电大数学思想与方法考试题1

一、填空题（每空3分，共30分） 1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。 2．变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。 3．菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。 4．演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。 5．在计算机时代，计算方法已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。 6．反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。 7．在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。 8．学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段①潜意识阶段，②明朗化阶段，③深刻理解阶段。 9．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。 10．三段论是演绎推理的主要形式。三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。 1．《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为—种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展． 2．随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。 3．等腰三角形概念的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化． 4．类比法是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法． 5。面对一个问愿，经过认真的观察和思考，过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面人手；演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假并且进一步修正成否定此猜想． 6．化归方法包含的三个要素是：化归对象、化归日标、化归途径。 7．算法的有效性是指，如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解 8．数学的研究对象大致可以分成两类①研究数量关系，②研究空间形式。 9。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象不重复．无遗漏，进行的划分。 10．根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻恶解阶段等三

个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成

一多次孕育、初步理解、简单应用 三个阶段。 1．发现教学模式的基本流程是创设情境、提出假设、检验假设、以及总结运用等四个阶段。 2．发现教学模式在小学数学教学中的运用要注意教师创设的问题情境必须有效、 教师要注重儿童发现只是的过程以及教师在发现教学过程中要注意适时知道等三个问题。 3．现代小学数学课堂学习中教学组织策略具有运用情境的方式呈现学习任务、数学活动是以人物来驱动的 以及 探索是数学活动的重要形式等的特点。 4．小学数学统计教学的主要策略有对数据统计活动有初步的体验、解读和制作简单的统计图以及在活动中获得对一些简单的统计量的意义理解等。 6．按评价的取向角度划分，学习评价主要可以分为目标取向的评价、过程取向的评价、主体取向的评价等三类。 7．小学数学运算规则在学习方式上具有淡化严格证明，强化合情推理、重要规则逐步深化以及有些规则不给结语等一些特点。 9．从数学知识的分类角度出发，可以将数学能力分为认知、操作、以及策略等三类。 10．探究教学模式的基本流程是设置问题情境、提出假设、获得结论以及反思评价等。 11．课堂教学中的学生参与主要指行为参与、情感参与、以及认知参与等。 12．儿童构建数学概念能力的要素主要包括 学生已有的生活经验和数学概念、数学思维能力以及 数学的语言能力等。 14．在儿童的运算规则学习的导入阶段中主要可以采用情境导入、活动导入以及问题导入等策略。 15．小学数学的运算技能的形成大致可以分为认知、联结、以及自动化等三个阶段； 1.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。

4.推动数学发展的原因主要有两个：（①实践的需要，②理论的需要）；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。 6.（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。

10.数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。 11.强抽象就是指，通过（把一些新特征加入到某一概念中去）而形成新概念的抽象过程。

12.菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：（一组邻边相等），加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。 16.猜想具有两个显著特点：（①具有一定的科学性，②具有一定的推测性）。 18.化归方法是指（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法）。 21.算法具有下列特点：（①有限性，②确定性，③有效性）。 22.算法大致可以分为（多项式算法和指数型算法）两大类。 23.匀速直线运动的数学模型是（一次函数）。 24.所谓数学模型方法是（利用数学模型解决问题的一般数学方法）。 27.所谓特殊化是指在研究问题时，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。 30.根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。 31.（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。 32.一个概括过程包括（比较、区分、扩张和分析）等几个主要环节。 33.算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。 34.数学的研究对象大致可以分成两大类：（①数量关系；②空间形式）。 35.19世纪在公理法方面取得了突破性进展，在这个基础上，抽象的公理法进一步向（形式化方向）发展。

36.<<九章算术>>思想方法的特点是（开放的归纳体系,算法化的内容,模型化的方法）。 37.抽象的含义:抽象是对同类事物（抽取其共同的本质属性或特征,舍去其非本质的属性或特征的思维过程）。 38.在反例反驳中,构造一个反例必须满足条件（反例满足构成猜想的所有条件,反例与构成猜想的结论矛盾）。 39.算法可分为（多项式算法和指数型算法）两大类。 40.数学的研究对象大致可以分成如下两类（一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式的）。 41.《几何原本》思想方法的特点是（封闭的演绎体系、抽象化的内容、公理化的方法）。 42.设A是解决问题D的一种算法，以（fA（D，n））表示用算法A求解规模为n的问题D所需要的运算

次数，则（fA（D，n））刻划了计算A的复杂程度。

二、判断题

1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。（是） 2．对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。（是） 3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。（否） 4．由类比法推得的结论必然正确。（否） 5．数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标。(否) 1，《九章算术》不包括代数、几何内容．否 2．抽象和概括是两种完全不同的方法。否 3．没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识．是

4．数学模型方法是物理学、工程学的专利，在生物学、经济学、军事学等领域投有应用．否 S．在解决敷学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能奏效．是 2.抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。（否） 8.如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。（否）

12.有时特殊情况能与一般情况等价。（是） 13.完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。（是） 14.古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。（否）

15.中国古代数学中使用的数学方法是演绎的方法。（否） 16.《几何原本》是人类历史上最早的演绎的公理化体系。（是）

17.微积分的建立标志着变量数学的诞生。（是）

三、简答题

1．简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。

2．简述数学抽象的特征。数学抽象有以下特征：第一，数学抽象具有无物质性；第二，数学抽象具有层次性；第三，数学抽象过程要凭借分析或直觉；第四，数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。 3．简述特殊化方法在数学教学中的应用。特殊化方法在数学教学中的应用有：第一，利用特殊值（图形）解选择题；第二，利用特殊化探求问题结论；第三，利用特例检验一般结果；第四，利用特殊化探索解题思路。

4．简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学的目的。 1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系? ①《几何原本》以少数原始概念和公设、公理为基础，运用逻辑规则将当时所知的几何学中的主要命题(定理)全都推出来，从而形成一个井然有序的整体．在这个体系中，除了逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或dS面已证明的定理，并且引入的概念(除原始概念)也基本上符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西．②另外．《几何原本)回避任何与社会生产现实生括有关的应用问题，对

社会生活的各个领域来说类随机现象中所蕴 涵的也是封闭的．因此，(几何规律性。这些是确定数学原本)是一个相对封闭的的局限所在。 演绎体系． 1、叙述抽象的含义及其2．简述计算机在数学方过程。

面的三种新用途。第一，答：抽象是指在认识事物用来证明一些数学命题；的过程中，舍弃那些个别第二，用来预测某些数学的、偶然的非本质属性，问题的可能结果，第三，抽取普遍的、必然的本质用来验证某些数学问题的属性，形成科学概念，从结果的正确性． 而把握事物的本质和规律4．简述化归方法在数学的思维过程。人们在思维教学中的应用。化归方法中对对象的抽象是从对对在数学教学中的应用至少象的比较和区分开始的。有以下三个方面：1)利用所谓比较，就是在思维中化归方法学习新知识， 确定对象之间的相同点和②利用化归方法指导解不同点；而所谓区分，则题，用化归方法整理知识是把比较得到的相同点和结构． 不同点在思维中固定下5．什么是算法的有限性来，利用它们把对象分为特点?试举一个不符合算不同的类。然后再进行舍法有限性特点的例子．算弃与收括，舍弃是指在思法的有限性是指．一个算维中不考虑对象的某些性法必须在有限步之内终质，收括则是指把对象的止．以十进翻小数的除法我们所需要的性质固定下这个算法为例，如取敷2来，并用词表达出来。这和3作为初始数据，则有就形成了抽象的概念，同2--3=O．6666…无论怎样时也就形成了表示这个概延续这个过程都不能结念的词，于是完成了一个束，同时也不会出现中抽象过程。

断．因此，除法对于2和2、叙述概括的含义及其3这组数不符合算法有限过程。 性特点． 答：概括是指在认识事物1、分别简单叙说算术与属性的过程中，把所研究代数的解题方法基本思各部分事物得到的一般想，并且比较 它们的区的、本质的属性联系起来，别。 答：算术解题方法的整理推广到同类的全体事基本思想：首先要围绕所物，从而形成这类事物的求的数量， 收集和整理各普遍概念的思维过程。 种已知的数据，并依据问概括通常可分为经验概括题的条件列出关于这些具 和理论概括两种。经验概体数据的算式，然后通过括是从事实出发，以对个四则运算求得算式的结别事物所做的观察陈述为果。代数解题方法的基本基础，上升为普遍的认识思想是：首先依据问题的——由对个体特性的认识条件组成内含 已知数和上升为对个体所属的种的未知数的代数式，并按等特性的认识。理论概括则量关系列出方程，然后通是指在经验概括的基础过对 方程进行恒等变换上，由对种的特性的认识求出未知数的值。 它们的上升为对种所属的属的特区别在于算术解题参与的性的认识，从而达到对客量必须是已知的量，而代观世界的规律的认识。在数 解题允许未知的量参数学中经常使用的是理论与运算；算术方法的关键概括。 之处是列算式，而 代数方一个概括过程包括比较、法的关键之处是列方程。 区分、扩张和分析等几个2、比较决定性现象和随主要环节。

机性现象的特点，简单叙3、简述公理方法历史发说确定数 学的局限。 展的各个阶段

答：人们常常遇到两类截答：公理方法经历了具体然不同的现象，一类是决的公理体系、抽象的公理定性 现象，另一类是随机体系和形式化的公理体系现象。决定性现象的特点三个阶段。第一个具体的是：在一定的条 件下，其公理体系就是欧几里得的结果可以唯一确定。因此《几何原本》。非欧几何是决定性现象的条件和结果抽象的公理体系的典型代之 间存在着必然的联系，表。希尔伯特的《几何基所以事先可以预知结果如础》开创了形式化的公理何。 体系的先河，现代数学的随机现象的特点是：在一几乎所有理论都是用形式定的条件下，可能发生某公理体系表述出来的，现种结果， 也可能不发生某代科学也尽量采用形式公种结果。对于这类现象，理法作为研究和表述手由于条件和结果之间不 段。 存在必然性联系。 4、简述化归方法并举例在数学学科中，人们常常说明。答：所谓“化归”，把研究决定性现象数量规从字面上看，应可理解为律的那些 数学分支称为转化和归结的意思。数学确定数学。用这些的分支方法论中所论及的“化归来定量地描述某些决定性 方法”是指数学家们把待现象的运动和变化过程，解决或未解决的问题，通从而确定结果。但是由于过某种转化过程，归结到随机现象条件 和结果之一类已经能解决或者比较间不存在必然性联系，因容易解决的问题中去，最此不能用确定数学来加以终求获原问题之解答的一定量 描述。同时确定数学种手段和方法。例如：要也无法定量地揭示大量同求解四次方程 可以

令 ，将原方程化为关于 3）、把“再创造”作为数的二次方程 这个方程我学教育的一条原则。把“已们会求其解： 和 ，从而完成的数学”当成是“未得到两个二次方程： 和 完成的数学”来教，给学这也是我们会求解的方生提供“再创造”的机会。程，解它们便得到原方程4）、把“问题解决”作为的解：.这里所用的就是化数学教学的一种模式。《数归方法。 学课程标准》在“学段目1、简述计算和算法的含标”中的“解决问题”方义。答：计算是指根据已面的具体阐述，实际上提知数量通过数学方法求得出了“问题解决”的教学未知数的过程，是一种最模式，即：情境—问题—基本的数学思想方法。随探索—结论—反思。5）、着电子计算机的广泛应把“数学思想方法”作为用，计算的重要意义更加课程体系的一条主线。要凸现，主要表现在以下几求学生掌握基本的数学思个方面：(1)推动了数学的想方法。6）、把“数学活应用；(2)加快了科学的数动”作为数学课程的一个学化进程；(3)促进了数学方面。强调学生的数学活自身的发展。算法是由一动，注重“向学生提供充组有限的规则所组成的一分从事数学活动的机会”，个过程。所谓一个算法它帮助他们“获得广泛的数实质上是解决一类问题的学活动的经验”。7）、把“合一个处方，它包括一套指作交流”看成学生学习数令，只要按照指令一步一学的一种方式。要让学生步地进行操作，就能引导在解决问题的过程中“学到问题的解决。在一个算会与他人合作”，并能“与法中，每一个步骤必须规他人交流思维的过程和结定得精确和明白，不会产果”。8）、把“现代信息技生歧义，并且一个算法在术”作为学生学习数学的按有限的步骤解决问题后一种工具。

必须结束。数学中的许多2．简述数学思想方法教问题都可以归结为寻找算学的主要阶段.答：数学思法或判断有无算法的问想方法教学主要有三个阶题，因此，算法对数学中段：多次孕育、初步理解的许多问题的解决有着决和简单应用阶段。这对应定性作用。另外，算法在学生理解掌握数学思想方日常生活、社会生产和科法的三个阶段，即：潜意学技术中也有着重要意识、明朗化和深刻理解阶义。算法在科学技术中的段。

意义主要体现在如下几个1、什么是数学模型方方面：(1)用于表述科学结法？答：所谓数学模型方论的一种形式；(2)作为表法是利用数学模型解决问述一个复杂过程的方法；题的一般数学方法，简称(3)减轻脑力劳动的一种MM方法。 手段；(4)作为研究和解决1、分别简单叙说算术与新问题的手段；(5)作为一代数的解题方法基本思种基本的数学工具。 想，并且比较 它们的区2、简述数学教学中引起别。 答：算术解题方法的“分类讨论”的原因。 基本思想：首先要围绕所答：数学教学中引起“分求的数量， 收集和整理各类讨论”的原因有：数学种已知的数据，并依据问中的许多概念的定义是分题的条件列出关于这些具 类给出的，因此涉及到这体数据的算式，然后通过些概念时要分类讨论；数四则运算求得算式的结学中有些运算性质、运算果。代数解题方法的基本法则是分类给出的，进行思想是：首先依据问题的这类运算时要分类讨论；条件组成内含 已知数和有些几何问题，根据题设未知数的代数式，并按等不能只用一个图形表达，量关系列出方程，然后通必须全面考虑各种不同的过对 方程进行恒等变换位置关系，需要分类讨论；求出未知数的值。 它们的许多数学问题中含有字母区别在于算术解题参与的参数，随着参数取值不同，量必须是已知的量，而代会使问题出现不同的结数 解题允许未知的量参果。因此需要对字母参数与运算；算术方法的关键的取值情况进行分类讨之处是列算式，而 代数方论。 法的关键之处是列方程。 1、简述《国家数学课程2、比较决定性现象和随标准》的几个主要特点。 机性现象的特点，简单叙答：2001年6月教育部推说确定数学的局限。 答：行了试用的九年义务教育人们常常遇到两类截然不阶段《国家数学课程标准》同的现象，一类是决定性 (实验稿)，充分体现了数现象，另一类是随机现象。学课程改革与发展的内决定性现象的特点是：在涵、特点和具体目标，并一定的条 件下，其结果可呈现下列八个特点：1）、以唯一确定。因此决定性把“现实数学”作为数学现象的条件和结果之 间课程的一项内容。即为学存在着必然的联系，所以生准备的数学应该是与现事先可以预知结果如何。 实世界密切联系的数学，随机现象的特点是：在一且能够在实际中得到应用定的条件下，可能发生某的数学。2）、把“数学化”种结果， 也可能不发生某作为数学课程的一个目种结果。对于这类现象，标。学生学习数学化的过由于条件和结果之间不 程是将学生的现实数学进存在必然性联系。 在数学一步提高、抽象的过程。学科中，人们常常把研究

决定性现象数量规律的那些 数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性 现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件 和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量 描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴 涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。

用方程模型解应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”、“用两种不同方式表示同一个量”、“方程个数和未知量个数相等”这三个要点。这是为什么？请阐述你的理解。

“设想问题已经解出”，即在列式时将未知量与已知量同等对待。这是列方程中的一个重要思想，也是它优于算术之处。在算术列式中，未知量只能列在等号左边，且系数必须为1，已知量只能在等号右边出现。已知量与未知量的地位截然不同，因此列式比较困难。而在方程列式中，已知量与未知量处于同等地位，都可以在等号两边出现，于是列式就容易多了。“用两种不同方式表示同一量”，这是列方程的关键。所谓方程，其实就是用两种不同的方法表示同一个量，并用等号联结起来。“方程个数和未知量个数相等”，是为了得到确定的解。这里有个自由度的思想。当方程个数少于未知量个数时，就会出现不定方程(组)。这时方程(组)的解一般会有无穷多个。 试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。 《九章算术》在每一章内都先列举若干实际问题，并对每个问题给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案；书中的“术”其实就是算法。

为什么将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则?

由于数学思想方法往往隐含在数学知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学的目的。

简述用数学模型方法解决实际问题的基本步骤。 用MM方法解决实际问题的基本步骤为：①从现实原型抽象概括出数学模型；②在数学模型上进行

逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解；③从数学模型再过渡到现实原型，即将研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，求得实际问题的解答。

什么是数学的统一性？法国的布尔巴基学派是如何实现数学的统一？ 数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构(即代数结构，序结构和拓朴结构)，然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构，布尔代数结构等。布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。 简述数学建模的基本步骤。(1)弄清实际问题，(2)化简问题，(3)建模，(4)求解，(5)检验。

什么是类比猜想?并举一个例子

人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为比猜想。例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义，基本性质，约分，通分，四则运算等方面都是对应相似的。

简述化归方法的和谐化原则

和谐化是数学内在美的主要内宾之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数，式，形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。

叙述强抽象的含义，并举一例。强抽象就是指通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。从逻辑上讲，这种抽象主要表现为“种加类差”的形式，抽象得到的结论类属于原概念。例如将“一元”、“一次”两个特征加入“方程”概念中，就可由强抽象得到一元一次方程的概念。

为什么数形结合方法在数学中有非常广泛的应用？因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的。既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展进程中，数与形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各学科之间的联系，提

高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。 简单叙说《几何原本》的体例。

《几何原本》注重知识内在逻辑关系，采用演绎体系的体例，即以一些原始概念和不证明的公设和公理为基础，运用逻辑法则，把几何学中所有定理演绎出来。

简单叙说《九章算术》的体例。《九章算术》注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体例，即每章首先提出问题，然后给出答案，对有些问题给出解题的方法与计算步骤。

简单叙说《几何原本》思想方法的特点。1.封闭的演绎体系。因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。2.抽象化的内容。《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。3.公理化的方法。《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。

简单叙说《九章算术》思想方法的特点？1.开放的归纳体系。从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个《九章算术》。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。2.算法化的内容。《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问

题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。3.模型化的方法。《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。 叙说变量数学产生的基本过程。1.解析几何的产生。两位法国数学家笛卡尔和费尔马从不同的角度建立了解析几何，费尔马从方程出发研究其轨迹，而笛卡尔从轨迹出发来寻找其方程。但是这却恰好是解析几何基本原理两个方面。2.函数概念的形成。实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，从而引出了函数概念。3.微积分的产生。为了处理17世纪的四类主要科学问题，牛顿和莱布尼兹分别以物理学和几何为背景用无穷小量方法建立了微积分。

简单叙说数学证明的功用。核实命题，理解命题，发现命题。

简单叙说科学证明的结果与数学证明的结果的区别。

科学证明依赖于观察、实验和理解力，因此经其证明的结果存在着可疑成分，并且常常随着时间的推移，这些结果可能会被拓展或否定。数学证明是以一些基本概念和基本公理为基础，使用合乎逻辑的推理去决定判断是否正确。它依赖于逻辑，是演绎证明，因此经其证明的结果具有绝对性，经得起时间的考验。

简单叙说公理化的意义。 1.它把数学带入了严密阶段。数学的严密性是通过各个分支的公理化来完成的。数学的许多分支都用公理方法建立它们的体系，数学分支只有用公理方法叙述之后，它才被人们完全接受。2.它把逻辑的严密赋予了某些自然科学领域。除了数学以外，物理学比其他经验科学有更好的理论严密传统，许多物理理论均是公理体系。3.它体现了人类认识的主观能动性。在一定的条件下，人们在实践的基础上能得到超越当时实际的理论，并在这理论的指导下去进一步认识和改造世界。

康托尔集合理论的概括原则是什么？引起数学的第三次危机的根本原因是什么？概括原则：集合是指满足某一条件p(x)的x 全体，即{x| p(x)}。根本原因：逻辑上矛盾的概括原则。

简单叙说哥德尔不完备性定理对数学产生的影响。

1.它推翻了数学的所有重要领域能被完全公理化这个强烈的信念。2.它摧毁了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望。3.它对数学基础研究及数理逻辑的现代发展产生了重大的影响。4.它导致了重新评价某些普遍认可的数学哲学。

什么是统一性和数学的统一性？法国的布尔巴基学派是如何来实现数学的统一？

所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支相固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。法国的布尔巴基学派利用数学内在联系和公理化方法从数学的各个分支中提炼出各种数学结构。从而用数学结构实现了数学的统一。

简单说明社会科学数学化的主要原因？

从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：1.社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。2.社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。3.随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。4.电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。

数学机械化的含义是什么？简单叙说数学机械化的意义。

数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有确定的、必然选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。 数学机械化的意义在于：1.数学机械化与公理化一样，对于数学的发展具有巨大现在意义。数学机械化使得一些数学分支成为重要的研究方向，甚至成为数学的主流。这是因为，抽象的数学概念和结论，往往难于掌握和运用。当把抽象的概念变成具体可算的过程，将易于接受和适宜应用。运用机械化思想考察数学，将引导数学家重新认识数学对象，建立新的模式，从而发现新的结论。2.数学机械化对于数学发展历程的认识具有深渊的历史意义。公理化的思想导源于古希腊，机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。数学机械化思想是我国古代数学的精髓，它与源于西方的公理化思想，对于数学的发展都发挥了巨大作用。

什么是归纳法？归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。它是一种从特殊到一般的推理方法。 什么是猜想？猜想有什么特点？在问题解决过程中，人们根据一定的经验材料和某些已知事实，对问题作出推测性的判断，从而构成命题。这种尚未判明真假的命题我们称之为猜想。猜想具有两个显著的特点：①具有一定的科学性；②具有一定的推测性，即结论可能正确也可能错误。

试比较归纳猜想与类比猜想的异同。

归纳猜想与类比猜想的共同点是：他们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反

驳。 归纳猜想与类比猜想的不同点是：归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，是一种由特殊到一般的推理形式，其思维步骤为“特例—归纳—猜测”。类比猜想是运用类比法得到的猜想，是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想—类比—猜测”。 什么是公理方法和公理体系？简要地说就是从初始概念和公理出发，按照一定的规律定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。公里体系由初始命题、公理、逻辑规则、定理等构成。

试述公理方法历史发展的各个阶段。公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。参见教材。

公理方法的作用主要有哪些？1.公理法使有关的知识系统化，把它们按某种逻辑顺序构成一个体系，因而使人们便于系统地理解知识体系，便于掌握理论的本质，也便于理论和实践的结合。2.公理法是应用演绎推理的基本方法，它认为世界是提供了演绎推理的模式，提供了一种理性证明的手段。实际上，各门学科中的理性证明都离不开演绎推理，而所用的演绎推理与公理法都有一定联系。3.公理法的建立和应用要求一门科学的充分成熟：积累了一定数量的基础知识，进行了一定的系统分析和研究，对该门学科知识结构体系有了较深入的理解。因此实现公理化的过程也是深入研究理论体系的过程。采用公理法还可以发现和补充理论系统中的缺陷和漏洞，从而有利于完善已有的理论与创建新的理论。4.公理法是表述科学理论一种比较完善的方法，它为各门学科提供了一种思想方法上的示范和有效的表达手段，

有利于促进理论的完善和严格化。

简述计算工具的发展。 古代的计算工具有手指、石子、木棍、算筹、算盘等；伴随着大工业生产的出现，人们发明了手摇计算机、对数计算尺等机械式计算工具；随着电力技术的发展，人们发明了电动式计算机；20世纪以来，电子技术开始进入生产领域，人们发明了机电式计算机；1946年，美国首先制成了世界上第一台电子计算机。自此以后，电子计算机的发展经历了电子管计算机、晶体管计算机、集成电路计算机、大规模集成电路计算机几个主要阶段，现正向着高速、微型化和超高速、巨型化两个方向同时发展。 简述计算的意义。

计算是一种最基本的数学思想方法。随着电子计算机的广泛应用，计算的重要意义更加凸现，主要表现在以下几个方面：1.推动了数学的应用；2.加快了科学的数学化进程；3.促进了数学自身的发展。 什么是算法？

算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。所谓一个算法它实质上是解决一类问题的一个处方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地进行操作，就能引导到问题的解决。在一个算法中，每一个步骤必须规定得精确和明白，不会产生歧义，并且一个算法在按有限的步骤解决问题后必须结束。 算法有哪几个特点？ 算法具有下列特点：1.有限性。即一个算法必须在有限步之内终止。2.确定性。即算法的每一步都有精确的定义，而且动作的规定是严格无歧义的。3.输入。即算法在运行前一般要具备初始信息或者初始数据。4.输出。即算法在终止时一般应有确定的结果，并且输出信息与输入信息之间存在着一定的逻辑关系。5.有效性。如果使用一个算法从它的初始数据出发，能够得到最终结果，那么这个算法对于这些初始数据而言就是有效的；如果对某些数据而言虽然可以应用某一算法，但是却得不到结果，那么该算法对这些初始数据而言就是无效的。 算法有哪两个类型？算法有多项式算法和指数型算法两大类。

简述算法的意义。 算法具有非常重要的意义。数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题，因此，算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。另外，算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面：1.用于表述科学结论的一种形式；2.作为表述一个复杂过程的方法；3.减轻脑力劳动的一种手段；4.作为

研究和解决新问题的手段；5.作为一种基本的数学工具。

什么是数学模型？数学模型有哪三种类型？ 数学模型是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以分为概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型三类。

为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？ 因为运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。

为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？ 因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用，例如“勾股”、“方程”等章。这在世界数学史上是最早的。因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。

简述数学模型在数学教学中的作用。

数学模型在数学教学中的作用主要有三方面：其一是构造数学模型解决实际问题。求解某些应用问题时，常常需要我们根据实际情况创设条件构造数学模型，然后通过求解数学模型的解获得实际问题的解。其二是数学模型的应用。如果根据问题的条件可以判断所求结果具有某种确定的数学结构，那么可直接应用该数学模型解题。其三是数学模型之间的相互转换。某些不同的数学模型之间具有同构关系，我们往往可以通过将一种模型转换成另一种模型，使问题的求解更加容易。

数学建模的基本步骤。 1.弄清实际问题。包括了解问题的实际背景知识，从中提取有关的信息，明确要达到的目的。2.化简问题。根据问题的特点和目的，作出某些合理的假设，舍弃一些次要的因素，从而使问题得以化简。3.建模。在假设的基础上，抓住主要因素和有关量之间的关系进行抽象概括，运用适当的数学工具刻画变量之间的数量关系，建立起相应的数学结构。4.

求解。对所得的模型在数学上进行推理或演算，求出数学上的结果。5.检验。把数学上的结论返回到实际问题中去。若模型与实际比较吻合，则对所得结果给出其实际含义，并进行解释。倘若经过检验与实际不符，就必须对所得模型加以修正，重复前面的建模过程。

什么是数学中的分类方法？分类是基本的逻辑方法之一。数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。

分类应遵循哪些原则？①不重复；②无遗漏；③按同一标准分类；④按层次逐步分类。

因此需要对字母参数的取值情况进行讨论。 判断下列命题的正误：(1)有理数可分为有限小数和无限小数。(2)有限小数必为有理数。(3)有理数必为有限小数。4)整数可以分为正整数、负整数。 (1)错误。因为无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，而无限不循环小数是无理数，所以因分类标准不当导致错误。(2)正确。(3)错误。有理数中应包括无限循环小数。(4)错误。遗漏了非正非负整数零，不符合分类必须“无遗漏”的原则。 什么是数形结合方法？ 数形结合方法，是在研究数学问题时由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。 为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？

因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。正是数与形之间的内在联系，决定了数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用。

特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：①利用特殊值(图形)解选择题；②利用特殊化探求问题结论；③利用特例检验一般结果；④利用特殊化探索解题思路。 简述数学知识与数学思想方法在数学教材中的关系。

数学知识与数学思想方法是贯穿在数学教材里的两条线。数学知识是一条明线，直接用文字明明白白地写在教材里，反映着知识间的纵向联系；数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，

常常隐藏在基础知识的背后，需要人们加以分析、提炼才能使之显露出来。 简述提高小学数学课堂教学效益应注意的几个问题？

(1)激发学生学习数学的内在动机。在教学过程中，教师要重视数学思想方法的教学，使学生认识到数学的价值。(2)教师要研究学生，研究教材、用好教材。教师要认真研究教材、研究学生，对进入教材的现代数学观念要由浅入深、从感性到理性的形式逐步加以渗透。脱离学生实际的强调一次将概念讲深讲透，深挖洞做难题、怪题是不可取。用好教材，就是充分挖掘教材的教育资源，利用教材提供的范例开展合作学习。(3)认真研究练习题的数量问题。教师要研究习题、精选习题，力求用较少的数学问题对学生进行思维训练达到收效最佳的作用。这样的问题应该设计得使学生参与的练习实践显多样化。题目可以是常规的，也可以是非常规的，在题中可以出现多余信息或缺少信息，或有多种答案等多种情况。让学生在练习中学会分析信息，利用信息去解决问题。(4)正确区分问题、习题、考题。充分挖掘数学问题的教育价值，规避习题、考题的负面效果。

试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。 数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在：(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。(2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。(3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。

简述学生理解数学思想方法的几个主要阶段。 学生理解数学思想方法要经历潜意识阶段、明朗化阶段、深化理解三个阶段。 简述数学思想方法教学的主要阶段。

数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。

数学思想方法教学应注意以下事项：(1)把数学思想方法的教学纳入教学目标；(2)重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标；(3)做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；(4)不同数学思想方法应有不同的教学要求；(5)注意不同数学思想方法的综合应用。

化归方法在数学教学中的应用。1.利用化归方法学习新知识。2.利用化归方法指导解题。3.利用化归原则理清知识结构。 简述培养数学猜想能力的途径？

用猜想学习新知识；用猜想探究数学规律用猜想帮助解题。

什么是归纳猜想？并举一个例子说明。

人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。例如，人们在量度了很多圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14地猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率地数值为，果然和3.14很接近。

三、论述题

1、论述社会科学数学化的主要原因。

答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必 然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面： 第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学 数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系 的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会 历史现象的新的数学分支。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过 量化后可以进行数值处理。

2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。 答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致 了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析 基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理 逻辑和一批现代数学的产生。 由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新 的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发 展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

1、叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。 答：不完全归纳法的一般推理形式是：设S= ；由于具有属性p，具有属性p，……具有属性p，因此推断S类事物中的每一个对象都可能具有属性p。2、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性？答：类比推理通常可用下列形式来表示：A具有性质B具有性质.因此，B也可能具有性质。其中，分别相同或相似。欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：

(1)A与B共同(或相似)的属性尽可能地多些；(2)这些共同(或相似)的属性应是类比对象A与B的主要属性；(3)这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的；(4)可迁移的属性d应该是和属于同一类型。符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。

3、试比较归纳猜想与类比猜想的异同。

答：归纳猜想与类比猜想的共同点是：他们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反驳。

归纳猜想与类比猜想的不史动力这一基本原理。整具有典 型意义的现实原同点是：归纳猜想是运用个数学的发展史就是矛盾型，并把它们表述成问题，归纳法得到的猜想，是一斗争的 历史，斗争的结果然后通过“术”使其转 化种由特殊到一般的推理形就是数学领域的发展 为数学模型。当然有的章式，其思维步骤为“特例四、分析题 采取的是由数学模型到原—归纳—猜测”。类比猜想1、 分析《几何原本》思型的过 程，即先给出数学是运用类比法得到的猜想方法的特点，为什么？ 模型，然后再举出可以应想，是一种由特殊到特殊答：（1）封闭的演绎体系 用的原型。

的推理形式，其思维步骤因为在《几何原本》中，1、试述小学数学加强数为“联想—类比—猜测”。 除了推导时所需要的逻辑学思想方法教学的重要2、特殊化方法在数学教规则外， 每个定理的证明性。 学中有哪些应用？ 所采用的论据均是公设、答：数学思想方法是联系答：特殊化方法在数学教公理或前面已经证明过 知识与能力的纽带，是数学中的应用大致有如下几的定理，并且引入的概念学科学的灵魂，它对发展个方面：利用特殊值(图形)（除原始概念）也基本上学生的数学能力，提高学解选择题；利用特殊化探是符合逻辑上 对概念下生的思维品质都具有十分求问题结论；利用特例检定义的要求，原则上不再重要的作用。具体表现在：验一般结果；利用特殊化依赖其它东西。因此《几(1)掌握数学思想方法能探索解题思路。 何原 本》是一个封闭的演更好地理解数学知识。(2)1、试述小学数学加强数绎体系。另外，《几何原本》数学思想方法对数学问题学思想方法教学的重要的理论体系回避任何与社的解决有着重要的作用。性。 会生产现实生 活有关的(3)加强数学思想方法的答： 数学思想方法是联应用问题，因此对于社会教学是以学生发展为本的系知识与能力的纽带，是生活的各个领域来说，它必然要求。 数学科学的灵魂，它对发也是 封闭的。所以，《几2、简述数学思想方法教展学生的数学能力，提高何原本》是一个封闭的演学应注意哪些事项？ 学生的思维品质都具有十绎体系。 （2）抽象化的答：数学思想方法教学应分重要的作用。具体表现内容 ：《几何原本》中研注意以下事项：(1)把数学在：1)掌握数学思想方法究的对象都是抽象的概念思想方法的教学纳入教学能更好地理解数学知识。和命题，它所探 讨的是这目标；(2)重视数学知识发2)数学思想方法对数学问些概念和命题之间的逻辑生、发展的过程，认真设题的解决有着重要的作关系，不讨论这些概念和计数学思想方法教学的目用。3)加强数学思想方法命题 与社会生活之间的标；(3)做好数学思想方法的教学是以学生发展为本关系，也不考察这些数学教学的铺垫工作和巩固工的必然要求。 模型所由之产生的现实原作；(4)不同数学思想方法2、简述数学思想方法教型。因此《几何原本》的应有不同的教学要求；(5)学应注意哪些事项？答：内容是抽象的。（3）公理注意不同数学思想方法的数学思想方法教学应注意化的方法：《几何原本》的综合应用。 以下事项：(1)把数学思想第一篇中开头5个公设和 方法的教学纳入教学目5个公理，是全书其 它命标；(2)重视数学知识发题证明的基本前提，接着生、发展的过程，认真设给出23个定义，然后再逐计数学思想方法教学的目步引入 和证明定理。定理标；(3)做好数学思想方法的引入是有序的，在一个教学的铺垫工作和巩固工定理的证明中，允许采用作；(4)不同数学思想方法的论据只有公设和公理与应有不同的教学要求；(5)前面已经证明过的定理。注意不同数学思想方法的以后各篇 除了不再给出综合应用。 公设和公理外也都照此办1、论述社会科学数学化理。这种处理知识体系与 的主要原因。答：从整个表述方法就是公理化方科学发展趋势来看，社会法。

科学的数学化也是必 然2、分析《九章算术》思的趋势，其主要原因可以想方法的特点，为什么？ 归结为有下面四个方面： 答：（1）开放的归纳体系：第一，社会管理需要精确从《九章算术》的内容可化的定量依据，这是促使以看出，它是以应用问题社会科学 数学化的最根解法集成 的体例编纂而本的因素。 第二，社会科成的书，因此它是一个与学的各分支逐步走向成社会实践紧密联系的开放 熟，社会科学理论体系 的体系。在《九章算术》中发展也需要精确化。 第通常是先举出一些问题，三，随着数学的进一步发从中归纳出某一 类问题展，它出现了一些适合研的一般解法；再把各类算究社会 历史现象的新的法综合起来，得到解决该数学分支。 第四，电子计领域中 各种问题的方法；算机的发展与应用，使非最后，把解决各领域中问常复杂社会现象经过 量题的数学方法全部综 合化后可以进行数值处理。 起来，就得到整个《九章2、论述数学的三次危机算术》。另外该书还按解决对数学发展的作用。答：问题的不同数学方法进行第一次数学危机促使人们归纳，从这些 方法中提炼去认识和理解无理数，导出数学模型，最后再以数致 了公理几何与逻辑的学模型立章写入《九章算 产生。第二次数学危机促术》。 因此，《九章算术》使人们去深入探讨实数理是一个开放的归纳体系。论，导致了分析 基础理论（2）算法化的内容 ：《九的完善和集合论的产生。 章算术》在每一章内先列第三次数学危机促使人们举若干个实际问题，并对研究和分析数学悖论，导每 个问题都给出答案，然致了数理 逻辑和一批现后再给出“术”，作为一类代数学的产生。 由此可问题的共同解 法。因此，见，数学危机的解决，往内容的算法化是《九章算往给数学带来新的内容，术》思想方法上的特点之 新 的进展，甚至引起革命一。 （3）模型化的方法 ：性的变革，这也反映出矛《九章算术》各章都是先盾斗争是事物发 展的历从相应的社会实践中选择