白云区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

白云区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________

一、选择题

1． 已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=（ A．

）B．

C．

D．

；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=

姓名__________ 分数__________

2． 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（

）

A．20种B．22种C．24种D．36种　

3． 下列函数中，为偶函数的是（ A．y=x+1

B．y=

）

C．y=x4

）

）

D．y=x5

4． 设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（ A．{1，2}

B．{﹣1，4}

C．{﹣1，2}

D．{2，4}

5． 阅读如右图所示的程序框图，若输入a0.45，则输出的k值是（ （A） 3 （C） 5

（ B ） 4

（D） 6）

C．

）

D．

6． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ A．7． “

B．

”是“A=30°”的（

A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件C．充分必要条件　　　

D．既不充分也必要条件

8． 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若

PBQPBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（ ）

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A.直线 B.圆 C.双曲线

2 D.抛物线

2【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.

3x4y110与圆C：3x4y40上任意(x2)y4交于A、B两点，P为直线n：9． 已知直线m：一点，则PAB的面积为（ A．23 B.

）

C. 33 ）

D. 4333 2D．y=﹣2

10．抛物线y=﹣8x2的准线方程是（ A．y=

B．y=2C．x=

11．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ A．100B．150C．200D．250

12．已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（ A．

）B．﹣

C．4

D．

）

二、填空题

13．下列命题：

①终边在y轴上的角的集合是{a|a=

，k∈Z}；

②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；③把函数y=3sin（2x+④函数y=sin（x﹣

）的图象向右平移

个单位长度得到y=3sin2x的图象；

）在[0，π]上是减函数

其中真命题的序号是　　　　　　．　

14．若复数zsin34(cos)i是纯虚数，则tan的值为 55第 2 页，共 17 页

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【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．

x2y215．设某双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为

2736.(15,4)，则此双曲线的标准方程是 16．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为　　　　　　．　

17．已知过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且

ABBCCA2，则

球表面积是_________.

18．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少　　　　　　cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）

三、解答题

19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为正方形，CF平面

ABCD，BG平面ABCD，且AB2BG4BH．

（1）求证：平面AGH平面EFG；（2）求二面角DFGE的大小的余弦值．

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20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．

（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．　

21．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且2Sn=an+1+2n．（1）求a2；

（2）求数列{an}的通项公式an；

（3）令bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．　

22．本小题满分12分 设函数f(x)ealnxⅠ讨论f(x)的导函数f'(x)零点个数;Ⅱ证明:当a0时,f(x)2aalnax第 4 页，共 17 页

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23．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．

24．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个）加工的时间y（小时）

22.5

33

44

54.5

（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？

参考公式：回归直线=bx+a，其中b==，a=﹣b．

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白云区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）且3+log23＞4

∴f（2+log23）=f（3+log23）=

故选A．　

2． 【答案】C

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有共有

=12种推荐方法；=12种推荐方法；

②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，故共有12+12=24种推荐方法；故选：C．　

3． 【答案】C

【解析】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数，对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，

对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，故选：C．

【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．　

4． 【答案】A

【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．故选：A．

【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．　

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5． 【答案】 D.

【解析】该程序框图计算的是数列前n项和，其中数列通项为an12n12n1Sn911111S0.45nn最小值为5时满足1n213352n12n122n1Sn0.45，由程序框图可得k值是6． 故选D．

6． 【答案】D

【解析】解：设F2为椭圆的右焦点

由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=故选D．

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．

7． 【答案】B

【解析】解：“A=30°”⇒“故选B

【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．　

8． 【答案】C.

【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足PBD1PBX的所有点X在以BP为轴线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C.9． 【答案】 C

【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.

圆心C到直线m的距离d1，|AB|2rd23，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB22．

，所以e=．

”，反之不成立．

的面积为

1|AB|d33，选C．210．【答案】A

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【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=故选：A．

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．　

11．【答案】A

【解析】解：分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×故选：A．　

12．【答案】B

【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），∵x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1∴f（log3）═﹣故选：B　

=100．

=

，

，

二、填空题

13．【答案】　③　．

【解析】解：①、终边在y轴上的角的集合是{a|a=②、设f（x）=sinx﹣x，其导函数y′=cosx﹣1≤0，∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0，∴f（x）=sinx﹣x图象与轴只有一个交点．

∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故②错误；③、由题意得，y=3sin[2（x﹣④、由y=sin（x﹣

）+

]=3sin2x，故③正确；

，k∈Z}，故①错误；

）=﹣cosx得，在[0，π]上是增函数，故④错误．

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故答案为：③．

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．　

14．【答案】3434430，且cos0，所以cos，则tan.5554【解析】由题意知siny2x215．【答案】145【解析】

x2y2试题分析：由题意可知椭圆1的焦点在y轴上，且c236279，故焦点坐标为0,3由双曲

2736线的定义可得2a150432215043224,故a2，b2945，故所求双

y2x2y2x2曲线的标准方程为1．故答案为：1．

4545考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．16．【答案】　

【解析】解：由题意画出几何体的图形如图

由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=在RT△SHO中，OH=

OC=

OS

CH=

．

　．

∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=故答案是

Sh=．

×

×22×1=

．

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【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．　

17．【答案】【解析】111]

649考点：球的体积和表面积.

【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.18．【答案】　10　cm

【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B=故答案为：10．

=10cm．

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【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．

∵GH平面AGH，∴平面AGH平面EFG．……………………………5分

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20．【答案】

【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．…当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣2x﹣1=﹣

令f′（x）=0，解得x=．…

当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．

．

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所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．…（2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，所以k=F′（x0）=

≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…

所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]…

当x0=2时，﹣x02+x0取得最大值0．所以a≥0．…（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，

因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解．∴m=1+

，…

，则g′（x）=

．…

g′（x）＜0，得x＞e，

设g（x）=1+

令g′（x）＞0，得0＜x＜e；

∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，…1 0分∴g（1）=1，g（e2）=1+所以m=1+，或1≤m＜1+　

21．【答案】

【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，∴a2=4…1；

（2）当n≥2时，2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1+2n﹣an﹣2（n﹣1）=an+1﹣an+2，∴an+1=3an﹣2，∴an+1﹣1=3（an﹣1）…4，∴

，

=1+．…

，g（e）=1+，…

∴{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，∵

，

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∴∴（3）∴∴∴

①﹣②得：=

=（2﹣2n）×3n﹣4，…11∴

力，属于中档题．22．【答案】

，；

…8

①…9②

，

，

…12

【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能

【解析】：Ⅰf'(x)exa，因为定义域为(0,)， xaxxx有解 即xea有解. 令h(x)xe，h'(x)e(x1)，x当x0,h'(x)0,h(0)0h(x)0f'(x)0ex所以，当a0时，f'(x)0,无零点； 当a0时，有唯一零点.Ⅱ由Ⅰ可知，当a0时，设f'(x)在(0,)上唯一零点为x0，当x(x0,),f'(x)0，f(x)在(x0,)为增函数；

aex0x0ax0aaaaf(x0)ex0alnx0alnx0a(lnax0)ax0alna2aalnax0ex0x0当x(0,x0)，f'(x)0,f(x)在(0,x0)为减函数.ex023．【答案】

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：

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当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1=2则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；

当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，

由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），

在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，

∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．

【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题．　

24．【答案】

【解析】解：（1）作出散点图如下：

，，

…（3分）

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（2）=（2+3+4+5）=3.5， =（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）

=54，

∴b=

xiyi=52.5

=0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，

∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分）

（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）

【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．　

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