概率与统计专题训练(理科)答案

概率与统计专题训练

一、选择填空

1. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：

[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左

到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．

【解析】成绩在[16,18]的学生的人数比为数为120639，所以成绩在[16,18]的学生的人1376320954。【答案】54 202. 某公司对下属员工在龙年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如下的直方图，如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有 人．

频率/组距0.0120.01050.0090.00750.0060.003525456585105125145数值【答案】8

3. 某高中校三个年级人数见下表：

年级 高一 高二 高三 人数 300 300 400 通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，现在从答卷中随机抽取一张，恰好是高三学生的答卷的概率是

1(A)

10

(B)

1 40 (C)

2 3 (D)

2 51

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【答案】D

4．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如

图所示）．若[5.0，5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是____；样本数据在[3.8，4.2）内的频率是______.

【答案】

5. 某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数为 ． ．．其中平均数为 ；众数为 ；中位数为 。

6. 右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为x1和x2，标准差依次为s1和s2，那么（ B ） （注：标准差s1[(x1x)2(x2x)2n(xnx)2]，其中x为x1,x2, ,xn的平均数）

（A）x1x2，s1s2 （C）x1x2，s1s2

（B）x1x2，s1s2 （D）x1x2，s1s2

7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( C )

2749（A）（B）（C）（D）

551010

甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9 2

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8. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：

5

9 6 3 7

8 1 2 1

甲 8 0 0 0

1 2 3 4

乙 7 2 0

9

7 9 5 6 2 3

7 9 9

根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（ D ） ．．．A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

9. 某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）

女生 男生 一年级 385 375 二年级 三年级 a 360 b c （A）24 （B）18 （C）16 （D）12

10. 某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 9 ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为

11．在区间0,9上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1log2x2的概率为 ．【解析】由不等式1log2x2，可得2x4，所以所求概率为

3 ． 5 公务员 教师 自由职业者 相关人员数 32 48 64 抽取人数 x y 4 2 9422。 9093

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12. 已知向量a(x,1)，b(3,y)，其中x随机选自集合{1,1,3}，y随机选自集合{1,3}，那么ab的概率是__

1___． 611的概率是 . 2211的概率_______．

2413. 在长度为1的线段AB上随机的选取一点P， 则得到|PA|14. 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则PAB的面积大于等于

15. 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，

以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( C ) （A）7.68 （B）8.68 （C）16.32 （D）17.32

16. 从集合A{1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B{2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线ykxb不经过第三象限的概率为( A ) A．

4215 B. C. D. 93992217. 记集合A{(x,y)xy4}和集合B{(x,y)|xy20,x0,y0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率为( A ) (A)

18. 在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为___

 2(B)

 (C)

 4(D)

 1__. 619. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为正实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为负实验，若两次面向上的点数相等我们称其为无效。那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是( C )

A.

1111 B. C. D.

12623620．某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：

分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 人数 1 3 6 6 [80,85) [85,90) [90,95) 2 1 1 由此预测参加面试所画的分数线是 ．【答案】80

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21. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为队员每次罚球的命中率为____________. 解析：由1p216，则该25163得p 25521)xb，1且a(0, 322. 已知函数f(x)ax(b，)则对于任意的bR，函数

1 . F(x)f(x)总有两个不同的零点的概率是x3

23. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) （A）

1123 （B） （C） （D） 323431

 93

解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有339种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为

24. 在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则（A）

m( ) n4122 （B） （C） （D）15353

答案：B

2解析：基本事件：从(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)选取2个，nC63515.其中面积为

2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为

(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故

m51. n15325. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(D ) (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差

26. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ B ）

5

戴氏教育簇桥校区 概率与统计 授课老师:唐老师 A、101 B、808 C、1212 D、2012 27. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(B) （A）

28. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为(C ) :(A)

2

1234 （B） （C） （D） 55551124 (B) (C) (D) 63352

【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为x(12x)cm， 由x(12x)20，解得2x10。又0x12，所以该矩形面积小于32cm的概率为

2

2， 329. 设集合A{1，，2}B{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线xyn上”为事件Cn(2≤n≤5，nN)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（ ）

A．3

B．4

C．2和5

D．3和4

30. 在区间[1,1]上随机取一个数x，cosA.

x2的值介于0到

1之间的概率为( ) 21122 B. C. D. 323分析：在区间[1,1]上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间[1,1]的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间[1,1]上随机取一个数x,即x[1,1]时,要使cos需使x2的值介于0到

1之间, 2223322222∴1x或x1，区间长度为，

333x1由几何概型知使cos的值介于0到之间的概率为

22x或

x

2符合条件的区间长度1P3. 故选A.

所有结果构成的区间长度23

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二、解答题

1. 某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；

（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得

一等奖.如果前三道题都答错，就不再答第四题.某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同． ①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；

②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．

2. 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为每人分别进行三次投篮．

（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．

【答案】解：（Ⅰ）的可能取值为：0，1，2，3． …………1分

11，乙每次投中的概率为，328402112 P(0)C3;P(1)C3; 932733112231 P(2)C;P(3)C3. 327339232332 的分布列如下表：

 0 1 2 3 8421 P 279927 …………4分

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E084211231． …………5分 27992733317 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为1C． …………8分

28 （Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2，

则AB1B2,B1,B2为互斥事件． …………10分 P(A)P(B1)P(B2)83411．

278986 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为1． …………13分

63. 将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． （Ⅰ）求1号球恰好落入1号盒子的概率； （Ⅱ）求的分布列和数学期望E．

【答案】（Ⅰ） 设事件A表示 “1号球恰好落入1号盒子”，

3A31P(A)4

A44所以1号球恰好落入1号盒子的概率为

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，4

1 …………5分 4…………6分

P(0)333421P(1) 44A48A43211C21（每个1分）……………………10分 P(2)4 P(4)4A24A444所以的分布列为

 P 0 3 838131 1 32 1 44 1 24……………………11分

数学期望E0121141 …………………13分 4248

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4. 某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.

（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值；

[80，区间 [75，80) 85) 人数 50 90) 350 95) 300 100] [85，[90，[95，a b （II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

（Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望.

频率组距0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O

75 80 85 90 95 100 分数

【答案】解：（Ⅰ）依题意，a0.0451000200,b0.0251000100. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则

x350300100，解得：x=30， 401000 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分 （Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，

2112C10C10C30C303529，， P(X0)2，P(X1)P(X2)22C4052C4013C4052所以X的分布列为

X P EX0

0 1 2 3 525 1329 5235293312，所以X的数学期望为. ……………13分 521352225. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万

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元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.

（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列； （Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.

【答案】解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3. …………2分 P(X10)0.80.90.72， P(X5)0.20.90.18 ，

P(X2)0.80.10.08， P(X3)0.20.10.02. ……6分 由此得X的分布列为：

X 10 0.72 5 0.18 2 3 0.02 P 0.08 …………8分

（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件. 由题设知4n(4n)10，解得n14， 5又nN且n4，得n3，或n4. …………10分

334所求概率为PC40.80.20.80.8192.（或写成

512） 625答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192. …………13分 6. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.

（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；

（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.

【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是

记“甲以4比1获胜”为事件A，

343则P(A)C34()()1． ………1分 2121211． ………………4分 2812（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.

115， ………………6分 22321316315 乙以4比3获胜的概率为P2C3， ………………7分 ()()6222323353 因为，乙以4比2获胜的概率为P1C5()() 10

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所以 P(B)P1P25． ………………8分 16（Ⅲ）解：设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7．

141P(X4)2C4()， ………………9分 4281314311 P(X5)2C3()()， ………………10分 422241315215 P(X6)2C3()()， ………………11分 5222161316315 P(X7)2C3()()． ………………12分 622216比赛局数的分布列为：

X P

4

1 85

1 46

5 167

5 16 ………………13分 7. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，

[60,80)，[80,100].

（Ⅰ）求直方图中x的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 【答案】解：（Ⅰ）由直方图可得：

x0.00650.0030.025频率/组距O20406080100时间20x0.025200.0065200.0032201.

所以 x=0.0125. ………………………………………2分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

0.0032200.12， ………………………………………4分

因为6000.1272，

所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. ……………6分

11

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（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为

431， 48113273, P(X1)C1, P(X0)4446442562713133,P(X3)C3P(X2)C4,

4412844642422311. P(X4)4256所以X的分布列为：

4X 0 1 2 3 4 P81 25627 6427 1283 641256 ………………………………………12分

812727311EX012341.（或EX41）

25664128642564所以X的数学期望为1. ………………………………………13分 8. 今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：

高一年级 10人 高二年级 6人 高三年级 4人 （I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；

（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则

12C10C1015 PA338C20答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为

15. ………………………4分 381.312

（II）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为

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所以 ………………………6分

1611012P1C; P0C443381322041322; 813132488212312P2C4;P3C4; 8127333381112P4C. ………………………11分

813344403 随机变量的分布列为：

 P 0 1 2 3 4 16 8132 818 278 811 81 ………………………12分 所以E0

解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为

1632248141234……………………13分 818181818131. …………………5分 311则随机变量服从参数为4，的二项分布，即～B(4,).……………7分

33随机变量的分布列为：

 P 0 1 2 3 4 1681328 818127818114所以Enp4 …………………13分

33

9. 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为第二轮检测不合格的概率为

1，61，两轮检测是否合格相互没有影响. 10（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即

获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X).

13

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解：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则

111P(A)1(1)(1).

61041所以，该产品不能销售的概率为. ……………………………………4分

4（Ⅱ）由已知，可知X的取值为320,200,80,40,160. ………………………5分

1113331， P(X200)C4()， P(X320)()44256446413273327231，P(X40)C4()， P(X80)C4()2()2441284464381. ……………………………………10分 P(X160)()44256所以X的分布列为

X P -320 -200 -80 40 160 1 2563 6427 12827 6481 256 ……………………………………11分 E(X)32011272781200804016040 2566412864256 所以，均值E(X)为40. ……………

10. 一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.

（Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；

（Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；

（III）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望.

解：（Ⅰ）因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，设事件A为“两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数” ……2分

2C32C22 4分 P(A)25C5

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（Ⅱ）设B表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为奇数”， ……5分 由已知，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为

则P(B)C34()(1)23， ……6分 53523554. ……8分 125（Ⅱ）依题意，X的可能取值为1,2,3.

P(X1)3， 5233P(X2)，

54102131P(X3)， …………………11分

54310所以X的分布列为

X P 1 3 52 3 103 1 103313E(X)123. ………………

51010211. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p赛结束时比赛停止的概率为（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E．

解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，

故p(1p)解得p又p221)，且各局胜负相互独立．已知第二局比25． 95， 912或p． 33

12

，所以p． …………………6分 23

（Ⅱ）依题意知的所有可能取值为2，4，6．

5P(2)，

95520P(4)(1)，

9981

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52016P(6)1，

98181所以随机变量的分布列为：

 P 2 5 94 20 816 16 81所以的数学期望E2

52016266 46981818112. 某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.

解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为

A, …………………………1分

由

题

意

可

得

每

位

乘

客

在

第

2

层

下

电

梯

的

概

率

都

是

1， …………………………3分 3265则P(A)1P(A)1 …………6分

381 .

(Ⅱ) X的可能取值为0,1,2,3,4, ………7分 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为

41，且每个人下电梯互不影响， 3所以，X1B(4,). ………9分

30 1 2 3 4 X P 16 8132 8124 818 811 81 ……11分

14E(X)4.………………13分

33

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13. 为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中

312是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。 433（1）在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人 持银卡的概率；

(2 ) 在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX。

解：（1）由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客有9人，其中6人持有银卡。 记事件B为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡，” 记事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡,1人持银卡，” 记事件A2为“采访该团3人中，2人持金卡,1人持银卡，”

1111C9C6C21C92C645 则P(B)P(A1)P(A2) 33238C36C36 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为

45。 238 ………………………………………………….6分 （2）X的可能取值为0,1,2,3

3C18272 因为P(X0)3

C2797512C9C18153 P(X1) 3325C271C92C1872 P(X2) 3325C273C928 P(X3)3

C27975 所以X的分布列为 X 0 1 2 3

P 272 975153 32572 32528 97517

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………………………………………………10分 故EX027215372281231 97532532597514. 甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.

（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.

（Ⅱ）记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的分布列和期望.

解：（Ⅰ）事件A表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知

C32P(A)22 ………………3分

C5C4111. ………………5分 10220（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3. ………………6分

C3231P(X0)22， ………………7分

C5C4106201121C2C3C3C323337， ………………9分 P(X1)22C5C4106201C32C3333， ………………10分 P(X3)22C5C410620P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)9. ………………11分 20X的分布列：

X P ……12分

0 1 201 7 202 9 203 3 20E(X)0

179317123. 202020201015. 某学校高一年级开设了A,B,C,D,E五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的． （Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；

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（Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；

（Ⅲ）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期望． 解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，

故共有555125（种）．

3A512（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：3．

525 ∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：1（Ⅲ）由题意：X0,1,2,3．

1213． 25251C342484364P(X0)3； P(X1)； 3512551253C32412C31P(X2)3； P(X3)3．

51255125的分布列为

数学期望EX0X P 0 64 1251 48 1252 12 1253 1 12564481213=．---------------- 13分 123125125125125516. 袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值． 解：（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，

3111C4C3C3C327则P(A)．…………………………………………………5分 3C1255（II）由题意X所有可能的取值为：1，2，3，4.…………………………………6分

P(X1)11； 3C12220113C32C3C32C3C319； P(X2)3C12220 19

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2113C6C3C6C32C36416； P(X3)3C1222055113C92C3C9C32C313634P(X4)． 3C1222055所以随机变量X的分布列为

X P 1 2 3 4 1 22019 22016 5534 55……………………………………………………………10分

随机变量X的均值为

EX1

1191634155．………………………………13分 23422022055554417. 在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜.

(Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；

(Ⅱ)☆若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.

解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：

(Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：

11111.………5分 22446411339 2244641133111324 P522224422446422811111 P7 P8 P66464224464P4分布列为：

5 20 25 30 35 40 P 9242281 6464646464 ……………………………13分

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