1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况
1 / 12
3.三角形中常用的面积公式
1
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
21011acsinB＝□021absinC. (2)S＝bcsinA＝□2221
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2
1.概念辨析
(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b＋c－a>0时，三角形ABC为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身
2
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cosA＝，则b＝( )
3A.2 B.3 C．2 D．3 答案 D
212
解析 由余弦定理得5＝b＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
33
cosAb(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝2，则该三角形的形
cosBa2
2
2
2 / 12
状是( )
A.直角三角形 C.等边三角形 答案 A
cosAbcosAsinBb解析 因为＝，由正弦定理得＝，所以sin2A＝sin2B.由＝2，可知a≠b，
cosBacosBsinAa所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．
1
(3)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝，则△ABC的面积为________．
3答案 43
122
解析 ∵cosC＝，0 ∴S△ABC＝absinC＝×32×23×＝43. 223 sin2A(4)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________. sinC答案 1 B．等腰三角形 D．钝角三角形 b2＋c2－a252＋62－423sin2A2sinAcosA解析 因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cosA＝＝＝，所以＝ 2bc2×5×64sinCsinC3 2×4× 42acosA＝＝＝1. c6 题型 一 利用正、余弦定理解三角形 角度1 用正弦定理解三角形 1π1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝，C＝，则b＝________； 26(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________. 答案 (1)1 (2)75° 1 解析 (1)因为sinB＝且B∈(0，π)， 2π5π 所以B＝或B＝， 66 3 / 12 又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3， 又a＝3，由正弦定理得a＝bsinAsinB， 即 3＝b，解得b＝sin2ππ1. 3sin 6 (2) 如图，由正弦定理，得 36sin60°＝sinB， sinB＝22 . 又c＞b，∴B＝45°， ∴A＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形 2.(1)在△ABC中，若b＝1，c＝3，A＝π 6，则cos5B＝( ) A.－3 B.12 2 C.1 2 或－1 D．－3 2 或0 (2)在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为( A.32332 B.2 C.32 D．33 答案 (1)A (2)B 解析 (1)因为b＝1，c＝3，A＝π6， 所以由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋3－2×1×3× 3 2 ＝1， 所以a＝1. 4 / 12 ) ∴ π 由a＝b＝1，得B＝A＝， 6 5ππ3 所以cos5B＝cos＝－cos＝－. 662 AB2＋AC2－BC2 (2)由题意得cosA＝ 2AB·AC3＋4－13＝ 2×3×4∴sinA＝ 2 2 2 1＝， 2 312 1－＝， 22 33 . 2 ∴边AC上的高h＝ABsinA＝ 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b. (1)求角A的大小； (2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a. 解 (1)∵2acosC－c＝2b，由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB,2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC， 1∴－sinC＝2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝－， 22π 又A∈(0，π)，∴A＝. 3(2)在△ABD中，由正弦定理得，∴sin∠ADB＝＝， sin∠ADBsinAABBDABsinA2 ＝. BD2 2π 又∠ADB∈(0，π)，A＝， 3 πππ222 ∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，AC＝AB＝2，由余弦定理，得BC＝AB＋AC－ 4662AB·AC·cosA＝(2)＋(2)－2×2×2cos 2 2 2π ＝6，∴a＝6. 3 用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法 (1)已知两角和一边 ①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 5 / 12 以知a，b，A解三角形为例： a．根据正弦定理，经讨论求B； b．求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C； c．再根据正弦定理＝，求出边c. sinAsinC②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a，b，A解三角形为例： 列出以边c为元的一元二次方程c－(2bcosA)c＋(b－a)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C. (3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边． ②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角. 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝A. 6666 B. C. D. 6543 6 b，A＝2B，则cosB等于( ) 2 2 2 2 ac答案 C 66b226b1 解析 因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以2sin2BsinB2sinBcosBsinBcosB＝ 6 . 4 2 2 2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝3bc，且sinC＝23sinB，则角A的大小为________． 答案 π 6 解析 由sinC＝23·sinB得c＝23b. ∴a－b＝3bc＝3·23b，即a＝7b. 2 2 2 2 2 b2＋c2－a2b2＋12b2－7b23 则cosA＝＝＝. 2 2bc243bπ 又A∈(0，π)．∴A＝. 6 3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________. 6 / 12 答案 56 2 解析 在△ACD中，由余弦定理可得 49＋9－2511cosC＝＝， 2×7×31453 则sinC＝. 14 在△ABC中，由正弦定理可得 ＝， sinCsinBABAC537× 1456ACsinC则AB＝＝＝. sinB22 2 题型 二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 1.(2018·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 解析 因为 所以cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 C.等边三角形 B．等腰非等边三角形 D．钝角三角形 sinAa＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，sinBcB．直角三角形 D．等边三角形 cbcb7 / 12 答案 C sinAaaa解析 ∵＝，∴＝，∴b＝c. sinBcbc又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc， ∴b＋c－a＝bc， 2 2 2 b2＋c2－a2bc1 ∴cosA＝＝＝. 2bc2bc2 π ∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形． 3 条件探究1 把举例说明2中△ABC满足的条件改为“acosA＝bcosB”，判断△ABC的形状． 解 因为acosA＝bcosB， 所以sinAcosA＝sinBcosB， 所以sin2A＝sin2B， 又因为0<2A<2π，0<2B<2π，0 2 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形． a＋c2B条件探究2 把举例说明2中△ABC满足的条件改为“cos＝”，判断△ABC的形状． 22ca＋c2B解 因为cos＝， 22c1a＋c所以(1＋cosB)＝， 22c在△ABC中，由余弦定理得 11a＋c－ba＋c＋·＝. 222ac2c化简得2ac＋a＋c－b＝2a(a＋c)， 则c＝a＋b， 所以△ABC为直角三角形. 1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC中，c是最大的边． 若c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 / 12 (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论. 1.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C 解析 由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t>0)， a2＋b2－c25t则cosC＝＝ 2ab状为( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B 2 ＋11t－13t2×5t×11t22 <0，所以C是钝角，△ABC是钝角三角形. 2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形 B．直角三角形 D．不确定 2 解析 根据正弦定理，由bcosC＋ccosB＝asinA得sinB·cosC＋sinCcosB＝sinA，即sin(Bπ2 ＋C)＝sinA，又因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，所以sinA＝1，由0 题型 三 与三角形面积有关的问题 (2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为(1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长． 1a1a解 (1)由题设得acsinB＝，即csinB＝. 23sinA23sinA1sinA由正弦定理得sinCsinB＝. 23sinA2 故sinBsinC＝. 3 1 (2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－， 212ππ 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝. 233 2 . 3sinAa2 9 / 12 1a由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8. 23sinA由余弦定理得b＋c－bc＝9， 即(b＋c)－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33. 故△ABC的周长为3＋33. 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积． (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形的面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解. (2018·洛阳三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB＋(c－b)sinC＝asinA. (1)求角A的大小； 3 (2)若sinBsinC＝，且△ABC的面积为23，求a. 8解 (1)由bsinB＋(c－b)sinC＝asinA及正弦定理得 2 2 2 2 b2＋(c－b)c＝a2，即b2＋c2－bc＝a2， b2＋c2－a21π所以＝cosA＝，所以A＝. 2bc23 abcasinBasinC(2)由正弦定理＝＝，可得b＝，c＝， sinAsinBsinCsinAsinA11asinBasinC所以S△ABC＝bcsinA＝···sinA 22sinAsinAa2sinBsinC＝＝23. 2sinA3332 又sinBsinC＝，sinA＝，∴a＝23，解得a＝4. 828 高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化 考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决． [典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a＋b－ 2 2 c2)·(acosB＋bcosA)＝abc，若a＋b＝2，则c的取值范围为( ) 10 / 12 A．(0,2) B．[1,2) D．(1,2] 1C.，2 2 答案 B 解析 由正、余弦定理，得 2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC.即 2cosCsin(A＋B)＝sinC. 1 所以2cosCsinC＝sinC，因为sinC≠0，所以cosC＝. 2π 又C∈(0，π)，所以C＝. 3 因为c＝a＋b－2abcosC＝(a＋b)－3ab，且 (a＋b)≥4ab，所以ab≤1. 所以c≥1，即c≥1，又c 答案 π 3 222 2 2 2 解析 解法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得 2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA. ∴2sinBcosB＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB. 1π 又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝. 23 解法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b， 1 ∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝. 2π 又0 [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，若b＝2，且2bcosB＝acosC＋ccosA. (1)求B的大小； (2)求△ABC面积的最大值． 解 (1)由正弦定理＝＝可得 sinAsinBsinC2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sinB， abC11 / 12 1π ∵sinB>0，故cosB＝，∵0 (2)由b＝2，B＝及余弦定理可得ac＝a＋c－4， 3由基本不等式可得ac＝a＋c－4≥2ac－4，ac≤4， 113 而且仅当a＝c＝2时，S△ABC＝acsinB取得最大值×4×＝3，故△ABC的面积的最大值为 2223. 方法指导 1.两种主要方法 1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形. 2.基本原则 1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理. 2 2 12 / 12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容