2015年秋季学期结构力学作业题目及答案整理

第二章

2-1

两类平面问题的异同点。 解：

相同点：平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念，把空间问题简化为近似的平面问题，可以减少分析和计算的工作量，并得到满足工程精度要求的结果。 不同点：

（1）平面应力问题考察的是薄板类问题，与平面垂直的方向应力可以忽略；而平面应变问题考察的是柱形体或水坝形体，与平面垂直方向的应变可以忽略。

（2）平面应力问题只有平行于xoy平面的三个应力分量，即σx、σy、τxy=τyx存在。同时，因为板很薄，这三个应力分量，以及分析问题时需考虑的应变分量和位移分量，都可以认为是不沿厚度变化的。即它们只是x和y的函数，不随z而变化。而平面应变问题只考虑平行于xoy平面的三个应变分量：x，y和xy。需要注意的是：由于z方向的伸缩被阻止，所以σz一般并不等于零。 （3）具有不同的物理方程：

平面应力问题的物理方程：

E()xy12Ey()yx 21Exyxy2(1)x 平面应变问题的物理方程：

12x(xy)E112y(yx)

E12(1)xyxyE可以看出，只需将平面应力问题的物理方程中的E换为理方程。

E，换为，就可以得到平面应变问题的物1122-2

要使下列应变分量成为一种可能的应变状态，试确定常数A0,A1,B0,B1,C0,C1,C2之间的关系。

xA0A1(x2y2)(x4y4)2244yB0B1(xy)(xy) 22xC0C1xy(xyC2)解：C14,A1B12C2

2xy22xy22 xyyx2xyC1xyx2C1xyy2C2C1xy xyxy3C1x23C1y2C2C12xA0A1(x2y2)(x4y4)22A12y 122yy2yB0B1(x2y2)(x4y4)2 2B12x1x2x23C1x23C1y2C2C12A112y22B112x2

3C1x212x23C1y212y2C2C12A12B1

→

C142C2A1B1

2-5

下图所示简支梁。上边界受均布荷载q作用。按材料力学方法算得。

q2(lx2)yAyBx2y2J

12qh2y2xy3()xCxBy2xh82x试问其是否满足平衡微分方程及应力边界条件，并求出y。 解：

q2q2q2(lx2)ylyxy2J2J2J

12qh2y212qh212qy2xy3()x3x3xh82h8h2x平衡微分方程

xxyX0xy

yyxY0yxxxyX0xyyyxY0yxq12qxy3xy0 Jhh3J12y12qh212qy2330yh8h2

y12qh212qy233yh8h212qh212qy2y33h8h2yy12qh12qy3q2qyyCyCh38h362hh3233

12qh212qy33q2qy3y3y3Cy3Ch8h62hh3qq yyhCq442qC2q3q2qy3q34y3yy3(y31)

22hh2hh

2-7

试求题下图所示线弹性梁的弯曲应变能。 (1)表示为杆端力偶MAB,MBA的函数；

(2)表示为杆端转角AB,BA的函数。

解：

答案分别为：

（1）纯弯梁的应变能和余应变能

1Ld2w2UEJ(2)dx

20dxB点平衡方程

xM(x)MBA(MBAMAB)

lxM(MM)BABAAB1LldxU20EJ2xx2222MMM(MM)BAABBABAAB1MBAl1Ll1L2dxldx002EJ2EJ2EJ2MABMBAl1(MM)2l1MBABAAB2EJ2EJ6EJ3MBA23MABMBA3MBA2(MM)2BAABl6EJ6EJ6EJ2BAl1M23MBA23MBA2MBA23MABMBA2MABMBAMAB2l6EJMBA2MABMBAMAB2l6EJ（2）

2w(x)M(x) x2EJM(x)x2x3w(x)MBA(MBAMAB)CxD

EJ26lxw(x)x0x2x3MBA(MBAMAB)CxDD0

26lx0l2l2w(x)xlMBA(MBAMAB)Cl026xl

2MBAlMABlC6w(x)MBA2MBAlMABlx2x3(MBAMAB)x 26l6(x)w(x) x(x)x0AB (x)xlBA(x)x02MBAlMABlx2MBAx(MBAMAB)2l6ABx02MBAlMABlAB62MBAlMABlx2(x)xlMBAx(MBAMAB)2l6BAxl

6MBAl3MABl3MBAl2MBAlMABlBA66MBAl2MBAl3MBAl3MABlMABlMBAl2MABlBA662MBAlMABl6ABMBAl2MABl6BA4MBAl2MABl12ABMBAl2MABl6BA4AB2BAl2MABl6BA

l4AB2BAMBAlM4BA2ABABlMBA2MABMBAMAB2U6EJl 4AB2BA24AB2BA4BA2AB4BA2AB26EJ4BA28BA216BA216AB284AB24AB216BAAB20BAAB16BAAB6EJ12BA212AB212BAAB6EJBA2AB2BAAB2EJ2-10

试用最小势能原理计算如图所示刚架，作M图。

解：

2lw2w1112EJ2dx1EJdxFpw1,xl 20022x1x2l22关于变分和求导的计算，有dyd(y)，即变分符号和求导符号可以变换位置。 dxdx结合分部积分则有：

2lw2w2w1[EJ2dx1]EJ22dx0x0x2xllww2wwEJ20EJ2dxxx0xxxl2ww2w2wEJ2EJ2w0EJ22wdxxx0xxxx0l2ww2ww2w2w2wEJ2EJ2EJ2wEJ2w0EJ22wdxxxxlxxx0xxxxxxxlx0ll2l2由此可得：

l2w1w12w1w12w12w12w1EJEJEJEJw1EJ2w1dx1w1220x12x1xlx12x1x0x1x12xxxx1111x1lx10112w2w2EJx22x2xFpw1x1l2l2w2w2EJx22x2x22w2EJw22xx220x2l2w2EJw2x2x22x22w2EJw2dx2220xx220l根据边界条件：

w1x1w2x2w2x10w2x2x2l0x20

x200带入可得：

2w1w12w22w1w12w12w1EJEJ)(FpEJEJw1(EJ2)w12222x1x1xlx2x1x1x1x1x1x1x10x1lx1012w2EJw22x2x2l2w12w2EJ22w1dx1EJw2dx22200x1x1x2x2lx2l0

则有：

2w1(1)EJx12M1xl=01x1l2w22w1(2)(EJEJ)0x22x12x01即M1x0=M21x2l力矩连续2w1(3)FpEJ0x1x12xl1即Fp=M1x1x1l2w1(4)EJ0x1x12x01

即F1x00此处剪力为012w2(5)EJx2x22x即F2x2l02l0此处剪力为02w1(6)220x1x12w2(7)20x2x22最后得到：

M1Fp(lx1)M2constM1x0=M21x2lFpl

M2Fpl2-11

试用最小势能原理求下图所示刚架B点的水平位移。

解：

w(x)Ax3Bx2CxD

w(x)Ax3Bx2CxDw(x)x00w(x)0xx0w(x)0xxlw(x)xluw(x)3Al22Bl0xxl3AlB23w(x)xlAx3Alx2u23Al3Al3u22u A3l2u3uw(x)3x33lx2ll

3u22u3lx3x 3llL6u12uUEJ(3l3x)2dxFpu0llL6u12u6u12uUEJ(3l)2(3)2x22(3l3)xdxFpu0llll112u6u12u6uUEJ(3l)2l(3)2l3(3l3)l2Fpu

3llllw(x)111UEJ36u2348u2372u23FpulllEJU12u23FpulU12u2EJFpu3lEJU(24u3Fp)u

lFpl3u24EJ第三章

3-1

写出图示矩形薄板的边界条件，OA变为简支边，并作用有分布的弯矩M，BC边为固支边，AB为自由边。

OMaABaCXY

解：

对于BC边有：

xa0,0 xxa对于OC边有：

y020,20

yy022D(22)x0Mxy对于OA边有：

x00,Mxx02x00,Mx2x0D

对于AB边有：

Myb0,Mxyyb0,Qxyyb0

3-3

有一个矩形薄板，Axy(xa)(yb)是确定它对应怎样的几何，静力边界条件及怎样的载荷（A位移之常数）。 解：

由x00、xa0、y00、yb0

xAy(yb)(a)0、

x0xAy(yb)(a)0、

xayAx(xa)(b)0、

y0yAx(xa)(b)0

yb可知结构为简支边界条件 边界载荷为

Mxx022D222DAy(yb)

yx0xMxxa22D222DAy(yb)

yxax22D222DAx(xa)

xy0y22D222DAx(xa)

xybyMyy0Myyb板上有均布载荷

444PD422248DA

xyyx3-5

四边简支矩形薄板，边长为a和b，受横向分布载荷qq0sin该板的解，并求挠度、弯矩及反力。

证明： 由x0msinxasinyb，试证：挠度函数msinxasinyb是

0yaysin0，xamsinsin0 ababsin0xb0，yamsinsin0 baby0msinMyx0xa22xyxyD22Dm()2sinsinm()2sinsinxyaabbabx0x011xyD()2()22msinsin0babx0aMyxa22xyxyD22Dm()2sinsinm()2sinsinxyaabbabxaxa

11xyD()2()22msinsin0babxaaMxy022xyxyD22Dm()2sinsinm()2sinsinxyaabbaby0y0

11xyD()2()22msinsin0baby0aMxyb22xyxyD22Dm()2sinsinm()2sinsinxyaabbabybyb

11xyD()2()22msinsin0ababyb

故挠度函数满足简支边界条件

444q 又因为4222xxyy4D4m4m4mxy所以qD42224sin sinabbaba4mq04m4m所以D42224q0m 444aabbD42224abbaq0D42224abba444sinxasinyb

11q0()2()21xyxyb1a MyD()2()22msinsinsinsin222ababab24a2b2b4a11q0()2()21xyxyb1a MxD()2()22msinsinsinsin222bababa24a2b2b4a3-8

如图所示的矩形薄板，四边固支，受横向均匀载荷q0作用，现有以下8种试探位移函数：

1、Cmn(1cosmn(2m1)x(2m1)y)(1cos) ab2、C11(1cosxa)(1cosyb)

3、Cmn(1cosmnxa)(1cosyb)

4、Cmnsinmnmxny sinab225、C1(xa)(yb) 2222226、C1(xa)(yb)

7、Cmn(1cosmnxa)(1cosyb)

22228、C1(xa)(yb)xy

试问哪些位移函数可用于里兹法？哪些可用于伽辽金法？哪些函数这两种方法都适用？

只有位移边界条件：

xaya0 0xxayya（1）解：

xaCmn(1cosmn(2m1)x(2m1)y)(1cos)abxa(2m1)(2m1)yCmn(1cos)(1cos)01bmn

yaCmn(1cosmn(2m1)x(2m1)y)(1cos)abya(2m1)x(2m1)Cmn(1cos)(1cos)0a1mn

(2m1)(2m1)x(2n1)yCmn(sin)(1cos)0

xxamnaabxa(2m1)x(2n1)(2n1)yCmn(1cos)(sin)0

yyamnabbya两种方法都适用。 （2）解：

xyxaC11(1cos)(1cos)0abxaxyybC11(1cos)(1cos)0abyb

xyC11sin(1cos)0xxaaabxa

xyC11(1cos)sin0xybabbyb两种方法都适用。 （3）解：

xaCmn(1cosmnxa)(1cosyb)0

两种方法都不适用。 （4）解：

xaCmnsinybmxnysin0abmn

mxnyCmnsinsin0abmnmmxnycossin0aab

nmxnysincos0babCmnxxamnCmnyybmn两种方法都不适用。 （5）解：

xaC1(xa)2(yb)20

两种方法都不适用。 （6）解：

xaC1(x2a2)2(y2b2)20ybC1(x2a2)2(y2b2)20

C12x(x2a2)(y2b2)20xxa

C1(x2a2)22y(y2b2)0xyb两种方法都适用。 （7）解：

xaCmn(1cosmnxybab

xyCmn(1cos)(1cos)0abmn)(1cosy)0xyCmnsin(1cos)0xxamnaab

xyCmn(1cos)sin)0yybmnabb两种方法都适用。 （8）解：

xaC1(x2a2)(y2b2)xy0ybC1(xa)(yb)xy0

2222

C12x(y2b2)xyC1(x2a2)(y2b2)y0xxa

C12x(y2b2)xyC1(x2a2)(y2b2)y0yyb两种方法都不适用。

第四章

4-1

（1）

K=0 （2）

K=4 （3）

K=0 （4）

瞬变

4-2

求下图空间桁架结构各杆内力。

7581623P34

P2零力杆有：

N510 N120

N130 N840 N340 N420

7583P3

去掉零力杆后结构形式如图62P2在节点处268平面内，在68方向上没有外载荷，仅有28杆在此方向上有分量，所以：N820

7583P3（结构传力路线）

进一步去掉零力杆后结构形式如图62P27由节点3处在378平面内受力图：3P3cos8可知：

N38P3cos cos1N37P3cossin

cos7由节点3处在357平面内受力图：3P3sin5可知：

N35P3sin cos2N37P3sinsin

cossincossinP3sin coscos5N37P3由节点2处在256平面内受力图：62可知：

P2P2 cosP2sin cosN25N26第五章

5-1

算下图在Mx作用下正应力薄板不受正应力

Y6.01Y’0.13.21525XX’155.02.540154解： 1求形心

3

6.0153.255.0152.5156.03.22.55.0

90167537.50.38916.73.2402.540x06.03.22.55.0

22813.65316.7y0Y6.01Y’0.13.21525XX’155.02.5401542求惯性矩

如图建立坐标轴，以形心为原点

3

Ix615.38923.25.38925.014.61122.514.61123114.97

Iy6(13.653)25.0(13.653)23.226.34722.526.34726007.19

Ixy6(13.653)15.3893.226.3475.3895.0(13.653)(14.611)2.526.347(14.611)770.05MxMyMx1I2xy3求等效弯矩

IxyIx1.0327Mx

IxIyIxyIy0.2553Mx

MyMxMy14求正应力

2IxyIxIyzMyIyxMxyIxMxMxx1.0327y

6007.193114.974.250105xMx3.315104Mxy0.2553z14.250105(13.563)Mx3.315104Mx(15.389)45.250104Mx

z24.250105(26.437)Mx3.315104Mx(5.389)29.100104Mx z14.250105(26.437)Mx3.315104Mx(14.611)37.200104Mx z44.250105(13.563)Mx3.315104Mx(14.611)54.200104Mx 5-2

计算下图在My下正应力

10.25Y2MyX25O0.125450

3解：

1形心位置

由于机构的对称性，形心在结构几何中心，即坐标系原点 2求惯性矩

0.25503Iy250.12525229114.6

1223求正应力

zMyIyxMxyIxMy9114.6

x1.097104Myx5-3

图示薄壁梁剖面，它的壁板不能承受正应力。四个缘条的面积标注在图上，求剖面的弯心位置。

求中心主轴。

xoy坐标轴不是中心主轴，y0轴是正应力面积的对称轴，所以是一个中心主轴，剖面所有缘条面积的形心在c点，c点到圆心距离为：

所以，另一中心主轴x0轴很容易在图中画出。 剖面对中心主轴的惯性矩为：

各壁板的静矩为：

计算弯心位置，可选o点为力矩中心，根据扭矩平衡可得：

又因为：

计算弯心位置，可选o点为力矩中心，根据扭矩平衡可得：

第六章

6-1

求图示薄壁剖面在通过剖面弯心的剪力Qy作用下的剪流分布，并求剖面的弯心位置。设壁板承受正应力，壁板厚度为t。

解：

Jx2B0B2B111323stds2stds2sttB 0226302SxqB02212212BststBStSt Bstds222022SSxQy Jx212BStSt22BSSQ 3222Qqyy3134BtB3qmax32Qy 4B

弯心在o处 6-2

求图示剖面的弯心位置，设壁板不承受正应力，缘条面积为f。

解：

Jx2102f202f1000f

2S120f xSx2330f

qSxQy Jxq1220f1QyQy 1000f5030f3QyQy

1000f100q12

Qyxdqds

11Qyx2Qy105208Qy 550在x= - 8处 6-3

剖面的壁板不承受正应力，缘条面积为f =2cm，Q x=Q y=10000N。

2

1求惯性矩

Jx2302f302f3600f Jy2302f1800f

2求静矩

122S130fS0 ，xy23Sx2360f，Sy30f

3求开剖面剪流

qSySxQyQx JxJy30f01QyQyQy 3600f1800f12060f30f11QyQxQyQx

3600f1800f6060q12q234利用力矩平衡求q0

Qyxodqdsdq0ds

111Qyxodqdsdq0ds2Qy3030Qy3060Qx3060dq0ds75Qydq0ds10Qy601206065Qydq0ds65Qydq0ds3030q030304q09004q0q065Qy900413Qy1804

q1213Qy1Qy -17.818120180413Qy11 QyQx232.181860601804q235扭角

单位长度上的扭角(也称相对扭角)θ为：

1qpdsGt

∮只沿闭室周线积分,为面积的2倍。

1qdspGt 11100001313113**30*60*60900(4)1804120180460601804a=(10000/900/7.14)*(-13/180/7.14*3.14*30+(1/120-13/180/7.14)*60+(1/60+1/60-13/180/7.14)*60) =0.5187 6弯心

SxGtds1Xsxds

dsJxsGts沿所有壁板积分，∮只沿闭室周线积分,为面积的2倍。

SxGtds1XsxdsdsJxs Gt130f*30*260f*6030f*30*30*260f*60*30900(4)720030120=0 6-4

剖面的壁板承受正应力，壁板厚度t=0.1cm，Q y=10000N。

231451求惯性矩

6

Jx2*909003RsinRtd2R2Bt2*r2tdr0222RR32*Rtsind2RBt2*t03901cos2R3322*Rtd2RBt2*t0223sin2R122*R3t2RBt2*t403223

R32*Rt2RBt2*t432R3t2R2Bt23322求静矩

2S1RsinRtdR2tsindR2tcosdR2tcos1 x00032Sxs1Rt

2SxR2tBRt

25SxR2tBRtrtdrR2tBRtr1R122Rr1 23求开剖面剪流

qSxQy Jxq12xR2tcos1Qy 232Rt2RBt23s1RtQy

232Rt2RBt23R2tBRt32qx122Rr1252qxQy

232Rt2RBt234利用力矩平衡求q0 Qyxodqdsdq0ds2BRtcos1s1Rt 22QyRdQyRds1q0R2000232322Rt2RBtRt2RBt23232Rtcos1s1Rt22QRdsQRdy1y02302322Rt2RBtRt2RBt2323q0R22BQyR2tRtcosR2t2222sdsQRdQRd11yy000222333222Rt2RBtRt2RBtRt2RBt232323R22BQyR2tQyR2tQRty2222sdsRcosdRd11000222333222Rt2RBtRt2RBtRt2RBt232323R2QyR2tBR2220s1ds1R0cosd2232Rt2RBt23R2QyR2tB2R22R6QytB22R22232222Rt2RBt6B2RQ234Rt12Bt23y2R2R2234R12BRB5扭角

单位长度上的扭角(也称相对扭角)θ为：

1

qpdsGt

∮只沿闭室周线积分,为面积的2倍。

1qdspGt2226B2RRtcos122QyQyRd202R3t2R2Bt234R12BR23212222RtBRtRr16B2RR22QyQydr1202234R12BRR3t2R2Bt1232R(4)Gt12222RtBRtRr1RRtcos1222QyRd2Qydr100232322Rt2RBtRt2RBt23231R2(4)6B22R2R2234R12BRQy26B22R2R2234R12BRGtQy

220cosRtQyRd20232Rt2RBt23R3tQy2R2tBRtR122Rr12Qydr1232Rt2RBt23Qy26B22R2R2234R12BR1R2(4)6B22R2R2234R12BR232Rt2RBt23QyGt20Rr12cosR2t2QyRd2Qydr10223232Rt2RBtRt2RBt2323R22RtBRt6B22R2R6B22R2RR3tQy22RQyQy2Qy22234R12BR234R12BR232322Rt2RBtRt2RBt123232R(4)GtR2tQyRR322Qy2323223Rt2RBtRt2RBt2323 R2222223RtBRt6B2RR6B2RRRtQy22RQyQy2Qy22234R12BR234R12BR232322Rt2RBtRt2RBt123232R(4)Gt2R23326RRtBRtQy3RtQy2RQy6RtQyR6212B22R2R2Qy2234R12BR233Rt2R2Bt1232R(4)Gt2226Rt6BtR3Rt6tR612B2R2234R12BR3Rt2Bt1232QyR(4)Gt22222234R12BR6BtR3Rt3Rt2Bt23612B2RQy23Rt2Bt234R212BRGtR2(4)23

6弯心

1XsxdsJxsSxGtds dsGts沿所有壁板积分，∮只沿闭室周线积分,为面积的2倍。

1Xssxds232Rt2RBt23SxGtds dsGtXf(R,B,t,Qy,G,)

有限元

例9-1

平面桁架系统由四个节点和六个杆单元组成。以序号○1至○4作为节点标号，序号（1）至（6）作为单元标号。每个节点具有分别沿x轴和y轴方向上的两个节点位移和对应的节点力，分别用序号1至8作为标识。则节点位移和节点力的量可以分别表示为：

U[U1U2U3U4U5U6U7U8]T S[S1S2S3S4S5S6S7

S8]T

1、结构的基本信息： 1）节点信息

节点编号 坐标x ( cm ) 坐标y（cm） ○1 10 10 ○2 10 0 ○3 0 10 ○4 0 0 2) 单元信息

单元编号 节点连接关系 截面积（cm2） 弹性模量（kg/cm2） （1） 1-3 10 2105 （2） 1-4 22 2105 （3） 1-2 5 2105 （4） 2-3 22 2105 （5） 2-4 10 2105 （6） 3-4 5 2105 3）载荷约束条件 外力载荷：

P[P1P2P3P4P5P6P7P8]T[200400000000]T边界条件：

U[U1U2U3U4U5U6U7UT8][U1U2U3U40002、整体序号与局部序号

0]T

U(e)[U(2i1)U(2i)U(2j1)U(2j)]T S(e)[S(2i1)S(2i)S(2j1)S(2j)]T

3、结构的总体刚度矩阵

(1)S(1)2(1)S(2)11050(1)S(5)2(1)S0(6)020002000U(1)U0(2) 0U(5)U0(6)(2)S(1)4444U(1)(2)4444US(2)1105(2) (2)S(7)4444U(7)(2)US4444(8)(8)(3)S(1)00(3)01S(2)5110(3)S(3)00(3)S(4)0100U(1)U01(2) 00U(3)U01(4)(4)S(3)4444U(3)(4)4444US(4)1105(4) (4)S(5)4444U(5)(4)US4444(6)(6)(5)S(3)2(5)S(4)11050(5)S(7)2(5)S0(8)020002000U(3)U0(4) 0U(7)U0(8)(6)S(5)00(6)01S(6)5110(6)S(7)00(6)S01(8)00U(5)U01(6) 00U(7)U01(8)R6R7R8

TKU20040000R5645对006称0145 K1105204460044454420006440001454、边界条件和方程的求解

UAU(1)U(2)U(3)U(4)

TUBUUUU[0000] (5)(6)(7)(8)1UAKAPA0.00060.00140.00040.0006

TTTPTBKABUA20080400320

以杆（1）为例：

(1)S(1)2020S(1)0000.0006(2)S(1)(5)1105020200.0014120S(1)(6)000000(1)EBU12(kg/cm2)

N(1)(1)F(1)120(kg)

01200T