2021年中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列说法正确的是（ ） A．负数没有倒数 C．任何有理数都有倒数
B．正数的倒数比自身小 D．﹣1的倒数是﹣1
2．如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ） A．8×1012
B．8×1013
C．8×1014
D．0.8×1013
4．下列运算中，正确的是（ ） A．2
＝
B．x6÷x3＝x2
C．2﹣1＝﹣2
D．a3•a2＝a5
5．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）
A．92° B．98° C．102° D．108°
6．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（ ） A．x（1﹣x2） C．x（1+x）（1﹣x）
B．x（x2﹣1） D．x（x+1）（x﹣1）
上一点，连结CD、
7．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧
BD，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．45° C．140° D．130°
8．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形
9．如图，这是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，根据统计图提供的信息，可得到该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，10.5
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．当﹣1＜x＜2时，y＞0 C．a+b+c＜0
D．当x＜，y随x的增大而减小
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 ． 12．若函数y＝
的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为 ．
13．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′＝2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为 ．
14．已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则b的值为 ．
15．如图，是由10个完全相同的小正方体堆成的几何体．若现在你还有若干个相同的小正方体，在保证该几何体的从上面、从正面、从左面看到的图形都不变的情况下，最多还能放 个小正方体．
16．如图，ABCD是围墙，AB∥CD，∠ABC＝120°，一根6m长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子B处，另一端E处拴着一只羊，这只羊活动区域的最大面积为 ．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分） 17．计算：|
|+2﹣1﹣cos60°﹣（1﹣
）0．
，其中x＝﹣1．
18．先化简，再求值：
19．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法） （2）若∠C＝30°，求证：DC＝DB．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB＝60cm，BC＝80cm，∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？
21．为建设“生态园林城市”吉安市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ （2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 22．某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：
（1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有 人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为 %，如果学校有800名学生，估计全校学生中有 人喜欢篮球项目． （2）请将条形统计图补充完整．
（3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同 学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
24．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2
，直接写出线段BF的范围．
25．如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动
点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E． （1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC； （3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．【分析】根据倒数的定义可知．
【解答】解：A、负数有倒数，例如﹣1的倒数是﹣1，选项错误； B、正数的倒数不一定比自身小，例如0.5的倒数是2，选项错误； C、0没有倒数，选项错误； D、﹣1的倒数是﹣1，正确． 故选：D．
【点评】本题主要考查了倒数的定义及性质．乘积是1的两个数互为倒数，除0以外的任何数都有倒数，倒数等于它本身的数是±1． 2．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形． 故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013． 故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据实数的加法对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行判断；根据负整数指数幂的意义对C进行判断；根据同底数幂的除法对D进行判断． 【解答】解：A、2与
不能合并，所以A选项错误；
B、x6÷x3＝x3，所以B选项错误； C、2﹣1＝，所以C选项错误； D、a3•a2＝a5，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了负整数指数幂、同底数幂的乘法与除法．
5．【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝52°，再根据∠4＝30°，即可得出从∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝98°．
【解答】解：如图，∵l1∥l2， ∴∠1＝∠3＝52°， 又∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣52°﹣30°＝98°， 故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．
6．【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x﹣x3＝x（1﹣x2） ＝x（1﹣x）（1+x）． 故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 7．【分析】先根据圆周角定理，由∠ABC＝90°，则利用互余可计算出∠A＝50°，然后根据圆内接四边形的性质得到∠D的度数． 【解答】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°， ∵∠D+∠A＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°． 故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆
周角定理．
8．【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案． 【解答】解：
A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，故此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，故此选项错误，符合题意； 故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系． 9．【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数． 【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20，21两个数的平均数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9； 故选：A．
【点评】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
10．【分析】A、观察可判断函数有最小值；B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；C、观察当x＝1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；D、由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．
【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确； B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误； C、当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；
D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确． 故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12， 则这个多边形的边数为12． 故答案为：12．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
12．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝∴m﹣2＜0，解得m＜2． 故答案为m＜2．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键． 13． 【分析】由位似的定义可得其位似比为3：1，利用相似三角形的周它比等于相似比可求得答案．【解答】解：
由题意可知△ABC∽△A′B′C′， ∵AA′＝2OA′， ∴OA＝3OA′， ∴∴
故答案为：3：1．
【点评】本题主要考查位似变换，由位似变换的定义求得相似三角形的相似比是解题的关键．
＝
＝，
＝
＝，
的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，
14．【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值． 【解答】解：根据题意知，△＝b2﹣4＝0， 解得：b＝±2， 故答案为：±2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 15．【分析】根据主视图是从正面看得到图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：主视图是第一层三个小正方形，第二层是左边一个小正方形，中间一个小正方形，第三层是左边一个小正方形，
俯视图是第一层三个小正方形，第二层三个小正方形，
左视图是第一层两个小正方形，第二层两个小正方形，第三层左边一个小正方形， 不改变三视图，中间第二层加一个， 故答案为：1．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看得到图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图．
16．【分析】羊的活动区域应该分为两部分：①以∠ABC为圆心角，BE长为半径的扇形；②以∠BCD的补角为圆心角，以（BE﹣BC）长为半径的扇形；可根据两个扇形各自的圆心角和半径，计算出羊活动区域的面积．
【解答】解：（1）如图，扇形BFG和扇形CGH为羊活动的区域．
（2）S扇形GBF＝S扇形HCG＝
＝12πm2 ＝m2
∴羊活动区域的面积为：12π+m2． 故答案是：12π+m2．
【点评】此题主要考查的是扇形的面积计算方法，正确的判断出羊的活动区域是解答此题的关键．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝2﹣
+﹣﹣1＝1﹣
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝当x＝﹣1时，原式＝﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线BD； （2）想办法证明∠C＝∠CBD即可； 【解答】（1）解：射线BD即为所求；
÷
＝
•
＝﹣
，
（2）∵∠A＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴∠C＝∠CBD＝30°， ∴DC＝DB．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．【分析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM＝BC＝80cm，AB＝CM＝60cm，∠B＝∠AMC，求出∠D＝∠MCD，求出CM＝DM＝60cm，代入AD＝AM+DM求出即可． 【解答】解：
过C作CM∥AB，交AD于M， ∵∠A＝120°，∠B＝60°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AM∥BC， ∵AB∥CM，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AB＝CM＝60cm，BC＝AM＝80cm，∠B＝∠AMC＝60°， ∵AD∥BC，∠C＝150°， ∴∠D＝180°﹣150°＝30°， ∴∠MCD＝60°﹣30°＝30°＝∠D， ∴CM＝DM＝60cm， ∴AD＝60cm+80cm＝140cm．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
21．【分析】（1）设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据“购买两种树苗的总金额为90000元”列一元一次方程求解即可得；
（2）设购买甲种树苗a棵，则需购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据“购买甲种树苗的金额≥购买乙种树苗的金额”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗（400﹣x）棵， 根据题意，得：200x+300（400﹣x）＝90000，
解得：x＝300，
∴购买乙种树苗400﹣300＝100（棵），
答：需购买甲种树苗300棵，则需购买乙种树苗100棵；
（2）设购买甲种树苗a棵，则需购买乙种树苗（400﹣a）棵， 根据题意，得：200a≥300（400﹣a）， 解得：a≥240，
答：至少应购买甲种树苗240棵．
【点评】本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用，根据题意抓住相等关系与不等关系列出方程或不等式是解题的关键．
22．【分析】（1）先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数，再计算出喜欢乒乓球项目的百分比，然后用800乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解
【解答】解：（1）调查的总人数为20÷40%＝50（人）， 所以喜欢篮球项目的同学的人数＝50﹣20﹣10﹣15＝5（人）； “乒乓球”的百分比＝因为800×
＝80，
＝20%，
所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目； 故答案为5，20，80； （2）如图，
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率＝
＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式； （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：
，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：
，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，
﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC＝
＝3
，AN＝
＝+
， ．
+
．
，此时点P的坐标为（﹣，
）．
．
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3
2）∴在对称轴上存在一点M（﹣1，，使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．
24．【分析】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明；
BM．EM、（2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；
（3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题； 【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF． 理由：如图1中，
∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE， ∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°， ∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
BM．EM、理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．
∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN， ∵∠ABM＝∠EBN＝90°， ∴∠NBA＝∠EBM， ∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME， ∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN， ∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH， ∴∠BAN+∠AOH＝90°， ∴∠AHO＝90°， ∴AN⊥MH，FD⊥FC．
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3
如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．
综上所述，≤BF．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）只要证明△ABC是等腰直角三角形即可； （2）只要证明CB＝CP，CB＝CA即可；、 （3）①分四种情形分别画出图形一一求解即可；
②分两种情形如图6中，作EK⊥PC于K．只要证明四边形ADBC是正方形即可解决问题；如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝
，再根据S△BDE＝•S△PBD计算即可解决问题；
，可得
【解答】解：（1）如图1中，连接BC．
∵＝，
∴BC＝CA， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠CBA＝45°．
（2）解：如图1中，设PB交CD于K． ∵
＝
，
∴∠CDB＝∠CDP＝45°，CB＝CA， ∴CD平分∠BDP，又∵CD⊥BP， ∴∠DKB＝∠DKP＝90°，∵DK＝DK， ∴△DKB≌△DKP， ∴BK＝KP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP＝CB＝CA．
（3）①（Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD＝15°；
理由：连接BD、OC．作BG⊥PC于G．则四边形OBGC是正方形， ∵BG＝OC＝OB＝CG， ∵BA＝BA， ∴PB＝2BG， ∴∠BPG＝30°， ∵AB∥PC， ∴∠ABP＝30°， ∵BD垂直平分AP， ∴∠ABD＝∠ABP＝15°， ∴∠ACD＝15°
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD＝105°；
理由：作BG⊥CP于G．
同法可证∠BPG＝30°，可得∠APB＝∠BAP＝∠APC＝15°， ∴∠ABD＝75°，
∵∠ACD+∠ABD＝180°， ∴∠ACD＝105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD＝60°；
理由：作AH⊥PC于H，连接BC．
同法可证∠APH＝30°，可得∠DAC＝75°，∠D＝∠ABC＝45°， ∴∠ACD＝60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD＝120°
理由：作AH⊥PC于H．
同法可证：∠APH＝30°，可得∠ADC＝45°，∠DAC＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ACD＝120°．
②如图6中，作EK⊥PC于K．
∵EK＝CK＝3， ∴EC＝3∵AC＝6
， ，
∴AE＝EC， ∵AB∥PC，
∴∠BAE＝∠PCE，∵∠AEB＝∠PEC， ∴△ABE≌△CPE， ∴PC＝AB＝CD，
∴△PCD是等腰直角三角形，可得四边形ADBC是正方形， ∴S△BDE＝•S正方形ADBC＝36．
如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．
由题意CK＝EK＝3，PK＝1，PG＝2， 由△AOQ∽△PCQ，可得QC＝PQ2＝
，
， ，
由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝∴S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝∴S△BDE＝•S△PBD＝
，
综上所，满足条件的△BDE的面积为36或．
【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中30度角的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
2021年中考数学二模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ） A．﹣2
B．±5
C．5
D．﹣5
2．下列计算正确的是（ ） A．x2•x3＝x6 3．一元一次不等式组A．C．
B．（x2）3＝x5
C．3
﹣
＝2
D．x5﹣x2＝x3
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
B．D．
4．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．25° C．65° D．50°
5．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．某车间20名工人每天加工零件数如表所示： 每天加工零件数 人数
3
6
5
4
2
4
5
6
7
8
这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（ ） A．5，5
B．5，6
C．6，6
D．6，5
7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝210 C．2x（x﹣1）＝210
B．x（x﹣1）＝210 D． x（x﹣1）＝210
8．某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（ ）（精确到1米，
＝1.732）．
A．585米 B．1014米 C．805米 D．820米
9．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（﹣5，4） C．（﹣4，6） D．（﹣4，5）
10．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则sin∠FCD＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．﹣的绝对值是 ，倒数是 ．
12．要使代数式有意义，x的取值范围是 ．
13．B、C、D 都在方格纸的格点上，如图，点 A、若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为 ．
14．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+
＝ ．
15．AB＝48cm，CD＝20cm，CD之间的距离为 ． 已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，则AB、16．在直角坐标系内，设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t为实数），记N为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N的值可能为 ．
三．解答题（共9小题，满分102分） 17．（9分）解方程组：
．
18．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、B（0，4）、C（0，2），
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
20．（10分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ．
（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
21．（12分）某工厂准备购买A、B两种零件，已知A种零件的单价比B种零件的单价多30元，而用900元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件的数量相等． （1）求A、B两种零件的单价；
B两种零件共200件，（2）根据需要，工厂准备购买A、工厂购买两种零件的总费用不超过14700元，求工厂最多购买A种零件多少件？
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，OC∥AD交⊙O于E，点F在CD延长线上，且∠BOC+∠ADF＝90°． （1）求证：
；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
23．（12分）如图，已知点A在反比函数y＝（k＜0）的图象上，点B在直线y＝x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4． （1）求点A的坐标和k的值；
（2）若点P在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，点Q在直线y＝x﹣3的图象上，P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n），求+的值．
24．（14分）已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP． （1）如图1，若∠PCB＝∠A． ①求证：直线PC是⊙O的切线； ②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．
25．（14分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．
【解答】解：∵a2＝4，b2＝9， ∴a＝±2，b＝±3， ∵ab＜0，
∴a＝2，则b＝﹣3， a＝﹣2，b＝3，
则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5． 故选：B．
【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键． 2．【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式合并同类二次根式得到结果，即可做出判断； D、原式不能合并，错误． 【解答】解：A、原式＝x5，错误； B、原式＝x6，错误； C、原式＝2
，正确；
D、原式不能合并，错误， 故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案． 【解答】解：
第一个不等式的解集为：x＞﹣3； 第二个不等式的解集为：x≤2； 所以不等式组的解集为：﹣3＜x≤2． 在数轴上表示不等式组的解集为：
．
故选：C．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．【分析】根据平行线的性质求出∠3，再求出∠BAC＝90°，即可求出答案． 【解答】解：∵直线a∥b， ∴∠1＝∠3＝55°， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠3＝35°， 故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
5．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 6．【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：由表知数据5出现次数最多，所以众数为5； 因为共有20个数据，
所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，
＝6，
则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．【分析】根据题意列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210， 故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．
8．【分析】过点D作DE⊥AC，可得到△ACB是等腰直角三角形，直角△ADE中满足解直角三角形的条件．可以设EC＝x，在直角△BDF中，根据勾股定理，可以用x表示出BF，根据AC＝BC就可以得到关于x的方程，就可以求出x，得到BC，求出山高． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于F． 在直角△ADF中，AF＝AD•cos30°＝300设FC＝x，则AC＝300在直角△BDE中，BE＝
+x． DE＝
x，则BC＝300+
x．
米，DF＝AD＝300米．
在直角△ACB中，∠BAC＝45°． ∴这个三角形是等腰直角三角形． ∴AC＝BC． ∴300
+x＝300+
x．
解得：x＝300． ∴BC＝AC＝300+300∴山高是300+300故选：C．
．
﹣15＝285+300
≈805米．
【点评】本题的难度较大，建立数学模型是关键．根据勾股定理，把问题转化为方程问题． 9．【分析】过点M作MD⊥AB于D，连接AM，设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，
顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），所以DA＝4，AB＝8，DM＝8﹣R，AM＝R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可．
【解答】解：过点M作MD⊥AB于D，连接AM，设⊙M的半径为R，
∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，点A的坐标为（0，8），
∴DA＝4，AB＝8，DM＝8﹣R，AM＝R， 又∵△ADM是直角三角形， 根据勾股定理可得AM2＝DM2+AD2， ∴R2＝（8﹣R）2+42， 解得R＝5， ∴M（﹣4，5）． 故选：D．
【点评】本题需仔细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题．
10．【分析】由四边形ABCD为正方形，得到四个内角为直角，四条边相等，可得出AD与BC都与半圆相切，利用切线长定理得到FA＝FE，CB＝CE，设正方形的边长为4a，FA＝FE＝x，由FE+FC表示出EC，由AD﹣AF表示出FD，在直角三角形FDC中，利用勾股定理列出关系式，用a表示出x，进而用a表示出FD与FC，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠FCD的值． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴AD与BC都与半圆O相切，又CF与半圆相切， ∴AF＝EF，CB＝CE，
设AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AF＝EF＝x， ∴FC＝EF+EC＝4a+x，FD＝AD﹣AF＝4a﹣x， 在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC2＝FD2+CD2，
∴（4a+x）2＝（4a﹣x）2+（4a）2， 整理得：x＝a，
∴FC＝4a+x＝5a，FD＝4a﹣x＝3a， ∴在Rt△DFC中，sin∠FCD＝故选：B．
【点评】此题考查了正方形的性质，切线的判定，切线长定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，利用了转化及等量代换的思想，灵活运用切线长定理是解本题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，乘积是1的两数互为倒数可得答案． 【解答】解：﹣的绝对值是，倒数是﹣， 故答案为：；﹣．
【点评】此题主要考查了倒数和绝对值，关键是掌握绝对值的性质和倒数定义．
12．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可
【解答】解：由题意得：x≥0，且x﹣1≠0， 解得：x≥0且x≠1， 故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角． 【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置， ∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角， ∴旋转的角度为90°． 故答案为：90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．
14．【分析】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1、a2+1＝3a，整体代入计算可得． 【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根， ∴a2﹣3a+1＝0，
则a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，
＝．
所以原式＝﹣1+1＝0， 故答案为：0．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义及整体代入思想的运用．
15．【分析】首先作AB、CD的垂线EF，然后根据垂径定理求得CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm；再在直角三角形OED和直角三角形OBF中，利用勾股定理求得OE、OF的长度；最后根据图示的两种情况计算EF的长度即可．
【解答】解：有两种情况．如图．过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E．
∴EF就是AB、CD间的距离．
∵AB＝48cm，CD＝20cm，根据垂径定理，得 CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm， ∵OD＝OB＝26cm，
∴在直角三角形OED和直角三角形OBF中， ∴OE＝24cm，OF＝10cm（勾股定理）， ∴①EF＝24+10＝34cm②EF＝24﹣10＝14cm． 故答案为：34或14cm．
【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理的综合运用．解答此题时，要分类讨论，以防漏解． 16．【分析】作出平行四边形，结合图象得到平行四边形中的整数点的个数． 【解答】解：当t＝0时，平行四边形ABCD内部的整点有：
（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）（3，1）；（3，2）；（3，3）共9个点，
所以N（0）＝9，此时平行四边形ABCD是矩形， 当平行四边形ABCD是一般平行四边形时，
将边AD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为11，12． 综上所述：N的值可能为：9或11或12． 故答案为：9或11或12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及一次函数图形，此题画可行域、利用数形结合的数学思想方法得出是解题关键． 三．解答题（共9小题，满分102分）
17．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：
①+②×3得：10x＝50， 解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝3， 则方程组的解为
．
，
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．【分析】求出∠AED＝∠EDC，∠DFE＝∠C，证△DFE≌△DCE，即可得出答案． 【解答】证明：∵DF⊥AE于F， ∴∠DFE＝90°
在矩形ABCD中，∠C＝90°， ∴∠DFE＝∠C，
在矩形ABCD中，AD∥BC ∴∠ADE＝∠DEC， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝∠DEC，∠DFE＝∠C＝90°， 又∵DE是公共边，
∴△DFE≌△DCE（AAS）， ∴DF＝DC．
【点评】本题考查了矩形性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力． 19．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心． 【解答】解：（1）△A1B1C如图所示， △A2B2C2如图所示；
（2）如图，对称中心为（2，﹣1）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）画出树状图即可得到结论．
【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝， 故答案为：；
（2）设两辆车为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果， ∴选择不同通道通过的概率＝
＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键． 21．【分析】（1）设B种零件的单价为x元，则A零件的单价为（x+30）元，根据用900元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件的数量相等，列方程求解；
（2）设购进A种零件m件，则购进B种零件（200﹣m）件，根据工厂购买两种零件的总费用不超过14700元，列不等式求出m的取值范围，然后求出工厂最多购买A种零件多少件． 【解答】解：（1）设B种零件的单价为x元，则A零件的单价为（x+30）元．
＝
，
解得x＝60，
经检验：x＝60 是原分式方程的解， x+30＝90．
答：A种零件的单价为90元，B种零件的单价为60元． （2）设购进A种零件m件，则购进B种零件（200﹣m）件． 90m+60（200﹣m）≤14700， 解得：m≤90，
m在取值范围内，取最大正整数， m＝90．
答：最多购进A种零件90件．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
22．【分析】（1）证明弧相等可转化为证明弧所对的圆心角相等即证明∠BOC＝∠COD即可； （2）由（1）可得∠BOC＝∠OAD，∠OAD＝∠ODA，再由已知条件证明∠ODF＝90°即可． 【解答】证明：（1）连接OD． ∵AD∥OC，
∴∠BOC＝∠OAD，∠COD＝∠ODA， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA． ∴∠BOC＝∠COD，
∴
＝；
（2）由（1）∠BOC＝∠OAD，∠OAD＝∠ODA． ∴∠BOC＝∠ODA． ∵∠BOC+∠ADF＝90°． ∴∠ODA+∠ADF＝90°， 即∠ODF＝90°． ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23．【分析】（1）想办法求出点A坐标即可解决问题； （2）设P（m，﹣
），则Q（﹣m，﹣
），想办法构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意B（2，﹣1）， ∵×2×AB＝4， ∴AB＝4， ∵AB∥y轴， ∴A（2，﹣5），
∵A（2，﹣5）在y＝的图象上， ∴k＝﹣10．
（2）设P（m，﹣
），则Q（﹣m，﹣
），
∵点Q在y＝x﹣3上， ∴﹣
＝﹣m﹣3，
整理得：m2+3m﹣10＝0，
解得m＝﹣5或2，
当m＝﹣5，n＝2时， +＝﹣当m＝2，n＝﹣5时， +＝﹣故+＝﹣
．
， ，
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上的点的坐标等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 24．【分析】（1）①欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可； ②想办法证明∠P＝30°即可解决问题；
（2）如图2中，连接MA．由△AMC∽△NMA，可得【解答】（1）①证明：如图1中，
，由此即可解决问题；
∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∵∠PCB＝∠A， ∴∠ACO＝∠PCB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA， ∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°， ∴∠P＝30°， ∵OC＝OA＝2， ∴OP＝2OC＝4， ∴
（2）解：如图2中，连接MA．
．
∵点M是弧AB的中点， ∴
＝
，
∴∠ACM＝∠BAM， ∵∠AMC＝∠AMN， ∴△AMC∽△NMA， ∴
，
∴AM2＝MC•MN， ∵MC•MN＝9， ∴AM＝3， ∴BM＝AM＝3．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N
的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0）， ∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣
）；
（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0）， ∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2， ∴y＝2x﹣2， 则
，
得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0， ∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0， 解得x＝1或x＝﹣2，
∴N点坐标为（﹣2，﹣6）， ∵a＜b，即a＜﹣2a， ∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E， ∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，
∴E（﹣，﹣3），
∵M（1，0），N（﹣2，﹣6）， 设△DMN的面积为S，
∴S＝S△DEN+S△DEM＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝
（3）当a＝﹣1时，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
，有，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， ∴G（﹣1，2），
∵点G、H关于原点对称， ∴H（1，﹣2），
设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x+t， ﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t， x2﹣x﹣2+t＝0， △＝1﹣4（t﹣2）＝0， t＝，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y＝﹣2x+t， t＝2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜
．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
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