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点的三面投影
一，投影的形成
zVa'AazWa\"ayxax xHaoy设空间点A放置于三个相互垂直的H,V，W面投影体系中，分别 用三组光线进行投影，在H面得到a,在V面得到a’，在W面得到a”
Va'zaza\"Va'zaza\"WxaXaoHaYayxyWaXOaYyWaYayHHyH 图2—1(b） 图2-1(c） 2 投影的展开
将空间点A移走,把三个投影面按前述方法展开，如图2—1（b)所示，再去掉边框，保留投影轴,如图2—1（c）所示
3 点的标注
在，点的投影中规定：凡是空间点用大写字母表示，如A,B,C等,若空间点为A,经过投影后，在H面为a,在V面为a’ ,在W面为a” 4点的投影规律
(1）两点的连线垂直于投影轴， 1、aa’⊥ox; （长对正) 2、a’a’’⊥oz; （高平齐） 3、aax=a\"az. (宽相等)
(2）点到投影轴的距离分别等于空间点到相应投影面的距离,即a’ax=Aa=空间A点至H面的距离:a ax=Aa'=空间A点至V面的距离
思考题,已知道A的两面投影a’ ， a，求点A的侧面投影a” 二 点的相应位子
空间两点的相对位置可利用在投影图中各同面投影来判断
za'b'a\"b\"xaboyWyH
在三面投影中规定：0X轴向左，OY轴向前,OZ轴向上为三条轴的正方向. 判断A,B两点的相对位置。
如图所示，从V,H面投影看出，空间A点在B点的左方:从H，W面可看出A点在B点的后面：从V,W面可看出A点在B点的上方。最后可归纳为：空间A点在B点的左,后，上方；B点在A点的右，前,下方 三，重影点及可见性
当空间两点位于同一条投射线上，则该两点在相应投影面上重叠，重叠的两点称为重影点。
如图所示，当A,B两点在H面同一条投射线上，A点在B点的上方,它们在H面投影重合为一点，A点为可见点，B点为不可见点，在投影图中规定,重影点中不可见点的投影用字母加括号表示
zVa'Ab'a\"WBHa(b)xob\"y
za'a\"b'b\"XyWa(b)yH
第二节 直线的投影
一，直线的投影
当直线平行于投影面时，其投影与直线本身平行且等长,当直线垂直于投影面时,其投影积聚为一点：当直线倾斜于投影面时，其投影为一直线,但其投影线段比空间线段缩短。
二，直线对投影面的相对位置
根据直线对投影面的相对位置不同，可分为三种情况；与三投影面都倾斜的直线,与任何一投影面平行或垂直的直线（分别称为投影面平行线和投影面垂直线）。前一种称为一般位置直线，后两种称为特殊位置直线。 （一）一般位置直线
空间直线倾斜于三个投影面，在三个投影面上既不能反映实体,也不能反映直线对投影面的真实夹角,称为一般位置直线
b'b\"a'xbaoa\"yb\"b'a'a\"xboyay(二)投影面平行线
空间直线平行于一个投影面,倾斜于其他两个投影面，称为投影面平行线，投影面平行线可分为三种,
投影特性;在所平行的投影面上的投影反映实长,在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，但其投影长度缩短
判别；一斜两直线,定是平行线，斜线在哪面,平行哪个面（投影面) 1 水平线。直线平行于H面，倾斜于V，W面 2 正平线，直线平行于V面，倾斜于H，W面 3侧平线。直线平行于W面，倾斜于V，H面 下面以水平线为例，说明其投影特征
a 直线CD平行于H面,在H面投影cd反映实长，以及对V面夹角,对W面得夹角
b 直线CD倾斜于V ， W面,在V面投影c’d’，在W面的投影c”d”为水平方向线,其投影长度缩短。 （三）投影面垂直线
空间直线垂直于一个投影面，平行于其他两个投影面，称为投影面垂直线,投影面垂直线分为三种
1 铅垂直：直线垂直于H面,平行于V，W面 2 正垂直：直线垂直于V面，平行于H，W面 3 侧垂直：直线垂直于W面，平行于V，H面
投影特性； 在所垂直的投影面上的投影积聚成一点,在另外两个投影面上的投影都反映线段实长，且平行于相应的投影轴
判别： 一点两直线，定是垂直线,点在哪面，垂直哪个面（投影面)
下面以铅垂线为例，说明其投影特征
a 直线EF垂直于H面，在H面投影ef积聚为一点。
B 直线平行于V ， W面，e’f’,e”f'为铅垂线方向线且反映实长
第三节 平面的投影
一，平面的投影
当平面平行于投影面时,投影仍为一平面，形状，大小与平面一致;当平面垂直于投影面时，投影积聚为一直线；当平面倾斜于投影面时,投影为类似平面形,但不反映实形。
ABabcDCdADADBCBaCdca(b)d(c)b
二,平面与投影面的相对位置
根据平面对投影面的相对位置的不同，可分为三种情况;与三个投影面都倾斜的平面，与任一投影面平行或垂直的平面(分别称为投影面平行面和投影面垂直面）。前一种称为一般位置平面，后一种称
为特殊位置平面。 （一)一般位置平面
空间平面对三个投影面都倾斜,在三个投影面的投影均为类似平面形，既不能反映实形,也不能反映平面对投影的真实夹角,如图; 名 称 空 间 位 置 投 影 图 一般位置平面 投影特点： 三个投影面上的投影都具有类似性，投影仍为平面,但不反映实形。 投影图特点：2个面（不反映实形)，1个斜线。
（二）投影面平行面
平面平行于一个投影面，垂直于其他两个投影面，称为投影面平行面。投影面平行面可分为三种
1,水平面：平面平行于H面，垂直于V ， W面 2，正平面：平面平行于V面，垂直于H ，W面 3,侧平面：平面平行于W面.垂直于H ， V面 下面以水平面为例，说明其投影特征
平面平行于H面，在H面投影反映实形；垂直于V,W面，投影为水平线,分别平行于OX轴，OYw轴.
正平面 水平面 侧平面
投影特点: 在所平行的投影面上投影具有真实性,投影反映实 形：另外两个投影具有积聚性,投影积聚为直线. 投影图特点：1 个面（反映实形），2个直线（分该面所包含的坐标轴）。 （三）投影面垂直面
平面垂直于一个投影面，倾斜于其他两个投影面，称为投影面垂直面。投影面垂直面分为三种：
A 铅垂直：平面垂直于H面，在H面积聚成一直线，在V ， W面投影为类似平面形，但形状缩小.
B 正垂直：平面垂直于V面,在V面积聚成一直线，在H ， W面投影为类似平面形，但形状缩小.
C 侧垂直:平面垂直于W面，在W面积聚成一直线,在 ， W面投影为类似平面形，但形状缩小.
下面以铅垂面为例，说明其投影特征
平面垂直于H面，在H面积聚为直线，与水平线的夹角反映了平面对V面夹角，与垂直线夹角反映了平面对W面夹角。
第三章 基本体的投影
第一节 平面体的投影
一，棱柱的投影
如图，两个三角形平面相互平行,其余各平面都是四边形,并且，每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些平面所围成的基本体称为棱柱，两个互相平行的平面称为底面，其余各面都称为侧面，两侧面的公共边称为侧棱,两底面间的距离称为棱柱的高。当底面为三角形、四边形、五边形等时，所组成的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱 现
以
正
三
棱
柱
为
例
进
行
分
析
a1'C\"(C1\")a'b'(c')b1'(c1')A1AB1Bcabb\"(b\")a\"(a1\")平面BB1C1C为水平面，它在水平面上的投影反映实形，在正立面和侧立面上的投影都分别积聚成为一条平行于OX轴和OY轴的直线。
平面ABC和A1B1C1为侧平面，它们在侧立面上的投影反映实长,并且重影，在正立面和水平面上的投影分别积聚成为平行于OY轴和oz轴的直线.
平面ABB1A1和平面ACC1A1为侧垂面,它们的侧面投影都积聚为一直线,在水平面上的投影是两个矩形，不反映实形,两个矩形并列连接,与水平面BB1C1C重影，在正立面的投影都是矩形，不反映实形,且二者重形.
同样，也可以用直线的投影特点来分析,图中AA1、BB1、CC1和BC、B1C1都是投影面垂直线,它们在与其垂直的投影面上的投影积聚
为一点，在另两个投影上的投影反映实长;图中AB，A1B1和AC，A1C1都是投影面平行线,它们在侧立面上的投影都反映了实长，在另外两个投影面上的投影都比实际长度短。
通过以上分析:作凌柱体（或基本体）的投影，实质上是作点、线、面的投影，为了使图面清晰,投影轴可以省略,但必须注意，作出的投影图必须符合三面投影规律. 二。凌锥的投影
在一个多边形平面与多个有公共顶点的三角形平面所围成的几何体称为棱锥，这个多边形称为棱锥的底面，其余各平面称为棱锥的侧面,相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱,各侧棱的公共点称为棱锥的顶点,顶点到底面的距离称为棱锥的高。根据不同形状的底面，棱锥有三棱锥、四棱锥、和五棱锥等。 现在以正五棱锥为例进行分析
正五棱锥的特点是:底面是正五边形，侧面为五个相同的等腰三角形，通过顶点向底面做垂线（即高），垂足在底面正五边形的中心。 正五棱锥底面,即正五边形ABCDE平行于水平面,在水平面上的投影反映实形,为了作图方便，使底面五边形的DE边平行于正投影面，正五边形的正面投影和侧面投影都积聚为一直线，正五棱锥的五个平面除平面SDE是侧垂面外。其余都是一般位置平面，平面SDE得侧面投影积聚为一直线，正面投影和水平投影分别为三角形，但不反映实形,其余各侧面在三个影面上的投影都为三角形,也不反映实形。 为了方便作图,可以根据五棱锥的特点，在作出底面投影的基础上，先作出顶点S的水平投影，s在abcde的中心，在根据五棱锥的高度作出顶点S的正面投影S’，即可求出侧面投影S”，技术那个顶点S的三面投影分别与底面五边形ABCDE三面投影的各顶点连线，即为棱锥的三面投影，由于平面SAE和平面SCD的正面投影布可见，因此，s’e'和s'd’为虚线,侧面投影s”d”和s”c”与s”e”和s\"a”重合在一起，d”和c\"加括号 三,棱台的投影
用平行于棱锥底面的平面切割棱锥，底面和截面之间的部分称为棱台。棱台体是棱锥体的特例.原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面,其他各平面称为棱台的侧面，相邻侧面的公共边称为棱台的侧棱，上、下底面之间的距离称为棱台的高. 现在以正四棱台为例，进行分析。
ABCD和EFGH分别为两水平面，它们在水平面上的投影分别反
映实形,在正立面和侧立面上的投影分别积聚为直线，侧面ADHE和BCGF均为侧垂面，在侧立面上的投影积聚为一直线，在正立面上的投影时四边形且重合在一起。另两个侧面ABFE和DCGH均为正垂面，在正立面上的投影积聚为一条直线，在侧立面上的投影时四边形,且重合在一起。由于四棱台前 后 左 右对称，中心线用细点线表示。 以上三个例子说明。平面体的投影，实质上就是其各个侧面的投影,而各个侧面的投影实际上是用其各个侧棱投影来表示，侧棱的投影又是其各顶点投影的连线而成. 平面体的投影特点
❖ 平面体的投影，实质上就是点、直线和平面投影的集合。 ❖ 投影图中的线条，可能是直线的投影，也可能是平面的积聚投影。
❖ 投影图中线段的交点，可能是点的投影，也可能是直线的积聚投影。
❖ 当向某投影面作投影时,凡看得见的直线用实线表示，看不见的直线用虚线表示.
❖ 在一般情况下，当平面的所有边线都看得见时，该平面才看得见.
四,平面体投影图的画法
已知四棱柱的底面为等腰梯形，梯形两底面边长为a，b高为h，四棱柱的高为H，四棱柱投影图的画法。 五，平面体上的点和线
1 棱柱体上的点和线
在五棱柱体(双坡屋面建筑）上有M和N两点，其中M点在平面ABCD上，N点在平面EFGH上.ABCD平面是正平面，它在正立面上的投影反映实形,为一矩形线框。在水平面和侧面上的投影是积聚在水平投影和侧面投影的最前端的直线,因此，M点的水平投影和侧面投影都在这两条积聚线上,而正面投影在ABCD正面投影的矩形线框内.平面EFGH为侧垂面，其侧面投影积聚成一直线，水平投影和正面投影均为一矩形，因此，N点的侧面投影应在EFGH侧面投影的积聚线上，水平投影和正面投影分别在矩形线框内，由于EFGH的正面投影不可见，所以N点的正面投影为不可见，加括号。
以上两点所在的平面都具有积聚性，所以在已知点的一面投影， 其余两面的投影时,可利用平面的积聚性求得。
轴测投影图
第一知识节 轴测投影图的基本
一、轴测投影图的形成
根据平行投影的原理，把形体连同三个坐标轴一起投影到一个新的投影面P上所得的单面投影面,成为轴测投影图，简称轴测图。这种投影方法称为轴测投影法，P平面称为轴测投影面，S方向称轴测投影方向。
二、轴测投影图的优缺点和用途
轴测投影图是单面平行投影，也就是在一个投影图上反映了形体的长、宽、高三个方向，因此具有立体感比正投影图强的优点。它的缺点是形体表达不真实.例如,原来平行的空间直角坐标面的矩形，其轴测投影图变成平行四边形,因此度量性差,作图较繁琐.但由于轴测
投影图富于立体感,直观性较强，故常作为辅助图样，用来表达建筑室内的空间分隔及家具布置等,以及建筑结构配体的形状和建筑节点的构件做法,还可用于产品广告，商品交易会上的展览面等。 三、轴间角和轴向伸缩系数 1、轴间角
在轴测投影面P上，三个轴测投影轴O1X1、O1Y1。O1Z1之间的夹角称为轴间角。 2、轴向伸缩系数
在轴测投影图中，轴测投影轴上的单位长度与相应坐标轴上的单位长度之比称为轴向伸缩系数，也称为轴向变形系数、用p.q。R表示.
X轴的轴向伸缩系数 p=O1X1/OX Y轴的轴向伸缩系数 q=O1Y1/OY Z轴的轴向伸缩系数 r=O1Z1/OZ
四、轴测投影图的特性
由于轴测投影图是平行投影,因此轴测投影图同样具有平行投影的各种特性。 1、平行性
空间平行的直线，其轴测投影仍平行,即原来与坐标轴平行的直线,其轴测投影一定平行于相应的轴测投影图。 2、定比性
空间平行的直线，其轴向伸缩系数相等.物体上与坐标轴平行的线段,与其相应的轴测投影轴具有相同的轴向系数。 3、真实性
空间与轴测投影面平行的直线或平面，其轴测投影均反映实长或实形。
五、轴测投影图的分类
1、按投影方向的不同分类
A 正轴测投影,投影方向S垂直于轴测投影面P B 斜轴测投影，投影方向S倾斜于轴测投影面P 2、按轴向伸缩系数的不同分类
A 正(或斜）等测投影，三个轴向伸缩系数相同.即p=q=r B 正（或斜）二测投影,两个轴向伸缩系数相同，即p=q=2r或p=r=2q或q=r=2p。
C 正(或斜）三测投影,三个轴向伸缩系数不同。
建筑工程中经常采用的轴测投影有正等测投影，正面斜二测投影和水平斜等测投影。
第二节 轴测投影图的画法
一、正轴测投影图
（一、)正轴测投影图的轴间角和轴向伸缩系数
正轴测投影是轴测图中最常用的一种,在正轴测投影图中,投影方向S垂直于轴测投影面P,其轴间角与轴向伸缩系数发生变化，这个变化的大小取决于物体与投影面的相对位置。
1、正等轴测投影(简称正等测)的轴间角和轴向伸缩系数。 a.三个轴间角相等,即角X1OY1等于角Y1OZ1等于角Z1OY1等于120°且长度和宽度的两条轴OX1和OY1与水平线成30°
b,轴向伸缩系数相等，p=q=r=0.82，为了作图方便通常采用p=q=r=1 2、正二等轴测投影（正二测)的轴间角和轴向伸缩系数
a.轴间角X1OZ1等于97°10′角Y1OZ1等于角Y1OX1等于131°25
b 轴向伸缩系数p=r=1 q=0。5
正等测图的画法
常用的形体正等测图的画法有坐标法、叠加法、切割法和特征面法 （1）坐标法 沿坐标轴量取形体关键点的坐标值，用以确定形体上各特征值的轴测投影位置，然后将各特征连线，即可得到相应的轴测投影图.坐标法是画正等测图最基本的方法.
例,已知形体的投影图,如下图所示，画其正等测图
1 画出轴测投影轴,通常O1Z1轴的方向是竖直的，而O1X1轴和O1Y1轴的方向是可以互换的，本题的O1X1轴O1Y1轴取法如图6—7（a）所示
2在投影图上确定坐标轴及坐标原点，坐标原点选在上顶面中心,根据水平投影分别沿X轴，Y轴量出几个顶点的坐标长，在轴测投影轴上，确定形体的轴测投影点,从而画出形体的上顶面的正等测图,如图(b）所示
3 从上顶面的六个角点分别向下引铅垂线，并依据V面投影图的Z坐标长,在所引垂线上量取各棱线的实际高度,连接各顶点，即得到底面的正等测图。
（2）叠加法
由几个基本形体组合而成的组合体，可先逐一画出各部分的轴测投影图,然后再将他们叠加在一起，得到组合体轴测投影图,这种画轴测投影图的方法称为叠加法。
【例6—2】作台阶的正等测图。
从图6—8（a)所示台阶的正投影图中可以看出，台阶由右侧拦板和三级踏步组成。作图时,可以先画右侧拦板，而后画再画踏步，具体作图步骤如下。
① 在台阶的三面投影图上引进直角坐标轴［图6-8(a）］。 ② 画出轴测投影轴,并根据拦板的长度、宽度和高度画出一个长方体[图6—8（b）]。
③ 根据拦板前上方斜角的尺寸,在长方体上画出这个斜角，并在拦板的左侧平面上根据踏步的宽度和高度画出踏步右侧端面的轮廓线［图6—8（c）］。
④ 过端画轮廓线的各折点向O1X1轴方向引直线，并根据三级踏步的三个长度尺寸画出三级踏步,完成整个台阶的正等测图［图6—8(d)］。
（3）切割法
当形体被看成由基本形体切割而成时，可先画形体的基本形体,然后再按基本形体被切割的顺序来切掉多余部分,这种画轴测图方法成为切割法.
【例6-3】 已知形体的投影图，如图6—9所示，画其正等测
图
① 利用坐标法，求得一个大长方体的轴测投影图［图6—10（a）］。 ② 在大长方体左前侧棱线上平行于OZ1轴截取高度Z1，求出A点的轴测投影位置，同法得出B点与C点，然后过B、C两点分别作平行于O1X1、O1Y1、O1Z1的平行线，即得切割去一个角后的轴测投影图[图6-10（b）]。
③ 擦去被切割部分及有关的作图辅助线及不可见线,并加粗轮廓线,便得到形体的正等测图[图6-10(c）］。
（4）特征面法
当柱体的某一端面较复杂且能反映柱体的特征形状时。可用坐标法先求出特征端面的正等测图，然后沿坐标轴方向延伸成立体，这种画轴测的方法称为特征画法，主要适用于绘制柱体的轴测图. 【例6-4】 已知形体的投影图,如图6—11所示,画其正等测图。
① 选择特征面，建立坐标轴及坐标原点。
② 建立轴测投影轴，利用坐标法作出特征面的正等测图[6-12(a）］. ③ 沿特征面上的特征点，分别作平行于O1X1轴的平行线，并截取形
体的长度X，然后顺序连接各点得到形体的正等测图.
④ 加粗可见轮廓线，求得物体的正等测图［图6—12（b)]。
切割法、叠加法以及特征面法的作图方法是在坐标法基础上建立的，对于复杂物体，可以综合采用以上方法。
2。正二测图的画法
当形体的棱面或棱线与正立面或水平面成45°时,一般选用正二测投影，正二测投影可以使空间形体获得较强的立体感.
【例6-5】 作基础的正二测面。
① 建立坐标轴以及坐标原点，如图示
6-13
所.
② 建立正二测图的轴测投影轴，利用p=r=1、q=0。5，画出底面的正二测面，如图6—14（a）所示。
③ 沿O1Z1轴截取高度，分别画出下棱柱的顶面和上棱柱的底面，然后画出上棱柱，并连接四条斜棱线，如图6-14（b）、（c)所示。 ④ 擦除不可见线，加粗可见轮廓线，画出基础的正二测面，如图6-14（d）所
示.
二、斜轴测投影图
(一）斜轴测投影的轴间角和轴向伸缩系数
根据形体倾斜角度的不同，或者投影方向的不同,同一形体可画出不同的斜轴测图。
1. 正面斜二测图的轴间角与轴向伸缩系数. 如图6-15所示。 ① 轴间角∠X1OZ1=90°，∠Y1OZ1=∠Y1OX1=135° ② 轴向伸缩系数p=r=1,q=0。5
③ 平行于投影面P的形体上的外表面反映实形。
2. 水平斜二测面的轴间角与轴向伸缩系数. 如图6—16。
① 轴间角∠X1OZ1=90°,∠Y1OZ1=∠Z1OX1=135°或∠Y1OZ1=120°， ∠Z1OX1=150°
② 轴向伸缩系数p=q=1，r=0.5或p=q=r=1。 ③ 反
映
物
体
上
与
水
平
面
平
行
表
面
的
实
体.
(二)斜轴测图的画法 1。正面斜二测图的画法
画图之前，首先要根据物体的形状特征选定投影的方向，使得画出的
轴测投影图具有最佳的表达效果,一般来讲,要把物体形状较为复杂的一面作为正面,并且从左侧上方向或右前上方向进行投影. 【例6-6】 作出图6—17（a）所示台阶的正面斜二测面。 ① 在正投影图上建立坐标轴及坐标原点，如图6—17（a）所示。 ② 建立轴测投影轴,使台阶的正面XOZ面平行于轴测投影图，为了清楚地反映侧面台阶的形状，把宽向轴（O1Y1轴）画出左侧与水平轴线（O1X1轴）成45°角［图6—17（b）]。
③ 用叠加法作两层台阶踏步板的斜二测图，如图6-17（c）、(b）所示. ④ 在踏步板的右侧画出栏板的斜二测图,如图6-17（e）所示. ⑤ 擦除不可见线，加粗可见轮廓线，作出物体的正面斜二测图，如图6-17（e)所示。
2.水平斜等测图的画法
在建筑工程中，水平斜轴投影常用来表达一个地区的建筑群的布局与绿化、交通情况，为了使图形具有较强的立体感和作图方便,取O1Z1轴竖向伸缩系数r=1。
【例6-7】 依据一幢房屋的投影图[图6-18（a)］，作出其水
平斜等测图。
① 坐标原点选择在房屋的右后下角［图6—18(a）].
② 将房屋的水平投影图饶O1Z1轴逆时针旋转30°，建立轴测投影轴（01Z1轴竖向)，将房屋基底的投影图画出，如图6—18（b)所示。 ③ 从基底的各个顶点向上引垂线，并在竖直方向(沿O1Z1轴）量取相应的高度画出房屋的顶面。
④ 擦除不可见线，加粗可见轮廓线，作出物体的水平斜等测图,如图6—18（c）所示。
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