课时提能演练(三十二) 5.3

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课时提能演练(三十二)

(45分钟 100分)

一、填空题(每小题5分，共40分)

1.(2012·苏州模拟)等比数列{an}中，an>0,且a3·a6·a9=4,则log2a2+log2a4+log2a8+log2a10=______.

2.在等比数列{an}中，a1=1，公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5，则m=_______. 3.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*)，且a2+a4+a6=9，则ogla15a7a的93值是______.

4.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=______.

5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6,则数列{的前5项和为______.

6.(2012·宿迁模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0,则

S5=______. S21}an2a97.(2012·泰州模拟)在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11=243,则的值为______.

a118.已知函数f(x)=2x+3,数列{an}满足:a1=1且an+1=f(an)(n∈N*),则该数列的通项公式an=______.

二、解答题(每小题15分，共45分) 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n+c.

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(1)求c的值并求数列{an}的通项公式; (2)若bn=Sn+2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn.

10.(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证:数列{Sn+}是等比数列.

3111.(2012·无锡模拟)已知数列{an}与{bn}满足：bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=,

2n54n∈N*,且a1=2,a2=4. (1)求a3,a4,a5的值；

(2)设cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,证明：{cn}是等比数列. 【探究创新】

(15分)设一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α- 2αβ+6β=3. (1)试用an表示an+1;

(2)求证:数列{an-}是等比数列; (3)当a1时，求数列{an}的通项公式.

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答案解析

1.【解析】∵a3·a6·a9=a63=4， ∴a62，

∴log2a2+log2a4+log2a8+log2a10=log2(a2·a4·a8·a10)=logalog22.

426832383答案：

2.【解析】根据题意可知：am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=a1q10，因此有m=11. 答案：11

3.【解析】∵log3an+1=log3an+1, ∴an+1=3an,

∴数列{an}是公比为3的等比数列; ∴a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3=9×33=35, ∴log1a5a7a9log1355.

3383答案：-5

4.【解析】设公比为q(q＞0),则q≠1,由题意知

242a1q1a1q1,即, 22a11qq7a11qq7a14解得1,

q214［1()5］231. ∴S5141231答案：

45.【解题指南】首先判断公比q是否能为1,其次应注意数列{}是公比为的等

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1an1q

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比数列.

【解析】设等比数列{an}的公比为q，则当公比q=1时，由a1=1得，9S3=9×3=27，而S6=6，两者不相等，故不合题意；当公比q≠1时，由9S3=S6及首项为1得：

11113111q31q6解得q=2，所以数列{}的前5项和为1. 9，2481616an1q1q答案：

31 166.【解析】设公比为q,由8a2+a5=0,得8a2+a2q3=0, 解得q=-2,

S51q5所以11. 2S21q答案：-11

7.【解析】∵a3a5a7a9a11=a75=243=35, ∴a7=3,

2a9aa∴117=a7=3. a11a11答案：3

8.【解析】由题意知an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3),

∴数列{an+3}是以a1+3=4为首项,以2为公比的等比数列. ∴an+3=4×2n-1=2n+1, ∴an=2n+1-3. 答案：2n+1-3

【方法技巧】构造等比数列求通项公式

递推关系为an+1=qan+b的数列,在求其通项公式时,可将an+1=qan+b转化为

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an+1+a=q(an+a)的形式,其中a的值可由待定系数法确定,即qan+b=an+1=qan+(q-1)a⇒a=

b(q≠1). q19.【解析】(1)当n=1时，a1=S1=2+c, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,

2c,n1∴ann1. *2,n2,nN∵数列{an}为等比数列, ∴a1=2+c=1, ∴c=-1.

∴数列{an}的通项公式an=2n-1. (2)∵bn=Sn+2n+1=2n+2n, ∴Tn=(2+22+…+2n)+2(1+2+…+n) =2(2n-1)+n(n+1)=2n+1-2+n2+n.

10.【解析】(1)设等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d. 依题意得,a-d+a+a+d=15，解得a=5. 所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去). 故{bn}的第3项为5，公比为2. 由b3=b1·22,即5=b1·22，解得b1=.

所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为:bn=×2n-1=5×2n-3.

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5(12n)55(2)数列{bn}的前n项和Sn452n2,即Sn52n2,

41245Sn15552n14所以S1,2. 42S552n2n455因此数列{Sn}是以为首项，公比为2的等比数列.

42【变式备选】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*), (1)求证数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

【解析】(1)由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1) 又a1+1≠0，所以

an112. an1即{an+1}为等比数列. (2)由(1)知an+1=(a1+1)qn-1 即an=(a1+1)qn-1-1=2×2n-1-1=2n-1.

3111.【解析】(1)由bn,n∈N*,

2n可得bn1,n为奇数

2,n为偶数又bnan+an+1+bn+1an+2=0,

当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3; 当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5; 当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a5=4. (2)对任意n∈N*,

a2n-1+a2n+2a2n+1=0, ①

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2a2n+a2n+1+a2n+2=0, ② a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0, ③ ②-③,得a2n=a2n+3. ④

将④代入①,可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1) 即cn+1=-cn(n∈N*) 又c1=a1+a3=-1,故cn≠0, 因此

cn11,所以{cn}是等比数列. cn【探究创新】

【解析】(1)∵一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β, 由根与系数的关系易得α+β=∵6α-2αβ+6β=3, ∴

6an123, anan1213an11,αβ=, anan即an1an.

1123212∴an1(an),

323(2)∵an1an,

2231, 当an-≠0时,

232an322当an-=0，即an时，

3322此时一元二次方程为x2x10,

33an1即2x2-2x+3=0， Δ=4-24＜0，

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∴不合题意，即数列{an}是公比为的等比数列.

(3)由(2)知:数列{an}是以a1为首项,公比为的等比数列,

2323762312122312∴a211n1n32(2)(12)n,

即a1n2n(2)3,

∴数列{an}的通项公式是a1nn()223.- 8 -