2020-2021学年天津市高三一模数学(理)试题及答案解析

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第 Ⅰ 卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么

P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A)•P(B)．

·棱柱的体积公式V柱体=Sh， ·球的体积公式V球=

43R3，

其中S表示棱柱的底面积， 其中R表示球的半径．

h表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）i是虚数单位，复数

52i=（ ）． 25i（A）–i （B）i （C）–

2120410–i （D）–+i 29292121xy40，（2）已知实数x，y满足约束条件xy0，，则目标函数z=x–2y的最小值是（ ）．

y4（A）0 （C）–8

（B）–6 （D）–12

（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x(A∩B)， 条件q：x(A∪B)，则p是q的（ ）．

（A）充分不必要条件

（B）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

2

（C）必要不充分条件

2

2

（4）已知双曲线ax–by=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–3y=0，它的一个焦点在抛物线y=–4x的准线上，则双曲线的方程为（ ）．

（A）4x–12y=1 （B）4x–

2

2

2

42

y=1 3（C）12x–4y=1 （D）

2

22

422

x–4y=1 3（5）函数y=log0.4(–x+3x+4)的值域是（ ）．

（A）(0，–2]

（B）[–2，+∞)

（C）(–∞，–2] （D）[2，+∞)

（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三 视图，则此棱锥的体积为（ ）．

（A）

84 （B） 33（C）43 （D）23

（7）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=a+bc，A=

2

2

，则内角C=（ ）． 6（A）

 （B） 6433 （D）或 444（C）

（8）已知函数f(x)=|mx|–|x–n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数

m的取值范围为（ ）．

（A）3＜m＜6 （B）1＜m＜3 （C）0＜m＜1 （D）–1＜m＜0

答 题 纸（理工类）

题 号 得 分 二 三 (15) (16) (17) (18) (19) (20) 总分 第 Ⅱ 卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分． 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请

将答案填在题中横线上。

图中从左到右的则抽取的学生人

（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，数为 ． （10）已知a＞0，(x–

a6

)的二项展开式中，常数项等于60，2x则(x–

a6

)的展2x开式中各项系数和为 （用数字作答）．

（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= ． （12）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：

x2cos，（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极y22sin，3cos

坐标方程为：

–sin=0，则圆C截直线l所得弦长为 ．

BAPCOD（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD

经过圆心

O．已知PA=AB=26，PO=8．则BD的长为 ．

（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，

且

AD=AB，AE= AC．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重

心，则OF•CF= ．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人 （15）（本小题满分13分）

设函数f(x)=cos(2x+

22

)+2cosx，x∈R． 3 （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间； （Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移最小值．

个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的

23得 分 评卷人 （16）（本小题满分13分）

将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球． （Ⅰ）求编号为1， 2的小球同时放到A盒的概率； （Ⅱ）设随机变量

为放入A盒的小球的个数，求

的分布列与数学期望．

得 分 评卷人 （17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，

PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC； （Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为

6，求直线 PA与平面EAC所成角的正弦值．

3

得 分 评卷人 （18）（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆C：221（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点

abO到直线FA的距离为

2b． 2（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

得 分 评卷人 （19）（本小题满分14分）

*

*

设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn； （Ⅲ）证明：对任意n∈N且n≥2，有*

1113++…+＜．

a2b2a3b3anbn2

得 分 评卷人 （20）（本小题满分14分）

已知函数f(x)=

ax2

，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)y–e=0． xbe1其中e =2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）如果当x≠0时，f(2x)＜

1k，求实数k的取值范围． ex

数学试卷（理工类）参考答案

一、选择题：

题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 A C C D B A B B 二、填空题： （9）60； （10）1； （11）2500； （12）23； （13）26； （14）0 三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

得g(x)=cos(2(x–

3)+3)+1=cos(2x–3)+1． …………10分 因为0≤x≤2， 所以–23≤2x–3≤3，

所以–

12≤cos(2x–3)≤1， …………12分 因此12≤cos(2x–3)+1≤2，即f(x)的取值范围为[12，2]． …………13分

（16）解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，

Ⅱ）由（Ⅰ）

（21A2P=23=． …………4分 C4A318（Ⅱ）

=1，2， ………… 5分

122C4C3A22P(=1)==， 233C4A322C4A1P(=2)=22=， 3C4A33所以的分布列为

1 2 P 2 31 3

…………11分

的数学期望E(

（17）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2． ∴AC+BC=AB，∴AC⊥BC．

2

2

2

)=1×

142+2×=． …………13分

333又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC． ∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC． …………5分 （Ⅱ）如图，以点C为原点，DA，CD，CP分别为x正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，

设P(0，0，2a)（a＞0），则E(1，–1，a)，CA=(2，2，

轴、y轴、z轴

B(2，–2，0)． 0)，CP＝(0，

0，2a)，CE=(1，–1，a)．

取m=(1，–1，0)，则m·CA=m·CP=0，m为面PAC的法向量． 设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·CA=n·CE=0， 即xy0，，取x=a，y=–a，z=–2，则n=(a，–a，–2)，

xyaz0依题意，|cos|=|mn|=a=

6，则a=2． …………10分 |m||n|a223于是n=(2，–2，–2)，PA=(2，2，–4)． 设直线PA与平面EAC所成角为，

则sin

=|cos|=|PAn||PA||n|=

23， 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23．

18）解：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=

22ab， ∴椭圆C的离心率e=

ca=22． b=2，由（Ⅰ）得a=22，∴椭圆方程为x2y2841．联立方程组x22y28，kx4

y化简得：(2k2

+1)x2

+16kx+24=0，

由△=32(2k2

–3)＞0，解得：k2

＞

32 由韦达定理得：x16kM+xN=

2k21 …①，x24MxN=2k21 …② 设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，

MB方程为：y=kxM6xx–2，……③ MNA方程为：y=

kxN2xx+2，……④ N由③④解得：y=

2(kxMxNxM3xN)3x NxM=

2(24k2k2116k2k212x8kN)=2(2k22xN)4x16k116k=1

N2k214xN2k21 …………13分…………3分 …………5分 …………7分 …………9分 …………11分

（ （Ⅱ）若 即yG=1，

∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上． …………13分

（19）解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3–． ………… 2分

n1

∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1． ………… 3分 ∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1， ∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2–． …………5分

n1

（Ⅱ）cn=bn•log3an=2–log33–=(n–1)2–， ………… 6分

n1

n1

n1

Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……① 2Tn= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1)2n ……②

①–②得：–Tn=0•2+2+2+2+……+2––(n–1)2

0

1

2

3

n1

n

=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n

n

∴Tn=(n–2)2+2． ………… 10分 （Ⅲ）

11111=n1==≤

anbn32n133n22n13n22(3n22n2)3n2111++…+

a2b2a3b3anbn11()n11113＜0+1+…+n2=

133313=

133(1–n1)＜． …………14分 223a(bex1bxex)（20）解：（Ⅰ）f(x)=， ………1分

(bex1)2由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)y–e=0，

2

知1+(e–1) f(1)–e=0，即f(1)=

2

1a=， be1e1f(1)=

a(be1be)a1==–． ………3分

(be1)2(e1)2(be1)2解得a=b=1． ………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=所以f(2x)＜

x， xe11k2x1k2x1k＜–＜0 x2xx2xxee1ee1e

1x1k2x

[xe–(e–1)]＜0． ………7分 2xe12令函数g(x)=xe–

x

x

x

1k2x

(e–1)（x∈R）， 22x

x

x

则g(x)=e+xe–(1–k)e=e(1+x–(1–k)e)． ………8分 （ⅰ）设k≤0，当x≠0时，g(x)＜0，∴g(x)在R单调递减．而g(0)=0，

故当x∈(–∞，0)时，g(x)＞0，可得当x∈(0，+∞)时，g(x)＜0，可得从而x≠0时，f(2x)＜

1g(x)＜0；

e2x11g(x)＜0，

e2x11k． ex（ⅱ）设k≥1，存在x0＜0，当x∈(x0，+∞)时，g(x)＞0，g(x)在(x0，+∞)单调递增．