一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（2018济南，1，4分）4的算术平方根是（ ） A．2 B．－2 C．±2 D．22．（2018济南，2，4分）如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
正正 A． B． C． D．3．（2018济南，3，4分）2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际
量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（ ） A．0.76×104 B．7.6×103 C．7.6×104 D．76×1024．（2018济南，4，4分）“瓦当”是中国古建筑装饰××头的附件，是中国特有的文化艺术遗
产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B C D5．（2018济南，5，4分）如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为（ ） A．17.5° B．35°
BD1C．55° D．70°
F
AC6．（2018济南，6，4分）下列运算正确的是（ ） A．a2＋2a＝3a3 B．(－2a3)2＝4a5 C．(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2 D．(a＋b)2＝a2＋b27．（2018济南，7，4分）关于x的方程3x－2m＝1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
1111 A．m＜－2
B．m＞－2
2
C．m＞2
D．m＜2
8．（2018济南，8，4分）在反比例函数y＝－x图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
1
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y29．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ） A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
7654321yB'AA'C'C1234B–4–3–2–1Ox10．（2018济南，10，4分）下面的统计图大致反应了我国2012年至2017年人均阅读量
的情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A．与2016年相比，2017年我国电子书人均阅读量有所降低 B．2012年至2017年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.57C．从2014年到2017年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长
D．2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多
一一一/一6543 2.352 4.39 4.77 4.56 4.58 4.65 4.66 3.22 3.26 3.21 2.48 3.12一一一一一一O201220132014201520162017一一11．（2018济南，11，4分）如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将
这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
999π
A．6π－23
AB．6π－93
C．12π－23
AD．4
C
D
OBO(A)B2
12．（2018济南，11，4分）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把
点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，－2）都是“整点”．抛物线
y＝mx2－4mx＋4m－2(m＞0)与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）
11
A．2≤m＜1
B．2＜m≤1
C．1＜m≤2
D．1＜m＜2
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（2018济南，13，4分）分解因式：m2－4＝____________；
14．（2018济南，14，4分）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若于个白色做子，每
1个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑包棋子的概率是4，则白色棋子的个数是＝____________；15．（2018济南，15，4分）一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是＝____________；
x－216．（2018济南，16，4分）若代数式x－4的值是2，则x＝____________； 17．（2018济南，17，4分）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B
地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发____________小时后和乙相遇．
y/km20一一O145t/h18．（2018济南，18，4分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，
AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△
1
DHE；③tan∠BFG＝2；④矩形EFGH的面积是43．其中一定成立的是____________．（把所有正确结论的序号填在横
ADE线上）
FH三、解答题（本大题共9小题，共78分）
19．（2018济南，19，6分）
计算：2－1＋│－5│－sin30°＋(π－1)0．
BGC3
20．（2018济南，20，6分）
解不等式组：
21．（2018济南，21，6分）
如图，在□ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且 AE＝CF，连接EF交BD于点O．
求证：OB＝OD．
EADOBCF22．（2018济南，22，8分）
本学期学校开展以“感受中华传统买德”为主题的研学部动，组织150名学生多观历史好物馆和民俗晨览馆，每一名学生只能参加其中全顺活动，共支付票款2000元，票价信息如下：
地点历史博物馆民俗展览馆
票价10元/人20元/人
（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？
4
23．（2018济南，23，8分）
如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相较于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．
(1)求∠ABD的度数；
(2)若AB＝6，求PD的长度．
BCODAP24．（2018济南，24，10分）
某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1 、图2两幅均不完整的统计图表．请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝________，b＝_______；
卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一ABC一一一一一一36一一0.450.25一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一“√”一一一一一一一一一一168ab一一A一一一一D一一1“3D”一一一一一BDB25%CCD一一一一一一一一A5（2）“D”对应扇形的圆心角为_______度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
25．（2018济南，25，10分）
如图，直线y＝ax＋2与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，b)．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函
k数y＝x（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD． (1)求a和b的值；
(2)求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；
k
(3)点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝x（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
yyDCDCBBOAxOAx
第25题图
第25题备用图
6
26．（2018济南，26，12分）
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作
∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．
MEMEAAFBCDBDC第26题图1 第26题图2
7
27．（2018济南，27，12分）
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4过A(2，0)、B(4，0)两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．
(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；(2)如图2，若∠ACP＝45°，求m的值；
(3)如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．
yCDOABx第27题图1 yCDPOABx第27题图2 8
yCMDQPOABxN第27题图3
山东省济南市2018年学业水平考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（2018济南，1，4分）4的算术平方根是（ ） A．2 B．－2 C．±2 D．2【答案】A 2．（2018济南，2，4分）如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
正正 A． B． C． D．【答案】D 3．（2018济南，3，4分）2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际
量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（ ） A．0.76×104 B．7.6×103 C．7.6×104 D．76×102【答案】B 4．（2018济南，4，4分）“瓦当”是中国古建筑装饰××头的附件，是中国特有的文化艺术遗
产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B C D【答案】D 5．（2018济南，5，4分）如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为（ ） A．17.5° B．35°
BC．55°
D．70°
D
1FCA【答案】B 6．（2018济南，6，4分）下列运算正确的是（ ） A．a2＋2a＝3a3 B．(－2a3)2＝4a5
9
C．(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2 D．(a＋b)2＝a2＋b2【答案】C 7．（2018济南，7，4分）关于x的方程3x－2m＝1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
1111 A．m＜－2
【答案】B
B．m＞－2
2
8．（2018济南，8，4分）在反比例函数y＝－x图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C．m＞2 D．m＜2
C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2【答案】C 9．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ） A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
7y6B'A543A'2C'1CB–4–3–2–1O1234x【答案】C 10．（2018济南，10，4分）下面的统计图大致反应了我国2012年至2017年人均阅读量
的情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A．与2016年相比，2017年我国电子书人均阅读量有所降低 B．2012年至2017年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.57C．从2014年到2017年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长
D．2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多
10
一一一/一6543 2.352 4.39 4.77 4.56 4.58 4.65 4.66 3.22 3.26 3.21 2.48 3.12一一一一一一O201220132014201520162017一一【答案】B 11．（2018济南，11，4分）如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将
这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
999π
A．6π－23
AB．6π－93
C．12π－23
AD．4
C
D
OBO(A)B【答案】A
12．（2018济南，11，4分）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把
点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，－2）都是“整点”．抛物线
y＝mx2－4mx＋4m－2(m＞0)与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）
11 A．2≤m＜1 B．2＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2
【答案】B【解析】
解：∵y＝mx2－4mx＋4m－2＝m(x－2)2－2且m＞0, ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，－2)，对称轴是直线x＝2．
由此可知点(2，0)、点(2，－1)、顶点(2，－2)符合题意．方法一：
①当该抛物线经过点（1，－1）和（3，－1）时（如答案图1），这两个点符合题意．
将（1，－1）代入y＝mx2－4mx＋4m－2得到－1＝m－4m＋4m－2．解得m＝1．
11
此时抛物线解析式为y＝x2－4x＋2．
由y＝0得x2－4x＋2＝0．解得x1＝2－2≈0.6，x2＝2＋2≈3.4．
∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．
则当m＝1时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－1)、(2，－2)这7个整点符合题意．
∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大，
】
y21–1O–1–2–312345x21–1O–1–2–3y12345x1
答案图1(m＝1时) 答案图2( m＝2时)
②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意．
1将（0，0）代入y＝mx2－4mx＋4m－2得到0＝0－4m＋0－2．解得m＝2．
1此时抛物线解析式为y＝2x2－2x．
13
当x＝1时，得y＝2×1－2×1＝－2＜－1．∴点(1，－1)符合题意．13当x＝3时，得y＝2×9－2×3＝－2＜－1．∴点(3，－1) 符合题意．1
综上可知：当m＝2时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－2)、(2，－1)都符合题意，共有9个整点符合题意，
1∴m＝2不符合题．
1∴m＞2．
1
综合①②可得：当2＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围城的区域（含边界）内有七个整点，故答案选B．
1
方法二：根据题目提供的选项，分别选取m＝2，m＝1，m＝2，依次加以验证．
11
①当m＝2时（如答案图3），得y＝2x2－2x．
1由y＝0得2x2－2x＝0．解得x1＝0，x2＝4．
12
∴x轴上的点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)符合题意．
13 当x＝1时，得y＝2×1－2×1＝－2＜－1．∴点(1，－1)符合题意．13当x＝3时，得y＝2×9－2×3＝－2＜－1．∴点(3，－1) 符合题意．1
综上可知：当m＝2时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－2)、(2，－1)都符合题意，共有9个整点符合题意，
1∴m＝2不符合题．∴选项A不正确．
yy21–1O–1–2–312345x21–1O–1–2–312345x21–1O–1–2–312345yx1 答案图3( m＝2时) 答案图4(m＝1时) 答案图5(m＝2时)②当m＝1时（如答案图4），得y＝x2－4x＋2．
由y＝0得x2－4x＋2＝0．解得x1＝2－2≈0.6，x2＝2＋2≈3.4．∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．
当x＝1时，得y＝1－4×1＋2＝－1．∴点(1，－1)符合题意．当x＝3时，得y＝9－4×3＋2＝－1．∴点(3，－1) 符合题意．
综上可知：当m＝1时，点(1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－2) 、(2，－1)都符合题意，共有7个整点符合题意，∴m＝1符合题．∴选项B正确．
③当m＝2时（如答案图5），得y＝2x2－8x＋6．由y＝0得2x2－8x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝3．
∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．
综上可知：当m＝2时，点(1，0)、(2，0)、(3，0)、(2，－2) 、(2，－1)都符合题意，共有5个整点符合题意，∴m＝2不符合题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（2018济南，13，4分）分解因式：m2－4＝____________；【答案】(m＋2)(m－2)14．（2018济南，14，4分）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若于个白色做子，每
1个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑包棋子的概率是4，则白色棋子的个数是＝____________；【答案】15
13
15．（2018济南，15，4分）一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是＝____________；【答案】5
x－2
16．（2018济南，16，4分）若代数式x－4的值是2，则x＝____________； 【答案】617．（2018济南，17，4分）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B
地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发____________小时后和乙相遇．
y/km20一一O16
5．【答案】
145t/h2(t－1)(1≤t≤2)
【解析】y甲＝4t(0≤t≤4)；y乙＝9(t－2)t(2＜t≤4)；
{)
y＝4t{由方程组y＝9(t－2))解得
16
∴答案为5．
.
18．（2018济南，18，4分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，
AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△
1
DHE；③tan∠BFG＝2；④矩形EFGH的面积是43．其中一定成立的是____________．（把所有正确结论的序号填在横线上）
AEDFHBGC【答案】①②④．
【解析】设EH＝AB＝a，则CD＝GH＝a．∵∠FGH＝90°，∴∠BGF＋∠CGH＝90°.又∵∠CGH＋∠CHG＝90°,
14
∴∠BGF＝∠CHG…………………………………故①正确．同理可得∠DEH＝∠CHG.∴∠BGF＝∠DEH.
又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH,
∴△BFG≌△DHE…………………………………故②正确．同理可得△AFE≌△CHG.∴AF＝CH.
BFFGBF26易得△BFG∽△CGH.∴CG＝GH.∴3＝a.∴BF＝a.66∴AF＝AB－BF＝a－a.∴CH＝AF＝a－a.
在Rt△CGH中，∵CG2＋CH2＝GH2，
6
6
∴32＋( a－a)2＝a2.解得a＝23.∴GH＝23.∴BF＝ a－a＝3.
BF在Rt△BFG中，∵cos∠BFG＝FG＝∴tan∠BFG＝tan30°＝
，∴∠BFG＝30°.
.…………………………………故③正确．
矩形EFGH的面积＝FG×GH＝2×23＝43…………………………………故④正确．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
19．（2018济南，19，6分）
计算：2－1＋│－5│－sin30°＋(π－1)0．
解：2－1＋│－5│－sin30°＋(π－1)0．
11＝2＋5－2＋1＝6
20．（2018济南，20，6分）
解不等式组：
解：由① ，得
3x－2x＜3－1.
∴x＜2.由② ，得4x＞3x－1.
∴x＞－1.
∴不等式组的解集为－1＜x＜2.
21．（2018济南，21，6分）
如图，在□ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且 AE＝CF，连接EF交BD于点O．
求证：OB＝OD．
15
EADOB证明：∵□ABCD中，
∴AD＝BC,AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD.又∵AE＝CF，∴AE＋AD＝CF＋BC.∴ED＝FB.
又∵∠EOD＝∠FOB,
CF∴△EOD≌△FOB.∴OB＝OD．22．（2018济南，22，8分）
本学期学校开展以“感受中华传统买德”为主题的研学部动，组织150名学生多观历史好物馆和民俗晨览馆，每一名学生只能参加其中全顺活动，共支付票款2000元，票价信息如下：
地点历史博物馆民俗展览馆
票价10元/人20元/人
（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？
解：（1）设参观历史博物馆的有x人，则参观民俗展览馆的有（150－x）人，依题意，得
10x＋20(150－x)2000.10x＋3000－20x＝2000.－10x＝－1000.
∴x＝100.∴150－x＝50.
答：参观历史博物馆的有100人，则参观民俗展览馆的有50人．（2）2000－150×10＝500（元）.
答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款500元．
23．（2018济南，23，8分）
如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相较于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．
(1)求∠ABD的度数；
(2)若AB＝6，求PD的长度．
16
BCODAP【解析】
解：(1)方法一：连接AD（如答案图1所示）．
∵BA是⊙O直径，∴∠BDA＝90°．∵BD＝BD，∴∠BAD＝∠C＝60°．∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°．
BBCODAPCODAP
第23题答案图1 第23题答案图2
方法二：连接DA、OD（如答案图2所示），则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．
1∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝2(180°－120°)＝30°．即∠ABD＝30°．
(2)∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°． 在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，
11∴DA＝2BA＝2×6＝3．∴BD＝3DA＝33．
AB
6
．∴BP＝43．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝PB，∴cos30°＝PB＝∴PD＝BP－BD＝43－33＝3．
24．（2018济南，24，10分）
某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1 、图2两幅均不完整的统计图表．
17
卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一ABC一一一一一一36一一0.450.25一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一“√”一一一一一一一一一一168ab一一A一一一一D一一1“3D”一一一一一BDB25%CCD一一一一一一一一A请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝________，b＝_______；（2）“D”对应扇形的圆心角为_______度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．解：（1）a＝36÷0.45＝80. b＝16÷80＝0.20. （2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：
8÷80×360°＝36°.
（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为： 2000×0.25＝500（人）．（4）列表格如下：
A
ABC
A,AA,BA,C
BB,AB,BB,C
CC,AC,BC,C
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以
31
两人恰好选中同一门校本课程的概率为：9＝3．
25．（2018济南，25，10分）
如图，直线y＝ax＋2与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，b)．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函
18
k
数y＝x（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD． (1)求a和b的值；
(2)求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；
k
(3)点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝x（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
yyDCDCBBOA第25题图
xOA第25题备用图
x【解析】
解：(1)将点A(1，0)代入y＝ax＋2，得0＝a＋2．∴a＝－2．∴直线的解析式为y＝－2x＋2．
将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．∴点B(0，2)．(2)由平移可得：点C(2，t)、D(1，2＋t)．
kk＝4 将点C(2，t)、D(1，2＋t)分别代入y＝x，得
4
．解得t＝2．
{) ∴反比例函数的解析式为y＝x，点C(2，2)、点D(1，4)． 分别连接BC、AD（如答案图1）．∵B(0，2)、C(2，2)，∴BC∥x轴，BC＝2．∵A(1，0)、D(1，4)，∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．
11∴S四边形ABDC＝2×BC×AD＝2×2×4＝4．
19
yDCBOAx
第25题答案图1
(3)①当∠NCM＝90°、CM＝CN时（如答案图2所示），过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E． 设点N(m，0)（其中m＞0），则ON＝m，CE＝2－m． ∵∠MCN＝90°，∴∠MCF＋∠NCE＝90°．
∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC＋∠NCE＝90°．
∴∠MCF＝∠ENC．
又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM．
∴CF＝EN＝2，FM＝CE＝2－m．∴FG＝CG＋CF＝2＋2＝4．∴xM＝4．
4将x＝4代入y＝x，得y＝1．∴点M(4，1)．
yyEGMONHx
第25题答案图2 第25题答案图3 ②当∠NMC＝90°、MC＝MN时（如答案图3所示），过点C作直线l⊥y轴与点F，则
CF＝xC＝2．过点M作MG⊥x轴于点G，MG交直线l与点E，则MG⊥直线l于点E，EG＝yC＝2．
∵∠CMN＝90°，∴∠CME＋∠NMG＝90°．
∵ME⊥直线l于点E，∴∠ECM＋∠CME＝90°．
CFlFCEMlONGx ∴∠NMG＝∠ECM．
又∵∠CEM＝∠NGM＝90°，CM＝MN，∴△CEM≌△MGN．
∴CE＝MG，EM＝NG．
设CE＝MG＝a，则yM＝a，xM＝CF＋CE＝2＋a．∴点M(2＋a，a)．
20
4
4
将点M(2＋a，a) 代入y＝x，得a＝2＋a．解得a1＝5－1，a2＝－5－1．∴xM＝2＋a＝5＋1．∴点M(5＋1，5－1)．
综合①②可知：点M的坐标为(4，1)或(5＋1，5－1)．
26．（2018济南，26，12分）
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作
∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．
MEMEAAFBCDBD第26题图2
C第26题图1
【解析】
解：(1) ∠ADE＝30°．
EEAABCDBCD(2) （1）中的结论是否还成立
证明：连接AE（如答案图1所示）．
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．
21
又∵CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE.∴AD＝AE,∠1＝∠2.
∴∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝120°.即∠DAE＝120°.又∵AD＝AE,∴∠ADE＝∠AED＝30°．
MEA132MEAFFB
答案图1
(3) ∵AB＝AC，AB＝6，∴AC＝6．
∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，
ADAF
DCBD答案图2
CAD2
∴△ADF∽△ACD.∴AC＝AD.∴AD2＝AF·AC．∴AD2＝6AF．∴AF＝6．∴当AD最短时，AF最短、CF最长．
1易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长（如答案图2所示），此时AD＝2AB＝3．
AD2323∴AF最短＝6＝6＝2．
39
∴CF最长＝AC－ AF最短＝6－2＝2.
27．（2018济南，27，12分）
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4过A(2，0)、B(4，0)两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．
(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；(2)如图2，若∠ACP＝45°，求m的值；
(3)如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．
yCDCPQOABxOABxONABPxyDCyMD22
第27题图1 第27题图2 第27题图3
【解析】
解：（1）将点A(2，0)和点B(4，0)分别代入y＝ax2＋bx＋4，得
10＝4a＋2x＋4
0＝16a＋4b＋4．解得．∴该抛物线的解析式为y＝2x2－3x＋4.
将x＝0代入上式，得y＝4.∴点C（0，4），OC＝4．
在Rt△AOC中，AC＝OA＋OC＝2＋4＝25.
设直线AC的解析式为y＝kx＋4,
将点A(2，0)代入上式，得0＝2k＋4．解得k＝－2．∴直线AC的解析式为y＝－2x＋4．
同理可得直线BC的解析式为y＝－x＋4． 求tan∠ACB方法一： 过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如答案图1所示），则∠G＝90°．
{)∵∠COA＝∠G＝90°，∠CAO＝∠BAG，∴△GAB∽△OAC.
BGOC4∴AG＝OA＝2＝2.∴BG＝2AG.
2
在Rt△ABG中，∵BG2＋AG2＝AB2,∴(2AG)2＋AG2＝22.AG＝55.
4212∴BG＝55,CG＝AC＋AG＝25＋55＝55.
BG1在Rt△BCG中，tan∠ACB＝CQ＝
y＝3.
yDPCCPExDOAGBOABx第27题答案图1 第27题答案图2
求tan∠ACB方法二：
过点A作AE⊥AC，交BC于点E（如答案图2所示），则kAE·kAC＝－1.
1
∴－2kAE＝－1.∴kAE＝2.
1
∴可设直线AE的解析式为y＝2x＋m．
1
将点A(2，0)代入上式，得0＝2×2＋m．解得m＝－1．
1∴直线AE的解析式为y＝2x－1．
23
102
由方程组∴AE＝
解得2＝35.
AE
1
3．．∴点E（3，）
在Rt△AEC中，tan∠ACB＝AC＝＝3.
求tan∠ACB方法三：
过点A作AF⊥BC，交BC点E（如答案图3所示），则kAF·kBC＝－1.∴－kAF＝－1.∴kAF＝1.
∴可设直线AF的解析式为y＝x＋n．
将点A(2，0)代入上式，得0＝2＋n．解得n＝－2．
∴直线AF的解析式为y＝x－2．
y＝x－2
由方程组y＝－x＋4解得∴AF＝(3－2)＋(1－0)＝
{){)x＝3
y＝1．∴点F（3，1）．
2，CF＝(3－0)－(1－4)＝32.AF1
＝3．
在Rt△AEC中，tan∠ACB＝CF＝
yCPFOABDx第27题答案图3
（2）方法一：利用“一线三等角”模型
将线段AC绕点A沿顺时针方向旋转90°，得到线段AC′，则AC′＝AC，∠C′AC＝90°，∠CC′A＝∠ACC′＝45°．
∴∠CAO＋∠C′AB＝90°．又∵∠OCA＋∠CAO＝90°，
∴∠OCA＝∠C′AB．
过点C′作C′E⊥x轴于点E．则∠C′EA＝∠COA＝90°．∵∠C′EA＝∠COA＝90°，∠OCA＝∠C′AB，AC′＝AC，∴△C′EA≌△AOC．
∴C′E＝OA＝2，AE＝OC＝4．∴OE＝OA＋AE＝2＋4＝6．∴点C′(6，2)．
设直线C′C的解析式为y＝hx＋4．
1将点C′(6，2)代入上式，得2＝6h＋4．解得h＝－3．
24
1
∴直线C′C的解析式为y＝－3x＋4．
∵∠ACP＝45°，∠ACC′＝45°，∴点P在直线C′C上．
11
设点P的坐标为(x，y)，则x是方程2x2－3x＋4＝－3x＋4的一个解．
将方程整理，得3x2－14x＝0．
16解得x1＝3，x2＝0（不合题意，舍去）．
16120将x1＝3代入y＝－3x＋4，得y＝9．
1620∴点P的坐标为(3，9)．
yyHDPC'CCKPDOABExK'OABx第27题答案图4 第27题答案图5
（2）方法二：利用正方形中的“全角夹半角”模型．
过点B作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK．易得四边形OBHC是正方形． 应用“全角夹半角”可得AK＝OA＋HK．
设K(4，h)，则BK＝h，HK＝HB－KB＝4－h，AK＝OA＋HK＝2＋(4－h)＝6－h．
8
在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2＋BK2＝AK2．∴22＋ h 2＝(6－h)2．解得h＝3．
8∴点K(4，3)．
设直线CK的解析式为y＝hx＋4．
88
1
将点K(4，3)代入上式，得3＝4h＋4．解得h＝－3．
1∴直线CK的解析式为y＝－3x＋4．
1
1
设点P的坐标为(x，y)，则x是方程2x2－3x＋4＝－3x＋4的一个解．将方程整理，得3x2－14x＝0．
16解得x1＝3，x2＝0（不合题意，舍去）．
16120将x1＝3代入y＝－3x＋4，得y＝9．
25
1620
∴点P的坐标为(3，9)．
（3）四边形ADMQ是平行四边形．理由如下：
∵CD∥x轴，∴yC＝yD＝4．
1
1
将y＝4代入y＝2x2－3x＋4，得 4＝2x2－3x＋4.解得x1＝0，x2＝6．∴点D（6，4）．
1根据题意，得P（m，2m2－3m＋4），M（m，4），H（m，0）．
1∴PH＝2m2－3m＋4），OH＝m，AH＝m－2，MH＝4．①当4＜m＜6时（如答案图5所示），DM＝6－m
ONOA2 ∵△OAN∽△HAP，∴PH＝AH．∴
m2－6m＋8(m－4)(m－2)∴ON＝
m－2
＝
m－2ONOQ
＝m－2．
＝m－4．ONOQ
∵△ONQ∽△HMP，∴HM＝HQ．∴4＝m－OQ．
m－4OQ∴4＝m－OQ．∴OQ＝m－4．
∴AQ＝OA－OQ＝2－(m－4)＝6－m． ∴AQ＝ DM＝6－m．
又∵AQ∥DM，∴四边形ADMQ是平行四边形．
yyMDPMCDCPQONN 第27题答案图6 第27题答案图7
②当m＞6时（如答案图6所示），同理可得：四边形ADMQ是平行四边形．综合①、②可知：四边形ADMQ是平行四边形．
ABHxOAQBHx26
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