2015年天津市高考数学试卷（理科）
一.选择题（在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=（ ） A．{2,5}
B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
,则目标函数z=x+6y的最大值为
2．（5分）设变量x,y满足约束条件（ ） A．3
B．4
C．18 D．40
3．（5分）阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为（ ）
A．﹣10 B．6 C．14 D．18
4．（5分）设x∈R,则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
﹣
=1 （a＞0,b＞0）的一条渐近线过点（2,
）,且
6．（5分）已知双曲线
双曲线的一个焦点在抛物线y2=4A．
﹣
=1 B．
﹣
=1
x的准线上,则双曲线的方程为（ ）
C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数,记a=f（log0.53）,b=f（log25）,c=f（2m）,则a,b,c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 8．（5分）已知函数f（x）=
,函数g（x）=b﹣f（2﹣x）,其中b
∈R,若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点,则b的取值范围是（ ） A．（,+∞）
二.填空题（每小题5分,共30分）
9．（5分）i是虚数单位,若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数,则实数a的值为 ． 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为 m3．
B．（﹣∞,） C．（0,） D．（,2）
11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为 ． 12．（5分）在（x﹣
）6的展开式中,x2的系数为 ．
13．（5分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知△ABC的面积为3
,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为 ．
14．（5分）在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上,且
三.解答题（本大题共6小题,共80分） 15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣
,
]内的最大值和最小值．
）,x∈R．
=λ
,=
,则
•
的最小值为 ．
16．（13分）为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望． 17．（13分）如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=（Ⅰ）求证:MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
,且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长．
18．（13分）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数,且q≠1）,n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 （1）求q的值和{an}的通项公式； （2）设bn=
,n∈N*,求数列{bn}的前n项和．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c,0）,离心率为,
点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=c,|FM|=
．
截得的线段的长为
（Ⅰ）求直线FM的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于率的取值范围．
20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g（x）,求证:对于任意的正实数x,都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1,x2,求证:|x2﹣x1|＜
+2．
,求直线OP（O为原点）的斜
2015年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁UB=（ ） A．{2,5}
B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
【分析】由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可； 【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7}, ∴∁UB={2,5,8}, 则A∩∁UB={2,5}． 故选:A．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5分）（2015•天津）设变量x,y满足约束条件的最大值为（ ） A．3
B．4
C．18 D．40
,则目标函数z=x+6y
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分）． 由z=x+6y得y=﹣x+z, 平移直线y=﹣x+z,
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大, 此时z最大． 由
,解得
,即A（0,3）
将A（0,3）的坐标代入目标函数z=x+6y, 得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18． 故选:C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）（2015•天津）阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为（ ）
A．﹣10 B．6 C．14 D．18
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=8时满足条件i＞5,退出循环,输出S的值为6． 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=20,i=1
i=2,S=18
不满足条件i＞5,i=4,S=14 不满足条件i＞5,i=8,S=6
满足条件i＞5,退出循环,输出S的值为6． 故选:B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题．
4．（5分）（2015•天津）设x∈R,则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解:由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3, 由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2,
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件, 故选:A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础．
5．（5分）（2015•天津）如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可． 【解答】解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB, ∴2×4=AM•2AM, ∴AM=2,
∴MN=NB=2, 又CN•NE=AN•NB, ∴3×NE=4×2, ∴NE=． 故选:A．
【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础．
6．（5分）（2015•天津）已知双曲线点（2,
﹣
=1 （a＞0,b＞0）的一条渐近线过
x的准线上,则双曲线的方程为
）,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4
（ ） A．
﹣
=1 B．
﹣
=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得a、b的另一个方程,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程． 【解答】解:由题意,=∵抛物线y2=4准线上, ∴c=
,
,
,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4
x的
x的准线方程为x=﹣
∴a2+b2=c2=7, ∴a=2,b=
,
．
∴双曲线的方程为故选:D．
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题．
7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数,记a=f（log0.53）,b=f（log25）,c=f（2m）,则a,b,c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0,从而f（x）=2|x|﹣1,这样便知道f（x）在[0,+∞）上单调递增,根据f（x）为偶函数,便可将自变量的值变到区间[0,+∞）上:a=f（|log0.53|）,b=f（log25）,c=f（0）,然后再比较自变量的值,根据f（x）在[0,+∞）上的单调性即可比较出a,b,c的大小． 【解答】解:∵f（x）为偶函数； ∴f（﹣x）=f（x）； ∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1； ∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|； （﹣x﹣m）2=（x﹣m）2； ∴mx=0； ∴m=0；
∴f（x）=2|x|﹣1；
∴f（x）在[0,+∞）上单调递增,并且a=f（|log0.53|）=f（log23）,b=f（log25）,c=f（0）；
∵0＜log23＜log25； ∴c＜a＜b． 故选:C．
【点评】考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞）上,根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用．
8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=
,函数g（x）=b﹣f（2
﹣x）,其中b∈R,若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点,则b的取值范围是（ ） A．（,+∞）
B．（﹣∞,） C．（0,） D．（,2）
【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式,构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x）,作出函数h（x）的图象,利用数形结合进行求解即可． 【解答】解:∵g（x）=b﹣f（2﹣x）, ∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x）, 由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0,得f（x）+f（2﹣x）=b, 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）, 若x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2, 若0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2,
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2, 若x＞2,﹣x＜﹣2,2﹣x＜0,
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．
即h（x）=,
作出函数h（x）的图象如图:
当x≤0时,h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥, 当x＞2时,h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥, 故当b=时,h（x）=b,有两个交点, 当b=2时,h（x）=b,有无数个交点,
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点, 即h（x）=b恰有4个根, 则满足＜b＜2, 故选:D．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键．
二.填空题（每小题5分,共30分）
9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位,若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数,则实数a的值为 ﹣2 ．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简,再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．
【解答】解:由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数, 得
,解得:a=﹣2．
故答案为:﹣2．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数为纯虚数的条件,是基础题．
10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为
m3．
【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积．
【解答】解:根据几何体的三视图,得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体,
且圆柱底面圆的半径为1,高为2,圆锥底面圆的半径为1,高为1； ∴该几何体的体积为 V几何体=2×π•12×1+π•12•2 =π．
故答案为:π．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目．
11．（5分）（2015•天津）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为
．
【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为1,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx 而∫01（x﹣x2）dx=（∴曲边梯形的面积是． 故答案为:．
）|01=﹣=
【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利用定积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数．
12．（5分）（2015•天津）在（x﹣
）6的展开式中,x2的系数为
．
【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求出r的值,即可求得x2的系数． 【解答】解:（x﹣）r•
•x6﹣2r,
×
=
,
）6的展开式的通项公式为Tr+1=
•（x）6﹣r•（﹣
）r=（﹣
令6﹣2r=2,解得r=2,∴展开式中x2的系数为故答案为:
．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题．
13．（5分）（2015•天津）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知△ABC的面积为3
,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为 8 ．
．利用S△ABC=
=
,
【分析】由cosA=﹣,A∈（0,π）,可得sinA=
化为bc=24,又b﹣c=2,解得b,c．由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出． 【解答】解:∵A∈（0,π）,∴sinA=∵S△ABC=
=
bc=
=
,化为bc=24,
．
又b﹣c=2,解得b=6,c=4．
由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×解得a=8． 故答案为:8．
【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．
14．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上,且小值为
．
=λ
,=
,则
•
的最
=64．
【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值．
【解答】解:由题意,得到AD=BC=CD=1,所以（=
×1+×1×1×cos120° =1+
+
﹣．
≥
+=
（当且仅当
时等号成立）；
）•（
）
=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+
×2
•
=（
）•（
）=
故答案为:
【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求,利用基本不等式求最小值．
三.解答题（本大题共6小题,共80分）
15．（13分）（2015•天津）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣
,
]内的最大值和最小值．
）,x∈R．
【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣可得；
（Ⅱ）由x∈[﹣
,
）,由周期公式
]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
）
【解答】解:（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+=（﹣cos2x+=sin（2x﹣
）
=π；
∈[﹣
,
],
sin2x）
sin2x）
）]
∴f（x）的最小正周期T=（Ⅱ）∵x∈[﹣∴sin（2x﹣
,
],∴2x﹣
）∈[﹣1,
,
],∴sin（2x﹣）∈[﹣,], ,﹣
∴f（x）在区间[﹣]内的最大值和最小值分别为
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及三角函数的周期性和最值,属基础题．
16．（13分）（2015•天津）为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． （Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数,然后利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,由古典概型概率计算公式求得概率,列出分布列,代入期望公式求期望．
【解答】解:（Ⅰ）由已知,有P（A）=∴事件A发生的概率为
；
,
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4． P（X=k）=
（k=1,2,3,4）．
∴随机变量X的分布列为: X 1 2 3 4 P
随机变量X的数学期望E（X）=．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,是中档题．
17．（13分）（2015•天津）如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=（Ⅰ）求证:MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长．
,且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过平面ABCD的一个法向量与
的数量积为0,即得结论；
（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论； （Ⅲ）通过设计算即可．
【解答】（Ⅰ）证明:如图,以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系,
则A（0,0,0）,B（0,1,0）,C（2,0,0）,D（1,﹣2,0）, A1（0,0,2）,B1（0,1,2）,C1（2,0,2）,D1（1,﹣2,2）,
又∵M、N分别为B1C、D1D的中点,∴M（1,,1）,N（1,﹣2,1）． 由题可知:=（0,0,1）是平面ABCD的一个法向量,∵•
=0,MN⊄平面ABCD,∴MN∥平面ABCD；
=（1,﹣2,2）,
=（2,0,0）,
=（0,1,2）, =（0,﹣,0）,
=λ
,利用平面ABCD的一个法向量与
的夹角的余弦值为,
（Ⅱ）解:由（I）可知:
设=（x,y,z）是平面ACD1的法向量, 由
,得
,
取z=1,得=（0,1,1）,
设=（x,y,z）是平面ACB1的法向量, 由
,得
,
取z=1,得=（0,﹣2,1）, ∵cos＜,＞=
=﹣
,∴sin＜,＞=
；
=
,
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为（Ⅲ）解:由题意可设∴E=（0,λ,2）,
=λ
,其中λ∈[0,1],
=（﹣1,λ+2,1）,
又∵=（0,0,1）是平面ABCD的一个法向量, ∴cos＜
,＞=
=
﹣2或﹣2﹣
=, （舍）,
整理,得λ2+4λ﹣3=0,解得λ=∴线段A1E的长为
﹣2．
【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理能力,注意解题方法的积累,属于中档题．
18．（13分）（2015•天津）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数,且q≠1）,n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 （1）求q的值和{an}的通项公式； （2）设bn=
,n∈N*,求数列{bn}的前n项和．
【分析】（1）通过an+2=qan、a1、a2,可得a3、a5、a4,利用a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,计算即可； （2）通过（1）知bn=
,n∈N*,写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达式,利
用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可．
【解答】解:（1）∵an+2=qan（q为实数,且q≠1）,n∈N*,a1=1,a2=2, ∴a3=q,a5=q2,a4=2q,
又∵a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,
∴2×3q=2+3q+q2, 即q2﹣3q+2=0,
解得q=2或q=1（舍）,
∴an=；
（2）由（1）知bn=记数列{bn}的前n项和为Tn, 则Tn=1+2•+3•∴2Tn=2+2+3•+4•两式相减,得Tn=3++
+4•+5•+
==,n∈N*,
+…+（n﹣1）•+…+（n﹣1）•+…+
﹣n•
+n•+n•
, ,
=3+=3+1﹣=4﹣
﹣n•．
﹣n•
【点评】本题考查求数列的通项与前n项和,考查分类讨论的思想,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题．
19．（14分）（2015•天津）已知椭圆离心率为
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c,0）,
截得的线段
,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=
．
的长为c,|FM|=
（Ⅰ）求直线FM的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于率的取值范围．
,求直线OP（O为原点）的斜
【分析】（Ⅰ）通过离心率为
,计算可得a2=3c2、b2=2c2,设直线FM的方程为y=k
（x+c）,利用勾股定理及弦心距公式,计算可得结论； （Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程,可得M（c,即可；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x,y）,分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程,分x∈（﹣,﹣1）与x∈（﹣1,0）两种情况讨论即可得到结论． 【解答】解:（Ⅰ）∵离心率为∴2a2=3b2,∴a2=3c2,b2=2c2,
设直线FM的斜率为k（k＞0）,则直线FM的方程为y=k（x+c）, ∵直线FM被圆x2+y2=
截得的线段的长为c,
,
,∴
=
=,
c）,利用|FM|=
计算
∴圆心（0,0）到直线FM的距离d=
∴d2+解得k=
=,即（）2+
； +
=,
,即直线FM的斜率为
（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为:=1,直线FM的方程为y=（x+c）,
联立两个方程,消去y,整理得3x2+2cx﹣5c2=0,解得x=﹣c,或x=c, ∵点M在第一象限,∴M（c,∵|FM|=
,∴
c）,
=
,
解得c=1,∴a2=3c2=3,b2=2c2=2, 即椭圆的方程为
+
=1；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x,y）,直线FP的斜率为t, ∵F（﹣1,0）,∴t=
,即y=t（x+1）（x≠﹣1）,
联立方程组
,消去y并整理,得2x2+3t2（x+1）2=6,
又∵直线FP的斜率大于∴
＞
,
,6﹣2x2＞6（x+1）2,
整理得:x（2x+3）＜0且x≠﹣1, 解得﹣＜x＜﹣1,或﹣1＜x＜0,
设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx（x≠0）,
联立方程组
,消去y并整理,得m2=﹣．
①当x∈（﹣,﹣1）时,有y=t（x+1）＜0,因此m＞0, ∴m=
,∴m∈（
,
）；
②当x∈（﹣1,0）时,有y=t（x+1）＞0,因此m＜0, ∴m=﹣
,∴m∈（﹣∞,﹣
）；
）∪（
,
）．
综上所述,直线OP的斜率的取值范围是:（﹣∞,﹣
【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力,属于中档题．
20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=nx﹣xn,x∈R,其中n∈N•,且n≥2． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g（x）,求证:对于任意的正实数x,都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1,x2,求证:|x2﹣x1|
＜+2．
【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn,可得f′（x）,分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x0,0）,则可求x0=n
,f′（x0）=n﹣n2,可求g（x）=f′
（x0）（x﹣x0）,F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0,+∞）上单调递减,可求F（x）在∈（0,x0）内单调递增,在（x0,+∞）上单调递减,即可得证． （Ⅲ）设x1≤x2,设方程g（x）=a的根为
,由（Ⅱ）可得x2≤
．设曲线y=f
,
（x）在原点处的切线方程为y=h（x）,可得h（x）=nx,设方程h（x）=a的根为可得
＜x1,从而可得:x2﹣x1＜
﹣
=
,由n≥2,即2n﹣1=（1+1）n﹣1≥
1+=1+n﹣1=n,推得:2=x0,即可得证．
【解答】（本题满分为14分）
解:（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn,可得f′（x）=n﹣nxn﹣1=n（1﹣xn﹣1）,其中n∈N•,且n≥2．
下面分两种情况讨论:
（1）当n为奇数时,令f′（x）=0,解得x=1,或x=﹣1,当x变化时,f′（x）,f（x）的变化情况如下表:
x f′（x） f（x）
（﹣∞,﹣1）
﹣
（﹣1,1）
+
（1,+∞）
﹣
所以,f（x）在 （﹣∞,﹣1）,（1,+∞）上单调递减,在（﹣1,1）单调递增． （2）当n为偶数时,
当 f′（x）＞0,即x＜1时,函数 f（x）单调递增； 当 f′（x）＜0,即x＞1时,函数 f（x）单调递减；
所以,f（x）在（﹣∞,1）单调递增,在（1,+∞）上单调递减； （Ⅱ）证明:设点P的坐标为（x0,0）,则x0=n
,f′（x0）=n﹣n2,
曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）,即g（x）=f′（x0）（x﹣
x0）,
令F（x）=f（x）﹣g（x）,即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）,则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．
由于f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0,+∞）上单调递减,故F′（x）在（0,+∞）上单调递减,
又因为F′（x0）=0,所以当x∈（0,x0）时,F′（x）＞0,当x∈（x0,+∞）时,F′（x）＜0,
所以F（x）在∈（0,x0）内单调递增,在（x0,+∞）上单调递减, 所以对应任意的正实数x,都有F（x）≤F（x0）=0, 即对于任意的正实数x,都有f（x）≤g（x）． （Ⅲ）证明:不妨设x1≤x2,
由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0）, 设方程g（x）=a的根为
,可得
=
,
）,可得x2≤
．
由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（
类似地,设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x）, 可得h（x）=nx,当x∈（0,+∞）,f（x）﹣h（x）=﹣xn＜0, 即对于任意的x∈（0,+∞）,f（x）＜h（x）, 设方程h（x）=a的根为
,可得
=,
）=a=f（x1）＜h（x1）,
因为h（x）=nx在（﹣∞,+∞）上单调递增,且h（因此
＜x1,
﹣
=
﹣
由此可得:x2﹣x1＜
﹣
,
=1+n﹣1=n,
因为n≥2,所以2n1=（1+1）n1≥1+故:2
=x0．
+2．
所以:|x2﹣x1|＜
【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法,考查分类讨论思想、函数思想和化归思想,考查综
合分析问题和解决问题的能力．
参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn；maths；w3239003；刘长柏；wkl197822；sxs123；742048；沂蒙松；changq；lincy；cst（排名不分先后） 菁优网
2017年3月17日
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容