课时提能演练(三十二) 5.3

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课时提能演练(三十二)

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题6分，共36分)

S4

1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2－a5＝0，则＝( )

S2(A)5 (B)8 (C)－8 (D)15

2.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)192

3.已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log1(a5＋

3a7＋a9)的值是( )

11(A)－ (B)－5 (C)5 (D)

55

4.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )

15313317(A) (B) (C) (D) 2442

5.(易错题)在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )

(A)0 (B)1 (C)－1 (D)2

a5

6.在公比q＜1的等比数列{an}中，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则等于( )

a7

- 1 -

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5623(A) (B) (C) (D) 6532二、填空题(每小题6分，共18分)

1117.(2012·杭州模拟)已知等比数列{an}中，a2＝，a3＝，ak＝，则k＝ .

24648.等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝ .

9.(2012·厦门模拟)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为 . 三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(预测题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋c. (1)求c的值并求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝Sn＋2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

11.(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式；

5

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列.

4【探究创新】

(16分)设一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3 (1)试用an表示an＋1；

2

(2)求证：数列{an－}是等比数列；

3

- 2 -

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7

(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式.

6

答案解析

1.【解析】选A.∵8a2－a5＝0， ∴8a41q＝a1q， ∴q3＝8，∴q＝2， ∴S4S＝1－q42

＝1＋q2＝5. 21－q2.【解析】选B.根据题意及等比数列的性质可知：a53

a＝27＝q，23，则数列前4项和S3(1－34)

4＝1－3＝120.

3.【解析】选B.∵log3an＋1＝log3an＋1， ∴an＋1＝3an，

∴数列{an}是公比为3的等比数列， ∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3＝9×33＝35， ∴log1(a5＋a7＋a9)＝log513＝－5.

334.【解析】选B.设公比为q(q＞0)，则q≠1，由题意知

22

a41q1a1(1qq2)7，即a1q＝1a1(1＋q＋q2)＝7

，

a1

解得

＝4q＝1

2

，

- 3 - q＝3，aa21＝q＝

∴

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15

4[1－()]

231

∴S5＝＝. 141－2

5.【解题指南】解题时首先注意公比是否为1，结合前n项和公式的变形对比Sn＝3n＋k求解即可.

【解析】选C.据题意知数列为等比数列，易知其公比q≠1.又当公比q≠1时，a1(1－qn)a1a1na1

等比数列前n项和公式为Sn＝＝－q，令＝a，

1－q1－q1－q1－q则有Sn＝a－aqn，故若Sn＝k＋3n，则k＝－1.

a51

6.【解题指南】＝2，故只需求出q2即可，利用a2·a8＝a4·a6可先求出a4·a6

a7q再求q2.

【解析】选D.∵a2a8＝a4a6＝6，a4＋a6＝5， ∴a4，a6是方程x2－5x＋6＝0的两实根. 又公比q＜1，∴a4＝3，a6＝2， 2∴q＝，

3

2

a513∴＝2＝. a7q2

7.【解析】设公比为q. 11∵a2＝，a3＝，

24

a3111∴q＝＝，ak＝()k－1＝，

a22264解得k＝7. 答案：7

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8.【解析】∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an， ∴q2＋q－6＝0， 又q＞0，∴q＝2， 1

由a2＝a1q＝1得a1＝，

21

(1－24)215∴S4＝＝. 1－2215

答案：

2

9.【解析】当q＝1时，不符合题意； a1(1－qn)

当q≠1时，Sn＝，

1－q又∵2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2， ∴2－2qn＝2－qn＋1－qn＋2， 即2＝q＋q2，∴q＝－2. 答案：－2

10.【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2＋c， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝2c，n12，n2，nNn1.

∵数列{an}为等比数列，∴a1＝2＋c＝1，∴c＝－1. ∴数列{an}的通项公式an＝2n－1. (2)∵bn＝Sn＋2n＋1＝2n＋2n，

∴Tn＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋…＋n)

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＝2(2n－1)＋n(n＋1)＝2n＋1－2＋n2＋n.

11.【解析】(1)设等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d. 依题意得，a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去). 故{bn}的第3项为5，公比为2. 5

由b3＝b1·2，即5＝b1·2，解得b1＝.

4

2

2

5

所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：

45n－1

bn＝×2＝5×2n－3.

4

5

(1－2n)455

(2)数列{bn}的前n项和Sn＝＝5×2n－2－，即Sn＋＝5×2n－2，

1－244

5n155524＝所以S1＋＝，＝2. n242S552n4Sn155

因此数列{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列.

42【变式备选】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)， (1)求证数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式.

【解析】(1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1) 又a1＋1≠0，所以

an11＝2.即{an＋1}为等比数列. an1- 6 -

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(2)由(1)知an＋1＝(a1＋1)qn－1

即an＝(a1＋1)qn－1－1＝2×2n－1－1＝2n－1. 【探究创新】

【解析】(1)∵一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β， 由根与系数的关系易得α＋β＝an＋11

a，αβ＝，

nan∵6α－2αβ＋6β＝3， ∴

6an＋1a－2＝3，即a11

n＋1＝2an＋3

. nan(2)∵a11n＋1＝2an＋3，

∴a212

n＋1－3＝2(an－3

)，

当a2a2n+1-n－3≠0时，3＝1a22，

n-3当a23＝0，即a2

n－n＝3

时，

此时一元二次方程为23x2－2

3x＋1＝0，

即2x2－2x＋3＝0， Δ＝4－24＜0，

∴不合题意，即数列{a2

n－3

}是等比数列.

(3)由(2)知：数列{a22721n－3}是以a1－3＝6－3＝2为首项，公比为- 7 - 1

2

的等比数列，

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211n－11n

∴an－＝×()＝()，

32221n2即an＝()＋，

23

12

∴数列{an}的通项公式是an＝()n＋. 23

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