，
∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200， 解得a＝30．
23．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F
（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；
（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．
（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．
【分析】（1）证明△DAB≌△CBA（AAS），即可得出AD＝BC；
（2）在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），得出BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，证出BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，得出EC＝
BE＝2
，进而得出答案；
（3）在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），得出BE＝AD＝1，DB＝AE，证出BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，EF＝EB＝1，FB＝FC，证明△CBE～△CFB，得出BC2＝CE•CF，求出CE的长，进而得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF， ∴∠D＝∠C， 在△DAB和△CBA中，∴△DAB≌△CBA（AAS）， ∴AD＝BC；
（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示： 由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），
∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°， ∴∠BEC＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠BEC＝∠C，
∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°， ∴EC＝
BE＝2
，
，
∵AC＝4，
∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2∴BD＝AE＝4﹣2
．
，
（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示： 由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），
∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°， ∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°， ∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°， ∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，
∴∠FBC＝72°，
∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°， ∴EF＝EB＝1，FB＝FC， ∵∠DBA＝∠CAB， ∴AF＝FB＝FC＝1+EC， ∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C， ∴△CBE～△CFB， ∴
，
∴BC2＝CE•CF， ∴CE•CF＝1，
∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0， 解得：∴∴∴
（负值已舍去）， ， ，
．
24．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，9），与x轴的交点为A（﹣2，0），B． （1）求抛物线的解析式；
（2）M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO，求点M的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为y＝ax2+bx+h，E，F新抛物线
在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若始终存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．
【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+9（a≠0），将点A的坐标代入求得a的值即可；
（2）作原点O关于直线x＝1的对称点D（2，0），连接CD，则∠CDO＝∠COD＝2∠CBO，结合三角形外角定理推知∠BCD＝∠CBO，故CD＝DB＝2．由勾股定理求得线段TC的长度，则
．由待定系数法确定直线BM解析式为
，与抛
物线y＝﹣x2+2x+8联立得到：
．由此求得点M坐标；
（3）设E（m，n）（m＞0，n＞0，m≠n），由全等三角形的对应边相等和二次函数图象上点的坐标特征建立h与m或h的函数关系式，从而求h的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，9）， ∴设该抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+9（a≠0）， 把（﹣2，0）代入抛物线解析式得9a+9＝0，a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；
（2）令y＝0得﹣（x﹣1）2+9＝0，x＝﹣2，或x＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4
抛物线对称轴直线x＝1与x轴交点为T，
如图1，作原点O关于直线x＝1的对称点D（2，0），连接CD， 则∠CDO＝∠COD＝2∠CBO， ∵∠CDO＝∠BCD+∠CBO， ∴∠BCD＝∠CBO， ∴CD＝DB＝2．
∴∴
．
．
∴设直线BM的解析式为y＝kx+t， 则解得
，
， ．
，
．
，
．
，
；
∴直线BM解析式为
与抛物线y＝﹣x2+2x+8联立得∴∴
故点M坐标为
（3）如图2，设E（m，n）（m＞0，n＞0，m≠n）， ∵△GEO≌△HOF，
∴OH＝EG＝n，FH＝OG＝m， ∴F（n，m），
设新抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+h，
把点E，F的坐标代入抛物线的解析式得：m＝﹣n2+2n+h，n＝﹣m2+2m+h， 即h＝n2﹣2n+m，h＝m2﹣2m+n，
∴m2﹣2m+n＝n2﹣2n+m，m2﹣n2+3（n﹣m）＝0，（m﹣n）（m+n﹣3）＝0， ∵m≠n，
∴m+n＝3，m＝3﹣n， ∵m＞0，n＞0，m≠n， ∴0＜n＜3且
．
把m＝3﹣n代入h＝n2﹣2n+m，得∵0＜n＜3且∴
．
．
故h的取值范围
．
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