2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷(一)

2021年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. −2的相反数是( )

A. 2

1

B. −2

1

C. 2 D. −2

2. 若√𝑥+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )

A. 𝑥≤1 B. 𝑥≥1 C. 𝑥≥−1 D. 𝑥≤−1

3. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，5.从中同时抽取两张

.则下列事件为随机事件的是( )

A. 两张卡片的数字之和等于11 C. 两张卡片的数字之和等于8

B. 两张卡片的数字之和大于或等于3 D. 两张卡片的数字之和等于1

4. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

5. 如图所示的几何体的俯视图是( )

A.

B.

C.

D.

6. 某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、

乙两位选手的概率是( )

A. 3

1

B. 4

1

C. 6

1

D. 8

1

7. 下列反比例函数图象的一个分支在第三象限的是( )

A. 𝑦=

3−𝜋𝑥

B. 𝑦=2𝑥

−1

C. 𝑦=𝑥

𝑘

D. 𝑦=−𝑥

3

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8. 为增强居民节水意识，我市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月

用水不超过10吨，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费，公司为居民绘制的水费𝑦(元)与当月用水量𝑥(吨)之间的函数图象如下，则下列结论错误的是( )

A. 𝑎=1.5 B. 𝑏=2

C. 若小明家3月份用水14吨，则应缴水费23元

D. 若小明家7月份缴水费30元，则该用户当月用水18.5吨

9. 如图，半径为4的⊙𝑂中，CD为直径，弦𝐴𝐵⊥𝐶𝐷且过半径

OD的中点，点E为⊙𝑂上一动点，𝐶𝐹⊥𝐴𝐸于点𝐹.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )

A. √3𝜋

3B. √𝜋

23

C. 2√𝜋

33D. √𝜋

3

10. 如图，△𝐴𝐵𝐶的面积为1，分别取AC、BC两边的中点𝐴1、𝐵1，则四边形𝐴1𝐴𝐵𝐵2的

面积为4，再分别取𝐴1C、𝐵1𝐶的中点𝐴2、𝐵2，𝐴2C、𝐵2𝐶的中点𝐴2、𝐵2，依次取下去….利用这一图形，计算出4+42+43+⋯+4𝑛的值是( )

3

3

3

3

3

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A.

4𝑛−1−14𝑛−1

B.

4𝑛−14𝑛

C.

2𝑛−12𝑛

D.

2𝑛−1−12𝑛

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. √36=______．

12. 热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间(单位：ℎ)，

分别为：4，3，3，5，5，6.这组数据的中位数是______． 13. 计算：𝑎2−9−𝑎−3=______．

D、E在BC上，𝐷𝐴=𝐷𝐶，14. △𝐴𝐵𝐶中，且𝐸𝐴=𝐸𝐵，若∠𝐸𝐴𝐷=30°，则∠𝐵𝐴𝐶= ______ ．

6

1

15. 抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(−2,0)、𝐵(1,0)两点，则关于x的一元二次方程

𝑎(𝑥−3)2+𝑐=3𝑏−𝑏𝑥的解是______．

∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=6，16. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，

点D是半径为4的⊙𝐴上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分） 17. 化简：4𝑥4⋅𝑥2−(−2𝑥2)3−3𝑥8÷𝑥2．

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AC与BD相交于点E，18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐷中，

𝐴𝐷=𝐵𝐶，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴，求证：𝐴𝐶=𝐵𝐷．

19. 某校组织了2000名学生参加“爱我中华”知识竞赛活动，为了了解本次知识竞赛

的成绩分布情况，从中抽取了部分学生的得分进行统计： 成绩𝑥(分) 50≤𝑥<60 60≤𝑥<70 70≤𝑥<80 频数 20 16 b 频率 a 0.08 0.15 请你根据以上的信息，回答下列问题： (1)𝑎=______，𝑏=______．

(2)在扇形统计图中，“成绩x满足50≤𝑥<60“对应扇形的圆心角度数是______； (3)若将得分转化为等级，50≤𝑥<60评为D，60≤𝑥<70评为C，70≤𝑥<规定：90评为B，90≤𝑥<100评为𝐴.这次全校参加竞赛的学生约有______人参赛成绩被评为“B”．

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20. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△𝐴𝐵𝐶的顶点A、B、C均在格点上．

(1)∠𝐴𝐶𝐵的大小为______；

(2)在如图所示的网格中以A为中心，取旋转角等于∠𝐵𝐴𝐶，把△𝐴𝐵𝐶逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的△𝐴𝐵′𝐶′，保留作图痕迹，不要求证明； (3)点P是BC边上任意一点，在(2)的旋转过程中，点P的对应点为𝑃′，当线段𝐶𝑃′最短时，𝐶𝑃′的长度为______．

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21. 如图，⊙𝑂为𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵的外接圆，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙𝑂于点C，

连接AC．

(1)若𝐴𝐶=𝐶𝑃，求𝐴𝑃的值． (2)若sin∠𝐴𝑃𝐶=25，求tan∠𝐴𝐵𝐶．

7𝐴𝐶

22. 某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如

表：

售价(元/件) 200 月销量(件) 200 210 180 220 160 230 140 … … 已知该运动服的进价为每件150元． (1)售价为x元，月销量为y件． ①求y关于x的函数关系式；

②若销售该运动服的月利润为w元，求w关于x的函数关系式，并求月利润最大时的售价；

(2)由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足(1)中函数关系式.结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元，则a的值是多少？

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23. 已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．

(1)如图1，若∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90°，求证：𝐸𝐷⋅𝐸𝐴=𝐸𝐶⋅𝐸𝐵；

(2)如图2，若∠𝐴𝐵𝐶=120°，cos∠𝐴𝐷𝐶=5，𝐶𝐷=5，𝐴𝐵=12，△𝐶𝐷𝐸的面积为6，求四边形ABCD的面积；

(3)如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点𝐹.若cos∠𝐴𝐵𝐶=cos∠𝐴𝐷𝐶=5，𝐶𝐷=5，𝐶𝐹=𝐸𝐷=𝑛，直接写出AD的长(用含n的式子表示)

3

3

24. 如图，开口向上的抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎与x轴相交于点A、𝐵(点A在点B的

左侧)，顶点为𝐷.经过点A的直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘>0)与抛物线的另一个交点为C． (1)求点C的坐标(用含a、k的代数式表示)． (2)当△𝐴𝐶𝐷的内心恰在x轴上时，求𝑎得值． (3)已知△𝐴𝐷𝐵为直角三角形：

𝑘

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(𝑎)𝑎的值等于______ (直接写出结果)．

(𝑏)若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△𝐴𝑃𝐶∽△𝐴𝐷𝐵，求k的值及点P的坐标．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：−2的相反数是2， 故选：C．

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2.【答案】C

【解析】解：根据题意得，𝑥+1≥0， 解得𝑥≥−1． 故选：C．

根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

3.【答案】C

【解析】解：A、两张卡片的数字之和等于11是不可能事件； B、两张卡片的数字之和大于或等于3是必然事件； C、两张卡片的数字之和等于8是随机事件； D、两张卡片的数字之和等于1是不可能事件； 故选：C．

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4.【答案】D

【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D．

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根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图形重合．

5.【答案】D

【解析】解：从上面看是四个并排的正方形，如图所示：

，

故选：D．

根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

6.【答案】C

【解析】解：根据题意画图如下：

共用12种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种， 则恰好选中甲、乙两位选手的概率是12=6； 故选：C．

根据题意画出树状图得出所有等情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

2

1

7.【答案】B

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【解析】解：𝐴.𝑦=B.𝑦=

2−1𝑥𝑘

3−𝜋𝑥

图象位于第二、四象限，不合题意；

图象位于第一、三象限，符合题意；

C.𝑦=图象不一定位于第一、三象限，不合题意；

𝑥D.𝑦=−图象位于第二、四象限，不合题意；

𝑥故选：B．

当𝑘>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，依据反比例函数的性质进行判断即可．

本题主要考查了反比例函数的性质与图象，反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图象是双曲线；当𝑘>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当𝑘<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

𝑘

3

8.【答案】D

【解析】解：由图象可知，𝑎=15÷10=1.5； 𝑏=20−10=2；

用水14吨，则应缴水费：1.5×10+2×(14−10)=15+8=23(元)； 缴水费30元，则该用户当月用水为：10+(30−15)÷2=17.5(吨)． 故结论错误的是选项D． 故选：D．

利用(10,15)，(20,35)两点求出a，b的值即可．

本题主要考查了函数的图形，利用数形结合的方法求解是解答本题的关键．

35−15

9.【答案】C

【解析】 【分析】

此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D⏜，是解本题的关键． 时，点F所经过的路径长𝐴𝐺

连接AC，AO，由𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由𝐶𝑂+𝐺𝑂求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求

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出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹𝐶𝐺⊥𝐴𝐸，为以AC为直径的半径，当E位于点B时，此时F与G重合；当E位于D时，𝐶𝐴⊥𝐴𝐸，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所⏜，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠𝐴𝐶𝐺的度数，经过的路径长𝐴𝐺

⏜所对圆心角的度数，⏜的进而确定出𝐴𝐺再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出𝐴𝐺长，即可求出点F所经过的路径长． 【解答】

解：连接AC，AO， ∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，

∴𝐺为AB的中点，即𝐴𝐺=𝐵𝐺=2𝐴𝐵，

∵⊙𝑂的半径为4，弦𝐴𝐵⊥𝐶𝐷且过半径OD的中点， ∴𝑂𝐺=2，

∴在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐺中，根据勾股定理得：𝐴𝐺=√𝐴𝑂2−𝑂𝐺2=2√3， ∴𝐴𝐵=2𝐴𝐺=4√3，

又∵𝐶𝐺=𝐶𝑂+𝐺𝑂=4+2=6，

∴在𝑅𝑡△𝐴𝐺𝐶中，根据勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐺2+𝐶𝐺2=4√3， ∵𝐶𝐹⊥𝐴𝐸，

∴△𝐴𝐶𝐹始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，𝐶𝐺⊥𝐴𝐸，此时F与G重合；当E位于D时，𝐶𝐴⊥𝐴𝐸，此时F与A重合，

⏜， ∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长𝐴𝐺

√

在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐺中，tan∠𝐴𝐶𝐺=， =𝐶𝐺3

𝐴𝐺

31

∴∠𝐴𝐶𝐺=30°，

⏜所对圆心角的度数为60°， ∴𝐴𝐺

∵直径𝐴𝐶=4√3，

⏜的长为60𝜋×2√3=2√3𝜋， ∴𝐴𝐺1803

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为故选C．

2√3𝜋. 3

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10.【答案】B

【解析】解：∵𝐴1、𝐵1分别是AC，BC的中点， ∴𝐴1、𝐵1是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝐴1𝐵1//𝐴𝐵，𝐴1𝐵1=2𝐴𝐵， ∴△𝐶𝐴1𝐵1∽△𝐶𝐴𝐵， ∴

𝑆△𝐴1𝐵1𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶

1

=(

𝐴1𝐵12

)𝐴𝐵

=4，

1

∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=1，

∴𝑆△𝐴1𝐵1𝐶=4，𝑆四边形𝐴1𝐴𝐵𝐵1=1−4=4，

同理可得，42=4−42，43=42−43，…，4𝑛=4𝑛−1−4𝑛， ∴+

43

3423

1

1

3

1

1

3

1

1

1

1

3

+

343+⋯+

34𝑛=1−+−

4

4

11142+

142−

143+⋯+

14𝑛−1−

14𝑛=1−

14𝑛．

故选：B．

由△𝐶𝐴1𝐵1∽△𝐶𝐴𝐵，结合面积比等于相似比的平方，得出△𝐶𝐴1𝐵1的面积为4，因此四边形𝐴1𝐴𝐵𝐵1的面积为1−4，以此类推，四边形的面积为4−42；42−43，…，…，根据规律求出式子的值．

本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质；相似三角形面积比等于相似比的平方是关键．

1

1

1

1

1

1

11.【答案】6

【解析】解：∵62=36， ∴√36=6．

利用算术平方根的定义进行求解． 此题考查了算术平方根的定义以及计算．

12.【答案】4.5

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【解析】解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6， 所以这组数据的中位数为故答案为：4.5．

根据中位数的定义求解可得．

本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

4+52

=4.5，

13.【答案】−𝑎+3 【解析】 【分析】

根据分式的运算法则即可求出答案．

本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 【解答】

解：原式=(𝑎+3)(𝑎−3)−(𝑎−3)(𝑎+3) =−

1𝑎+3

6

𝑎+3

1

，

1

故答案为：−𝑎+3 14.【答案】105°

【解析】解：∵∠𝐸𝐴𝐷=30°， ∴∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐴𝐷𝐸=150°， ∵𝐸𝐴=𝐸𝐵，𝐷𝐴=𝐷𝐶， ∴∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐶=∠𝐶𝐴𝐷，

∵∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶+∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=75°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=105°． 故答案为：105°．

根据三角形内角和定理可求∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐴𝐷𝐸，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可求∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷，再根据角的和差关系即可求解．

本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和和三角形外角的性质的相关知识，其中还有

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如何根据图形，确定各角之间的关系．

15.【答案】𝑥1=1，𝑥2=4

【解析】解：∵𝑎(𝑥−3)2+𝑐=3𝑏−𝑏𝑥， ∴𝑎(𝑥−3)2+𝑏(𝑥−3)+𝑐=0，

∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(−2,0)、𝐵(1,0)， ∴𝑥−3=−2或1，

∴𝑎(𝑥−3)2+𝑐=3𝑏−𝑏𝑥的解是1或4， 故答案为：𝑥1=1，𝑥2=4，

根据𝑎(𝑥−3)2+𝑐=3𝑏−𝑏𝑥变形为𝑎(𝑥−3)2+𝑏(𝑥−3)+𝑐=0，根据抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(−2,0)、𝐵(1,0)得到𝑥−3=−2或1，从而确定𝑎(𝑥−3)2+𝑐=3𝑏−𝑏𝑥的解是1或4．

c是常数，𝑎≠0)本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,b，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

16.【答案】7

【解析】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．

∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=6， ∴𝐴𝐶=10， ∵𝐴𝑁=𝑁𝐶， ∴𝐵𝑁=2𝐴𝐶=5， ∵𝐴𝑁=𝑁𝐶，𝐷𝑀=𝑀𝐶， ∴𝑀𝑁=2𝐴𝐷=2， ∴𝐵𝑀≤𝐵𝑁+𝑁𝑀， ∴𝐵𝑀≤5+2=7，

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11

即BM的最大值是7． 故答案为7．

如图，取AC的中点N，连接MN，𝐵𝑁.利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．

本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

17.【答案】解：原式=4𝑥6+8𝑥6−3𝑥6

=9𝑥6．

【解析】直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．

此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18.【答案】证明：在△𝐴𝐷𝐵和△𝐵𝐴𝐶中，

𝐴𝐷=𝐵𝐶

{∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴， 𝐴𝐵=𝐵𝐴

∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐵𝐴𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐷．

【解析】根据“SAS”可证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐵𝐴𝐶，由全等三角形的性质即可证明𝐴𝐶=𝐵𝐷． 本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

19.【答案】0.1 30 36° 920

【解析】解：(1)本次调查的人数为：16÷0.08=200， 𝑎=20÷200=0.1，𝑏=200×0.15=30， 故答案为：0.1，30；

(2)在扇形统计图中，“成绩x满足50≤𝑥<60“对应扇形的圆心角度数是360°×0.1=36°，

故答案为：36°； (3)2000×

30+62200

=920(人)，

即这次全校参加竞赛的学生约有920人参赛成绩被评为“B”， 故答案为：920．

b的值； (1)根据60≤𝑥<70的频数和频率可以求得本次调查的人数，从而可以求得a、

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(2)根据a的值，可以求出在扇形统计图中，“成绩x满足50≤𝑥<60“对应扇形的圆心角度数；

(3)根据统计图中的数据，可以计算出次全校参加竞赛的学生约有多少人参赛成绩被评为“B”．

本题考查扇形统计图、用样本估计总体、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】90 如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN

交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点𝑃′，则点𝑃′即为所求

【解析】解：(1)由网格图可知

𝐴𝐶=√32+32=3√2，𝐵𝐶=√42+42=4√2，𝐴𝐵=√72+12=5√2，

∵𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2

∴由勾股定理逆定理，△𝐴𝐵𝐶为直角三角形．

∴∠𝐴𝐶𝐵=90°

故答案为：90°．

(2)如图，延长AC到格点𝐵′，使得𝐴𝐵′=𝐴𝐵=5√2，取格点E，F，G，H，连接EG，FH交于点Q，取格点𝐸′，𝐹′.𝐺′，𝐻′，连接𝐸′𝐺′，𝐹′𝐻′交于点𝑄′，作直线𝐴𝑄′，直线𝐵′𝑄交于点𝐶′，△𝐴𝐵′𝐶′即为所求．

(3)作图过程如下：

取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点𝑃′，则点𝑃′即为所求

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证明：连CF

∵𝐴𝐶，CF为正方形网格对角线 ∴𝐴、C、F共线

∴𝐴𝐹=5√2=𝐴𝐵

由图形可知：𝐺𝐶=

3√2，𝐶𝐹2

=2√2，

∵𝐴𝐶=3√2，𝐵𝐶=4√2， ∴𝐺𝐶=𝐶𝐹，∵∠𝐺𝐶𝐹=∠𝐴𝐶𝐵， ∴△𝐴𝐶𝐵∽△𝐺𝐶𝐹

∴∠𝐺𝐹𝐶=∠𝐵 ∵𝐴𝐹=5√2=𝐴𝐵

∴当BC边绕点A逆时针旋转∠𝐶𝐴𝐵时，点B与点F重合，点C在射线FG上． 由作图可知T为AB中点

∴∠𝑇𝐶𝐴=∠𝑇𝐴𝐶

∴∠𝐹+∠𝑃′𝐶𝐹=∠𝐵+∠𝑇𝐶𝐴=∠𝐵+∠𝑇𝐴𝐶=90° ∴𝐶𝑃′⊥𝐺𝐹

此时，𝐶𝑃′最短

故答案为：如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点𝑃′，则点𝑃′即为所求． (1)利用勾股定理的逆定理即可解决问题．

(2)如图，延长AC到格点𝐵′，使得𝐴𝐵′=𝐴𝐵=5√2，取格点E，F，G，H，连接EG，FH交于点Q，取格点𝐸′，𝐹′.𝐺′，𝐻′，连接𝐸′𝐺′，𝐹′𝐻′交于点𝑄′，作直线𝐴𝑄′，直线𝐵′𝑄交于点𝐶′，△𝐴𝐵′𝐶′即为所求．

(3)通过将点B以A为中心，取旋转角等于∠𝐵𝐴𝐶旋转，找到线段BC旋转后所得直线FG，只需找到点C到FG的垂足即为𝑃′．

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𝐴𝐶

𝐵𝐶

本题考查了直角三角形的证明、图形的旋转、三角形相似和最短距离的证明．解题的关键在于找到并证明线段BC旋转后所在的位置．

21.【答案】解：(1)连接OC，

∵𝐴𝐶=𝑃𝐶， ∴∠𝐴=∠𝑃， ∵𝑃𝐶切⊙𝑂于点C， ∴∠𝑂𝐶𝑃=90°， ∵∠𝐶𝑂𝑃=∠𝐴+∠𝐴𝐶𝑂， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝑂， ∴∠𝐶𝑂𝑃=2∠𝐴=2∠𝑃， ∴∠𝑃+∠𝐶𝑂𝑃=90°， ∴∠𝑃=30°， ∴

𝑂𝐶√3𝑃𝐶3

，

∵∠𝐴=∠𝐴，∠𝐴𝐶𝑂=∠𝑃， ∴△𝐴𝑂𝐶∽△𝐴𝑃𝐶， ∴𝐴𝑃=𝐶𝑃=

𝐴𝐶

𝑂𝐶

√3

； 3

(2)如图2，连接OC， ∵𝑃𝐶切⊙𝑂于点C， ∴𝑂𝐶⊥𝑃𝐶，∠𝐴=∠𝐵𝐶𝑃， ∵sin∠𝐴𝑃𝐶=𝑂𝑃=25， ∴设𝑂𝐶=7𝑘，𝑂𝑃=25𝑘，

∴𝐴𝑃=32𝑘，𝑃𝐶=√𝑂𝑃2−𝑂𝐶2=24𝑘， ∵∠𝑃=∠𝑃， ∴△𝐴𝐶𝑃∽△𝐶𝐵𝑃， ∴𝐴𝐶=𝑃𝐴=32𝑘=4， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴tan∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶=3．

𝐴𝐶

4

𝐵𝐶

𝑃𝐶

24𝑘

3𝑂𝐶

7

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【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠𝐴=∠𝑃，根据切线的性质得到∠𝑂𝐶𝑃=90°，求出∠𝑃=30°，于是得到

𝑂𝐶

𝑂𝐶√3𝑃𝐶3

7

，根据相似三角形的性质即可得到结论；

(2)如图2，𝑂𝑃=25𝑘，连接OC，根据sin∠𝐴𝑃𝐶=𝑂𝑃=25，设𝑂𝐶=7𝑘，求出𝐴𝑃=32𝑘，𝑃𝐶=√𝑂𝑃2−𝑂𝐶2=24𝑘，根据相似三角形的性质即可得到结论．

本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

22.【答案】解：(1)①设y关于x的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，把(200,200)，(210,180)

代入得：

200𝑘+𝑏=200{， 210+𝑏=180𝑘=−2

解得：{，

𝑏=600

∴𝑦关于x的函数关系式为𝑦=−2𝑥+600； ②月利润𝑤=(𝑥−150)(−2𝑥+600)

=−2𝑥2+900𝑥−90000

=−2(𝑥−225)2+11250． ∵−2<0，

∴𝑤为开口向下的抛物线，

∴当𝑥=225时，月最大利润为11250元；

∴𝑤关于x的函数关系式为𝑤=−2𝑥2+900𝑥−90000，月利润最大时的售价为225元； (2)设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为(𝑡−150+𝑎)元，销量为(−2𝑡+600)件．

月利润𝑤=(𝑡−150+𝑎)(−2𝑡+600) =−2𝑡2+(900−2𝑎)𝑡+600𝑎−90000， ∴当𝑡=

450−𝑎2

时，月利润最大，则450−𝑎2

=210，

解得𝑎=30． ∴𝑎的值是30元．

【解析】(1)①设y关于x的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，由待定系数法求解即可；②月利润𝑤=(𝑥−150)(−2𝑥+600)，整理并配方，然后根据二次函数的性质可得答案； (2)设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为(𝑡−150+𝑎)元，销量为(−2𝑡+600)件，写出月利润关于x的函数，并根据二次函数的性质得出月利润最大时的t值，从而

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得出关于a的方程，解出a即可．

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)如图1中，

∵∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝐸𝐷𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°， ∴∠𝐸𝐷𝐶=90°， ∵∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶， ∵∠𝐸=∠𝐸， ∴△𝐸𝐷𝐶∽△𝐸𝐵𝐴， ∴𝐸𝐵=𝐸𝐴，

∴𝐸𝐷⋅𝐸𝐴=𝐸𝐶⋅𝐸𝐵．

(2)如图2中，过C作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于F，𝐴𝐺⊥𝐸𝐵于G．

𝐸𝐷

𝐸𝐶

在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹中，cos∠𝐴𝐷𝐶=5， ∴𝐶𝐷=5，∵𝐶𝐷=5， ∴𝐷𝐹=3，

∴𝐶𝐹=√𝐶𝐷2−𝐷𝐹2=4， ∵𝑆△𝐶𝐷𝐸=6， ∴2⋅𝐸𝐷⋅𝐶𝐹=6，

∴𝐸𝐷=𝐶𝐹=3，𝐸𝐹=𝐸𝐷+𝐷𝐹=6，

∵∠𝐴𝐵𝐶=120°，∠𝐺=90°，∠𝐺+∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐴𝐵𝐶，

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12

1𝐷𝐹

3

3

∴∠𝐵𝐴𝐺=30°，

∴在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺中，𝐵𝐺=2𝐴𝐵=6，𝐴𝐺=√𝐴𝐵2−𝐵𝐺2=6√3， ∵𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，𝐴𝐺⊥𝐸𝐵，

∴∠𝐸𝐹𝐶=∠𝐺=90°，∵∠𝐸=∠𝐸， ∴△𝐸𝐹𝐶∽△𝐸𝐺𝐴， ∴𝐸𝐺=𝐴𝐺， ∴

6𝐸𝐺𝐸𝐹

𝐶𝐹

1

=

46√3，

∴𝐸𝐺=9√3，

∴𝐵𝐸=𝐸𝐺−𝐵𝐺=9√3−6，

∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐶𝐷𝐸=2(9√3−6)×6√3−6=75−18√3．

(3)如图3中，作𝐶𝐻⊥𝐴𝐷于H，则𝐶𝐻=4，𝐷𝐻=3，

1

∴tan∠𝐸=

4

𝑛+3

，

作𝐴𝐺⊥𝐷𝐹于点G，设𝐴𝐷=5𝑎，则𝐷𝐺=3𝑎，𝐴𝐺=4𝑎， ∴𝐹𝐺=𝐷𝐹−𝐷𝐺=5+𝑛−3𝑎， ∵𝐶𝐻⊥𝐴𝐷，𝐴𝐺⊥𝐷𝐹，∠𝐸=∠𝐹， 易证△𝐴𝐹𝐺∽△𝐶𝐸𝐻， ∴𝐶𝐻=𝐸𝐻， ∴5+𝑛−3𝑎=𝑛+3， ∴𝑎=𝑛+6， ∴𝐴𝐷=5𝑎=

【解析】(1)只要证明△𝐸𝐷𝐶∽△𝐸𝐵𝐴，可得𝐸𝐵=𝐸𝐴，即可证明𝐸𝐷⋅𝐸𝐴=𝐸𝐶⋅𝐸𝐵； AG即可求出△𝐴𝐵𝐸的(2)如图2中，𝐴𝐺⊥𝐸𝐵于𝐺.想办法求出EB，过C作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于F，

第22页，共25页

𝐸𝐷

𝐸𝐶

5(𝑛+5)𝑛+6

𝑛+54𝑎

4

𝐴𝐺

𝐹𝐺

．

面积，即可解决问题；

(3)如图3中，作𝐶𝐻⊥𝐴𝐷于H，则𝐶𝐻=4，𝐷𝐻=3，作𝐴𝐺⊥𝐷𝐹于点G，设𝐴𝐷=5𝑎，则𝐷𝐺=3𝑎，𝐴𝐺=4𝑎，只要证明△𝐴𝐹𝐺∽△𝐶𝐸𝐻，可得𝐶𝐻=𝐸𝐻，即5+𝑛−3𝑎=𝑛+3，求出a即可解决问题；

本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

𝐴𝐺

𝐹𝐺

4𝑎

4

24.【答案】2

【解析】解：(1)由𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎=0，𝑎>0，可求得𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)， ∵直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘>0)经过A， ∴−𝑘+𝑏=0， ∴𝑏=𝑘，

∴直线AC的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑘， 𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎由{， 𝑦=𝑘𝑥+𝑘𝑥2=𝑎

𝑥1=−1∴{，{， 𝑘2+4𝑎𝑘𝑦1=0𝑦2=𝑎

 𝑘+3𝑎𝑘2+4𝑎𝑘

∴𝐶(,).

𝑎𝑎

(2)过D作y轴的平行线DE交AC于E，交x轴于点F，

−𝑘+3𝑎

1

∴𝐷(1,−4𝑎)，

∵𝐷𝐸//𝑦轴且点E在直线𝑦=𝑘𝑥+𝑘上， ∴𝐸(1,2𝑘)，

∵△𝐴𝐶𝐷的内心恰在x轴上， ∴𝑥轴平分∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐹，

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∴𝐸𝐹=𝐷𝐹， ∴2𝑘=4𝑎， ∴𝑎=2=2．

(3)(𝑎)∵𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，𝐷(1,−4𝑎)，△𝐴𝐷𝐵为直角三角形， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，

∵𝐴𝐵=−4，𝐴𝐷=√22+16𝑎2，𝐵𝐷=√22+16𝑎2， ∴𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=𝐴𝐵2， ∴4+16𝑎2+4+16𝑎2=16， 𝑎2=4，

∵抛物线开口向上， ∴𝑎=，

2故答案为：2． (𝑏)当𝑎=2时，𝐶(2𝑘+3,

1

8𝑘+12

1

11𝑘

4

)，

过点P做直线𝐿//𝑥轴，作𝐴𝑀⊥𝐿垂足分别为M、N，

∵△𝐴𝑃𝐶∽△𝐴𝐷𝐵，△𝐴𝐷𝐵为等腰三角形， ∴△𝐴𝑃𝐶也为等腰三角形， ∴𝐶𝑃=𝐴𝑃，

∴𝑅𝑡△𝐶𝑁𝑃≌𝑅𝑡△𝑃𝑀𝐴(𝐻𝐿)， ∴𝐶𝑁=𝑃𝑀，𝐴𝑁=𝐴𝑀， 设𝑃(𝑚,2𝑚2−𝑚−2)， ∵𝐶𝑁=𝑃𝑀， ∴

8𝑘+12

1

3

−(2𝑚2−𝑚−2)=𝑚+1①，

13

∵𝑃𝑁=𝐴𝑀，

∴2𝑘+3−𝑚=−(−2𝑚2−𝑚−2)②，

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1

3

𝑘=

4， ①②联立方程组，解得{

𝑚=2

3

∴𝑃(2,−).

2(1)由𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎=0，𝑎>0，可求得𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，然后再用待定系数法求解即可；

(2)过D作y轴的平行线DE交AC于E，交x轴于点F，然后根据三角形的内心概念及等腰三角形的性质可得答案；

(3)(𝑎)由等腰三角形和直角三角形性质得𝑎2的值，再根据抛物线性质可得答案；(𝑏)过点P做直线𝐿//𝑥轴，作𝐴𝑀⊥𝐿垂足分别为M、N，由相似三角形的性质及全等三角形的性质可得𝐶𝑁=𝑃𝑀，𝐴𝑁=𝐴𝑀，设𝑃(𝑚,2𝑚2−𝑚−2)，可得联立方程组，求解可得答案．

此题考查的是二次函数的综合题目，掌握二次函数性质、相似三角形、全等三角形的判定及性质、等腰三角形、直角三角形的性质可得问题的答案．

1

3

1

第25页，共25页