最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos__A； 公式 ＝＝＝2R sin Asin Bsin C(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 2R2R2R常见变形 (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A abcb2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C b2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2ababc111abc12.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，
2224R2并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 bsin A (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( ) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b＋c－a>0时，△ABC为锐角三角形；当b＋c－a＝0时，△ABC为直角三角形；当 2 2 2 2 2 2 b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ) - 1 - 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边. (4)当b＋c－a>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A2 ＝，则b＝( ) 3A.2 B.3 C.2 D.3 2 2 2 1222 解析 由余弦定理，得5＝b＋2－2×b×2×，解得b＝3b＝－舍去，故选D. 33答案 D 3.(2017·湖州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则cos B＝( ) 1 A.－ 2C.－3 2 sin B1B. 2D.3 2 ＝，3cos Bsin Aba解析 由正弦定理知 sin Aπ＝＝1，即tan B＝3，由B∈(0，π)，所以B＝，所以33cos Bsin Aπ1 cos B＝cos＝，故选B. 32答案 B 4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为A.3 2 B.3 D.2 3 ，则BC的长为( ) 2 C.23 1133 解析 因为S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1， 2222所以BC＝AB＋AC－2AB·ACcos 60°＝3， 所以BC＝3. 答案 B 5.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， - 2 - 2 2 2 π 即A＝B或A＋B＝， 2 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形 1 6.(2017·绍兴调研)已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝2，则角B＝________，AC＝ 2________. 1 解析 ∵钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝2， 2 112π3π∴＝×1×2×sin B，解得sin B＝，∴B＝或， 22244π ∵当B＝时，由余弦定理可得 4 AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝ 1＋2－2×1×2× 2 ＝1， 2 π222 此时，AB＋AC＝BC，可得A＝，此△ABC为直角三角形，与已知矛盾，舍去. 23π22 ∴B＝，由余弦定理可得AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos B 4＝答案 1＋2＋2×1×2×3π 4 5 考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 C.0个 B.2个 D.无法确定 2 2 2 ＝5. 2 (2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c＝b＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________. 1 (3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sin B＝，C2π ＝，则b＝________. 6解析 (1)∵bsin A＝6× 2 ＝3，∴bsin A ∴满足条件的三角形有2个. (2)由题意知a＝2b，a＝b＋c－2bccos A， 即2b＝b＋c－2bccos A，又c＝b＋2bc， ∴cos A＝21 ，∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°，sin B＝，又B∈(0°，180°)，b＜a，∴22 2 2 2 2 2 2 2 2 B＝30°，∴C＝105°. 1π5π (3)因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝. 266ππ2π 又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝. 663 ab3b又a＝3，由正弦定理得＝，即＝， sin Asin B2ππ sinsin 36 解得b＝1. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 规律方法 (1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 【训练1】 (1)(2017·金华模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝13， b＝3，A＝60°，则边c＝( ) A.1 B.2 C.4 D.6 45 (2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，513 a＝1，则b＝________. 解析 (1)a＝c＋b－2cbcos A⇒13＝c＋9－2c×3×cos 60°，即c－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去). 45312 (2)在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C) 51351363asin B21 ＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝. 65sin A1321 答案 (1)C (2) 13 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移) 【例2】 (经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B - 4 - 2 2 2 2 2 ＝asin A，则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定 2 解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sinA， ∴sin(B＋C)＝sinA，即sin(π－A)＝sinA，sin A＝sinA. π ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝. 2答案 B 【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 2 2 2 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析 法一 由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π 2ac答案 B 【迁移探究2】 将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 解析 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13， ∴a∶b∶c＝5∶11∶13， 故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得 a2＋b2－c225k2＋121k2－169k223 cos C＝＝＝－<0， 22ab2×5×11k110 π又∵C∈(0，π)，∴C∈，π，∴△ABC为钝角三角形. 2 答案 C 【迁移探究3】 将本例条件变为“若a＋b－c＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，试确定△ABC的形状. 解 法一 利用边的关系来判断： sin Cc由正弦定理得＝， sin Bb2 2 2 - 5 - sin Cc由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝. 2sin B2bb2＋c2－a2 又由余弦定理得cos A＝， 2bccb2＋c2－a2∴＝， 2b2bc即c＝b＋c－a，所以a＝b，所以a＝b. 又∵a＋b－c＝ab.∴2b－c＝b，所以b＝c， ∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形. 法二 利用角的关系来判断： ∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)， 又∵2cos Asin B＝sin C， ∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin(A－B)＝0， 又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B. 又由a＋b－c＝ab， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2＋b2－c2ab1由余弦定理，得cos C＝＝＝， 2ab2ab2 又0° (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 考点三 和三角形面积有关的问题 【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝7，△ABC的面积为 33 ，求△ABC的周长. 2 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin B·cos A)＝sin C，2cos Csin(A＋ B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C.由C∈(0，π)知sin C≠0， 1π 可得cos C＝，所以C＝. 23 133π22 (2)由已知，absin C＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a＋b－2abcos C223 - 6 - ＝7，故a＋b＝13，从而(a＋b)＝25.所以△ABC的周长为5＋7. 规律方法 三角形面积公式的应用原则 111 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公 222式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练2】 (2017·日照模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a－b)cos 222 C－ccos B＝0. (1)求角C的值； (2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积. 解 (1)根据正弦定理，(2a－b)cos C－ccos B＝0可化为(2sin A－sin B)cos C－sin Ccos B＝0. 整理得2sin Acos C＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A. 1 ∵0 1 (2)由(1)知cos C＝，又a＋b＝13，c＝7， 2 ∴由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝(a＋b)－3ab＝169－3ab＝49， 解得ab＝40. 11π ∴S△ABC＝absin C＝×40×sin＝103. 223 2 2 2 2 [思想方法] ABCπ 1.应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱 2222 导公式可以减少角的种数. 2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要化到只含角或只含边. [易错防范] 1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解). 2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制. - 7 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容