2018年福建省高一数学竞赛试题含答案解析

一、选择题：本大题共6个小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合Ax|13x27，Bx|log2(x2x)1，则AB（ ）

(0，2)

A．(1，2) B．1，3 C．0，2 D．(，1)2.若直线l与两直线l1：xy70，l2：且线段AB13x13y110分别交于A，B两点，中点为P(1，2)，则直线l的斜率为（ ） A．2 B．3 C．2 D．3

3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1的中点，N为正方形B1BCC1M、E分别为棱BC、的中心.l为平面A1MN与平面A1MN与平面D1BE的交线，则直线l与正方体底面ABCD所成角的大小为（ ）

A．30 B．45 C．60 D．90

4.如图，在三棱锥SABC中，SASBABBCCA6，且侧面ASB底面ABC，则三棱锥SABC外接球的表面积为（ ）

A．60 B．56 C.52 D．48

2x2，x1，05.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)2且f(x2)f(x)，x2，x0，1g(x)52x，则方程f(x)g(x)在区间3，7上的所有实根之和为（ ） x2A．14 B．12 C.11 D．7

6.已知点A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线ykxb（k0）交线段CA于点D，交线段CB于点E.若△CDE的面积为2，则b的取值范围为（ ）

2321) B．22， C.22， D．21， A．(21，343二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）

127.函数f(x)log3(x)的最小值为 ． log(3x)338.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB.E、

F分别为PD、BC的中点，则二面角EFDA的正切值为 ．

9.若函数f(x)x22axa24在区间a2a2，（a0）上的值域为4，0，则实数a的取值范围为 ．

a3，5，7，9，集合BaA，bA，且ab，则集合B中元素的10.已知集合A1，b个数为 ． 11.使16n17为有理数的所有正整数n的和为 ． n812.给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c为整数，且cba64.若对每个正整数n753，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是，则b的最小值为 ． 1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次）

三、解答题 （本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

l2：x3y40，l3：x3y40，13.已知△DEF三边所在的直线分别为l1：x2，

C为△DEF的内切圆.

（1）求C的方程；

（2）设C与x轴交于A、B两点，点P在C内，且满足PCPAPB.记直线PA、PB2的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围.

14. 函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用 function 这个词，1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859 年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题. 已知函数f(x)满足：对任意的整数a ，且f(2)3.b均有f(ab)f(a)f(b)ab2，求f(96)的值.

15.如图，PA、PBC分别为O的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点

E，AB、PE相交于点F，直线CF交O于另一点G、交PA于点K.

证明：（1）K是PA的中点； （2）AG2BGPG.

16.已知a，b，cR，且3a23b24c260. （1）求abc的最大值；

（2）若a，b(0，4)，c(0，6)，求

ab3c的最小值. 4a4b6c且m2018，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c17.设集合Mm|mZ，（不必不同），都有abc0.求集合S的元素个数的最大值.

2018年福建省高一数学竞赛试题

参考答案及评分标准

一、选择题

1-5:ABDAC 6:B

二、填空题

7.525 8. 9.1，2 10.18 11.205

2812.125

三、解答题

13.解：（1）解法一：设C(a，b)，C半径为r，则

a3b42a3b42a2r，

结合点C(a，b)在△DEF内，可得a2解得ab0，r2. ∴C的方程为x2y24. 解法二：设C(a，b)，C半径为r.

(a3b4)(a3b4)r.

22如图，由条件知，l2、l3的倾斜角分别为150和30，且它们关于x轴对称，同时l1x轴.因此，△DEF为正三角形.

∴点C在x轴上，且a2r，b0.

由l2、l3交x轴于点D(4，0)，知△DEF的高为6.

1∴r62，a0.

3∴C的方程为x2y24.

（2）由（1）知，C(0，0)，A(2，0)，B(2，0). 设P(x，y)，则x2y24. ∵PCPAPB，

∴x2y2(x2)2y2(x2)2y2， 化简得，x2y22.

2y2x222yy∴k1k2. 2212x4x2x2x4x4由x2y24，以及x2y22，y20，得2x23. 0. ∴k1k21，∴k1k2的取值范围为1，0.

14.解：在f(ab)f(a)f(b)ab2中，令ab0，得 f(0)f(0)f(0)02，于是f(0)2.

在f(ab)f(a)f(b)ab2中，令a2，b2，得 f(0)f(2)f(2)42.

∴2f(2)342，f(2)3.

在f(ab)f(a)f(b)ab2中，令an2，b2，得

f(n)f(n2)f(2)2(n2)2f(n2)32(n2)2f(n2)2n1.

∴f(n)f(n2)2n1. ∴f(96)f(94)2961， f(94)f(92)2941，

……

f(4)f(2)241.

上述等式左右两边分别相加，得 f(96)f(2)2(96944)47.

∴f(96)2(964)474734750. 2AKPBCE1.① KPBCEA15.（1）在△APC中，由塞瓦定理，知

∵A是BD的中点，PA是O的切线， ∴PABADBABD. ∴EB∥AP，

PBAE.② BCEC由①、②，得AKKP.K是PA的中点. 另解：∵A是BD的中点，PA是O的切线， ∴PABADBABD，EB∥AP.

如图，过点F作MN∥AP，交AE于点M，交PB于点N.

则

MFEMFNBN，.① APEAAPBPEMBN.② EABP且EB∥AP∥MN，∴由①、②，得

MFEMBNFN. APEABPAP∴AKKP，K是PA的中点.

（2）由（1）及切线长定理，得KP2KA2KGKC.因此，又PKGCKP， ∴△PKG∽△CKP.

KPKG. KCKPAPGKPGKCPGCBBAG.

又PAGABG， ∴△GPA∽△GAB，∴AG2BGPG.

16.解：（1）由柯西不等式，知 (abc)2(133a113b2c)223AGPG. BGAG2111222 ()2()2()2(3a)(3b)(2c)23311121()(3a23b24c2)()60401555. 33434∴abc55. 当且仅当45353a3b2c，c时，等号成立. 0，即ab1111111233∴abc的最大值为55.

（2）由a，b(0，4)，c(0，6)，知a，4a，b，4b，c，6c均为正数，

a4a2b4b2c6c2)4，b(4b)()4，c(6c)()9. 222a2b23c2a2b23c2ab3c∴449i4a4b6ca(4a)b(4b)c(6c)∴a(4a)(3a23b24c2605.

1212当ab2，c3时，满足a，b(0，4)，c(0，6)，3a23b24c260，且

ab3c5. 4a4b6c∴

ab3c的最小值为5. 4a4b6c17.解：集合S的元素个数的最大值为2018.

令Ss|1s2018，sZ，显然集合S符合要求，且S2018.

另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然0S（否则0000）.设S中的所有正整数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B.

若A，则SB2018；若B，则SA2018. 下面考虑A、B非空的情形.

对于集合X，Y，记XYxy|xX，yY，Xx|xX. 由题设可知，(AB)（否则，设x0(AB)(S)(S)，则存在aA，bB，cS，

使得abx0，cx0.于是，存在aS，bS，cS，使得abc0）.且ABx|xZ，且x2017（事实上，A中元素2018，B中元素1，于是AB中

元素2017；同理，AB中元素1027.）.

设集合A中元素为a1，a2，b1b2bl.

，ak，集合B中元素为b1，b2，，bl，且a1a2ak，

∵a1b1a2b2a3b3akblakb2akb3akbl.

∴AB中至少有kl1个元素，即ABkl1S1. 且x2017M，SM，且(AB)结合ABx|xZ，(S)，可得

(AB)(S)M，4037MABSABSS1S.

∴S2019.

若S2019，则ABS4037M. ∴(AB)(S)M.

又由2018AB，2018AB，知2018S，2018S. ∴对于k1，2，3，

，1009，k与2018k中至少有一个不属于S，k与2018k中

也至少有一个不属于S.因此，A1009，B1009. ∴2019SAB100910092018，矛盾. 因此，S2018. 综上可得，S2018.

综上所述，集合S的元素个数的最大值为2018.