一、单选题
1.设集合
，
，则（ ） D.
A. A⫋ B. ⫋A C. 2.设复数
（i是虚数单位），则复数
在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 5种 D. 4种 4.在
中，
，点D在
上，
，
，则
（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 5.已知函数 A. B. C. D.
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递增，则（ ）.
6.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（ ）
A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大 C. 甲的环数的众数比乙的大 D. 甲打靶的成绩比乙的更稳定 7.“
”是“
，
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知抛物线 心的圆与直线 A.
的焦点为F，点
交于E，G两点，若
C.
是抛物线C上一点，以点M为圆
，则抛物线C的方程是（ ）
D.
B.
二、多选题
9.若 A. 10.若方程
，
，则下列表达正确的是（ ）
B.
C.
D.
所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若1＜t＜5，则C为椭圆 B. 若t＜1．则C为双曲线
C. 若C为双曲线，则焦距为4 D. 若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5 11.已知函数 A.
在
B.
， D.
上是减函数，则下列表述正确的是（ ） 的单调递减区间为 的最小正周期为
，
为上底面
上的动，
C. a的最大值是 12.已知正四棱柱 A. 若 B. 若 C. 若 D. 若
的底面边长为2，侧棱 点有且只有一个
点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
，则满足条件的 ，则点 ∥平面 ∥平面
的轨迹是一段圆弧 ，则 ，且
长的最小值为2
，则平面
截正四棱柱
的外接球所得
平面图形的面积为 三、填空题
13.已知各项均为正数的等比数列 14.已知函数 a= ． 15.若函数 16.如图，在
，四边形
终与 时，点
切于线段 到直线
中，
的前3项和为7，且
处的切线与直线
，则 ． 平行，则实数
的图象在点
恰有 个零点，则 的取值范围为 ．
，点
为
的中点，点 ，在平面
为线段
垂直平分线上的一点，且 ，使得
的内切圆始取得最小值
为矩形，固定边 的中点，且
内移动顶点
在直线 的同侧，在移动过程中，当
的距离为 ．
四、解答题
17.设正项等比数列 （1）求数列 （2）若 18.已知在 （1）求角 （2）若
中，角 的大小； ，
为
的中点，
的面积为
，求
的长.
， 的前n项和为
，已知
，且
．
的通项公式；
，求数列 ，
的前n项和
．
.
的对边分别为 ， ， ，且
19.某公司每五年需淘汰一批旧机器并购买一批新机器，购买新机器的同时，也要购买易损零件．每台新机器随机器购买第一个易损零件花费1500元，优惠0元；每多买一个易损零件都要在原优惠基础上多优惠100元，即购买第一个易损零件没有优惠，第二个易损零件优惠100元，第三个易损零件优惠200元，……，依此类推，每台新机器最多可随新机购买8个易损零件．平时购买易损零件按零售价每个2000元买入．根据以往的记录，十台机器正常工作五年内使用的易损零件数如表： 使用易损零件数 6 7 8 机器台数 3 5 2 以这十台机器使用易损零件数的频率代替一台机器使用易损零件数发生的概率，假设每台机器使用易损零件的个数是相互独立的，记X表示两台机器五年内使用的易损零件数． （1）求X的分布列；
（2）若在购买两台新机器时，每台机器随机器购买7个易损零件，求这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望． 20.如图，在三棱柱
，
中，点E，F分别在棱 平面
．
，
上（均异于端点），
，
（1）求证：四边形 （2）若
，
是矩形；
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
21.已知椭圆T：
，
．
经过以下四个不同点中的某三个点： ， ，
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的 分别为
，
，点F是直线
倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标
，
分别交椭圆E于G，H
上的一个动点，且直线
（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线 点，请说明理由． 22.已知函数 （1）求函数 （2）设函数
．
的极值；
，若存在区间
是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定
，使得函数 在 上的值域为
，求实数k的最大值．
答案解析部分
一、单选题 1.【答案】 B
【解析】【解答】解：对于集合A，当 当 B⫋A， 故答案为：B．
【分析】根据题意对n分情况讨论，即可求出集合中的元素，然后由集合之间的关系即可得出答案。 2.【答案】 A
【解析】【解答】解：因为复数 所以
，则
，
，
时，
， ,所以
时，
或
，
，所以
，
故复数 故答案为：A
【分析】首先由复数代数形式的运算性质，整理再结合复数的几何意义即可得出答案。 3.【答案】 A
【解析】【解答】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有 从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有 故答案为：A
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理结合已知条件计算出结果即可。 4.【答案】 C 【解析】【解答】在 所以 所以
故答案为：C．
【分析】根据题意由向量加减法，以及数量积的运算性质计算出结果即可。
中，因为
，
，
.
种排法；第二步，
种排法.
在复平面内对应的点为
，在第一象限．
种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有
5.【答案】 C 【解析】【解答】∵ ∴ 又∵ ∴
故答案为：C.
【分析】 根据题意，由函数的奇偶性可得
，结合函数的单调性分析可得答案.
6.【答案】 C
【解析】【解答】甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5，中位数为8，众数为8； 乙：4,6,8,7,10,10，平均数为7.5，中位数7.5，众数为10； 所以可知错误的是C。 故答案为：C。
【分析】根据频率分布折线图，分布求出甲和乙的平均数，众数，中位数即可. 7.【答案】 B 【解析】【解答】令 则 当 故当 故“ 故“
”是“ 时， 时，
，
， ， ，当
取最小值2，
”⇔“
”
”的必要不充分条件， 时，
，
，
，
，又由
，∴ ，
，
，
定义在
上的偶函数，
，
，
故答案为：B
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最小值，结合已知条件以及对数函数的单调性，由充分和必要条件的定义即可得出答案。 8.【答案】 B
【解析】【解答】如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则
由抛物线定义知： ∵ 解得： 故答案为：B
，∴
,即
①
故抛物线的方程为：
②①②联立解得：
【分析】根据题意作出图象，由已知条件做出辅助线把点的再把代入到抛物线的方程，整理得到
， 再由抛物线的定义整理得出， 由此联立即可得出二、多选题 9.【答案】 A,B 【解析】【解答】解：∵ 又∵ 即 ∵幂函数 ∵指数函数
，∴
，∴函数
，∴
在
上单调递减， ，
， 利用三角形的几何计算关系，代入数值计算出
， 由此得出抛物线的方程。
，所以A符合题意，B符合题意， 在
上单调递增，且
，
，∴
，所以C不符合题意，
在R上单调递减，且
，所以D不符合题意， ∴
故答案为：AB．
【分析】由对数函数的单调性即可得出选项A正确、B正确；由幂函数和指数函数的单调性即可判断出选项C和D错误，由此得出答案。 10.【答案】 B,D
【解析】【解答】由题意，若方程
，
对于A中，当 当方程
所以D项正确； 对于B中，当 对于C中，当 故答案为：BD.
时， 时，方程
，此时表示焦点在 轴上的双曲线，所以是正确的； ，此时双曲线的焦距为
，所以不正确.
时，此时方程
表示圆，所以不正确；
，解得
，
表示椭圆，则满足
，解得
或
表示焦点在 轴上椭圆，则满足
【分析】根据题意由椭圆、双曲线方程的性质以及简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。 11.【答案】 A,B,C,D 【解析】【解答】解：∵函数
，∴
故 在 符合题意
故答案为：ABCD．
【分析】首先由两角和的有余弦公式整理得出函数的解析式，然后由余弦函数的单调性结合角的取值范围由此得出函数的最值，再由余弦函数的周期公式求出最小周期，结合余弦函数的单调性利用整体思想即可得出函数的单调性以及单调区间，由此对选项逐一判断即可得出答案。 12.【答案】 A,B,D 【解析】【解答】如图：
的最小值为
，∴
，a的最大值是
，
，
，
的最小正周期为
，A、C、D符合题意； ，函数
单调递减，所以B
在
上是减函数，
∵正四棱柱 ∴ ∴ ∵ 连接
，
， ，可得平面 ，又侧棱
的底面边长为2， ， ，则
与 ，则
平面 重合时
，即点
，此时
点唯一，A符合题意；
的轨迹是一段圆弧，B符合题意； 为
中点时，DP有最小值为
，则当
，C不符合题意；
由C知，平面
即为平面
，平面
截正四棱柱 ，面积为
，D符合题意．
的外接球所得平面
图形为外接球的大圆，其半径为 故答案为：ABD．
【分析】若
，即点 截正四棱柱 三、填空题 13.【答案】 32
，由于 与 重合时
为
，此时 点唯一； ，则 ，可判断C；平面
，可得D.
的轨迹是一段圆弧；当 中点时，DP有最小值为
的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为
【解析】【解答】根据题意，设等比数列 若 变形可得 又由 故
故答案为：32．
， ，即
，又由 ，则
的公比为q，
，
， ，则
，
，则有 ，解得
【分析】首先由等比数列的通项公式整理化简n项和公式，代入数值计算出结果即可。 14.【答案】
，得
， 由此计算出q的值，然后由等比数列的前
【解析】【解答】解：由 ∴ ∵函数 ∴
，即
．
． ，
的图象在点
，
处的切线与直线 平行，
故答案为：
【分析】 首先对函数求导，再把点的坐标代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，再由直线平行的系数之间的关系计算出a的值即可。 15.【答案】 【解析】【解答】设 所以 又
的极大值为
，极小值为
，则
.
.
，故作出函数的图象，如图所示.
所以
.
【分析】首先对函数求导，结合导函数以及二次函数的性质即可求出函数g(x)的极值，由此作出分段函数的图象，利用数形结合法结合零点的定义即可得出答案。 16.【答案】
【解析】【解答】设内切圆分别与AC,BC切于点F,G，BE的中点为H，则
，所以
.
∴点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上．
以AB所在的直线为x轴，以ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(2,0)，D(0,3)，易得 ∵ 值． 将直线
的方程
,所以当 与
，故点C在双曲线 的右支上．
取得最小
，解得
，即点C到AH的距
三点共线时，且C在线段BD上时， 联立消去y整理得
取得最小值时点C的横坐标为
．结合图形可得
离为 答案：
．
【分析】根据题意由已知条件结合双曲线的定义即可得出，点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上，由此作出图象，利用数形结合法即可得出当
三点共线时，且C在线段BD上时，
取得最
小值，联立直线与双曲线的方程求的取得最小值时点C的横坐标，由此即可得出答案。
四、解答题
17.【答案】 （1）解：正项等比数列 设首项为 则： 解得： 故：
（2）根据（1）的结论，则 所以
，
.
【解析】【分析】(1)由等比数列的通项公式整理已知条件由此计算出数列的首项，由此得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论整理即可得出数列
18.【答案】 （1）因为 所以 又 所以 因为 所以 因为 所以
（2）因为 所以 由余弦定理 可得
， ，
，可得
，
，
，
的面积为
，
. ， ，
，即
，
，
，
，可得：
，
，
的通项公式，由裂项相消法计算出结果即可。
，
，
；
， ，公比为q，
的前n项和为S，已知
，且
．
因为 ，可得：
，解得
，
可得 的长为 .
， 由角的取值范围即
【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理和两角和的正弦公式整理得出可求出角A的大小。
(2)由已知条件结合三角形的面积公式，代入数值计算出
， 再由余弦定理代入整理得到
， 然后由向量模以及数量积的运算性质整理即可得出答案。
19.【答案】 （1）记X表示两台机器五年内使用的易损零件数， 则X的可能取值为12，13，14，15，16，
，
，
，
，
，
∴X的分布列为： X 12 P 13 0.3 14 0.37 15 0.2 16 0.04 0.09
（2）在购买两台新机器时，每台机器随机器购买7个易损零件， 所需费用为：
（元），
∴这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望为：
（元）.
(1)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的【解析】【分析】分布列。
(2)由已知条件把数值，代入到函数的解析式以及期望公式计算出结果即可。 20.【答案】 （1）证明：因为三棱柱 因为 又因为 所以 所以 因为 因为 故四边形
平面 ，
，所以 平面
，所以 ，因为 ，所以
，所以四边形 平面
且
， 为平行四边形， 平面
，所以
，
平面
， ，
，且 ，
，
，
，所以
，
元，
是矩形；
（2）取
的中点G，连结
，由（1）可知，
，
因为 因为平面 取
平面
平面
且 平面
，且 分别为 且
，
，所以平面 平面
，所以
平面
平面
，
，
的中点H，
以G为坐标原点， 在 所以 则 所以 设平面
中，因为
轴正方向建立空间直角坐标系如图所示， ，
为等边三角形，所以 ，
，
的一个法向量为
，
，
则有 ，即 ，
令 ，则 ，所以 的一个法向量为
，
，
因为平面 所以
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，
【解析】【分析】(1)由三棱柱的几何性质结合线面垂直的性质定理和判定定理，即可得出线面垂直，由此即可得出线线垂直，然后由三角形全等以及三角形中的几何计算关系，即可得出边之间的关系，再平行的传递性即可得出
， 由此得证出结论。
(2)根据题意由线面垂直的性质定理和判定定理即可得出线线垂直，建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面
法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABC的法向量的坐标，同理
即可求出平面面
与平面
的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平所成锐二面角的余弦值 。
①，
21.【答案】 （1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即 若B在椭圆上，则 由①②可得
所以D在椭圆上，可得 由①③可得
，
， ； ②，
，不存在，
③，
所以椭圆的方程为：
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的
，由题意可得 所以
，
， ， ，
的方程为：
，直线 ， ，
，
倍，横坐标不变，设E上的点为： ，对应的点
所以E的方程 设
， ，
所以直线
的方程 ，
联立直线 与椭圆的方程 整理可得 ，所以 ，
，即 ，
联立直线NF与椭圆的方程： 整理可得 ，所以 ，
即 ，
所以直线 的斜率为： ，
所以直线 整理可得
的方程为：
，当
，
.
，
所以直线 恒过定点 ．
【解析】【分析】(1)由已知条件把点的坐标代入到椭圆的方程，整理即可得到a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)首先由函数平移的性质整理得出点E的方程，设出点的坐标再由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合斜率的坐标公式代入整理得到点。
22.【答案】 （1）解：函数 则 令 当 当 所以当 （2）故 故 所以 所以函数 已知函数 所以 令 则 方程 令 则 令
在
可化为
，
，且 ，
在
在 在
， ，所以 ，即 上单调递增， 上的值域为 上的值域为
， ，
存在两个不同的实数根，
， ，
，
， ，
，
在
， ，则
上单调递增，
，
，解得 时， 时，
时，函数
， ， ，故 ，故
单调递减， 单调递增，
，无极大值； ，定义域为
，
， 利用直线的性质即可求出直线过的定
取得极小值
则 所以函数 所以当 当 所以当 又
时，
时， 在 时，
，故
上单调递增， ，故
单调递减，
单调递增，
， 时，
，
取得极小值即最小值
，当
所以当 时，函数
.
与 的图像有两个交点，
所以实数k的取值范围为 所以实数k的最大值为
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合极值的定义即可得出打啊按。
(2)根据题意由已知条件整理得到函数的解析式，然后由导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，结合已知条件即可得出
， 构造函数
， 利用导函数的性质即可得出该函数的单调性，由函数的单调性即可求
出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可得出 当
与
的图像有两个交点 ，从而得出答案。
时，函数
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