圆锥曲线离心率取值范围的九种求法

ｓｈｕｘｕｅｄａｓｈｉｊｔｅ——团雒曲线离．弋率取值范围的九种求；去天津市蓟县第一中学包建民ｏ：．一’：·ｏ：一’々－·｝”：一、：··Ｘ·矗·ｑ一心ｏｆ·—Ｙ·』ｆ一，：，ｊ￡··＋：·？：·』：·以·０ｔｔｔ·’扎ｅｔ，一瓢荫··：：·心·０：＿＾－·＾·ｊ和以－ｏ－ｊｉ－＾·以·ｊｉ－一￡崎４ｉ·一１ｆ·一１ｃｅ，：·ｊ－１－－’：。：··＾…’：，ｏ．．：－·？ｉ··＂－－７·ｊ：一’：－ｏｃ·一。｝叶’ｔ·－２｝求圆锥曲线离心率取值范嗣是高考、数学竞赛中经常考查的热点问题之一，解决这类问题的基本思路是构造关于ａ，ｃ或ｅ的不等式。本文通过实例谈如何通过构造不等式求圆锥曲线离心率的范围。一、利用圆锥曲线上点的坐标范围构造不等式例ｌ：设椭圆≥＋ｙＦ－；ｔ（ａ，ａ㈣的左、右焦点分别为Ｆ，、Ｆ：，若椭圆上存在点Ｐ，使￡ＦｌＰＦ，－９００，则椭圆离心率ｅ的取值范围。解：设点Ｐ的坐标为（ｘ，Ｙ）。又点Ｆ，的坐标为（－ｃ，０），点Ｆ２的坐标为（ｃ，０）。则有ＥＰｔｏ＋ｃ。ｙ），Ｅ尸＝ｏ—ｃ，ｙ）由￡Ｆｌｅｆｔ－９０。，可知币上面，则面．币：０，即（ｘ＋ｃ）（ｘ－ｃ）＋间，整理的ｘ２＋灶２，将其与椭圆方程联立，消去ｙ．可得一－Ｏ—ｚ。ｔａ＿矿ａ。ｂ一１由椭圆上点的坐标的范围及￡Ｆ。ＰＦｚ＝９０。，可知，ｏ≤ｘ２＜ａ２，即ｏｓ笔≥≠ｃ一于是有ｃ２≥ｂ２，ｆｉｌｌＣ２≥ａｋ２，Ｆ２一了ｃ－≥；，所以，ｔｅｌ≥３Ｊ。二、利用二次方程有实根的条件构造不等式以上题为例。解：由椭圆的定义可知ＩＰＦ，Ｉ＋ｌＰＦ２ｌ＝２ａ，于是有ＩＰＦ，Ｉ％１ＰＦ２１％２１ＰＦ，¨ＰＦ２１＝４ａ２，又￡ＦｌＰＦ：＝９００，可知，ＩＰＦｌｌ２＋ＩＰＦｆ＝ＩＦＩＦ２１－－．－－４ｃ２，则可得ＩＰＦｌＩＩＰＦ２ｌ＝２（ａ＇－－ｃ２），所以，ＩＰＦｌＩ、ＩＰＦ２Ｉ可看成方程ｘ２－２ａｘ＋２（ａ２－ｅ２）如的两个实根，于是有Ａ－＿４ａ２－８（ａ～ｚ）≥ｏ，整理的ｅ２一与≥去，所以，ｒｔ㈧。三、利用焦半径的取值范围构造不等式例２：已知双曲线；一告－№，¨，ｏ）的左、右焦点分别为Ｆ，、Ｆ２，Ｐ为双曲线右支上一点，且ＩＰＦ。１＝２１ＰＦ：Ｉ，则双曲线离心率ｅ的取值范围。解：由双曲线的定义有ＩＰＦ。ｌ—ＩＰＦ２１＝２ａ，又ＩＰＦ．１＝２１ＰＦ２１，可求ＩＰＦ２１＝２ａ，又因为ＩＰＦ２Ｉ≥ｃ—ａ，所以，２ａ，＞ｃ－ａ，所以，ｅＥ（１，３】。四、利用均值不等式构造不等式例３：设椭圆≥＋矿ｙ－一ｌ（ａ，６，ｏ）的左、右焦点分别为Ｆ。、Ｆ２，若椭圆上存在点Ｐ，使￡Ｆ。ＰＦ２＝１２０。，则椭圆离心率ｅ的取值范围。解：由余弦定理得ＩＰＦＩｌ２＋ＩＰＦ２１２－２１ＰＦｌｌｌＰＦ２ｌｅｏｓＦｌＰＦ２＝ＩＦＩＦ２１２，即４ｃ２＝＿ＩＰＦＩｌ２＋ＩＰＦ２Ｉ％ＩＰＦ。ｌｉＰＦ２ｌ－（ＩＰＦｌＩ＋ＩＰＦ２Ｉ）２－１ｐＦｌｌｉＰＦ２ｌ，由椭网定义有ＩＰＦＩＩ＋ｌＰＦ２Ｉ＝２ａ，于是４ｃｑ玉＝４ａ２－ＩＰＦｌＩｌＰＦ２Ｉ，ＩＰＦＩ｜ＩＰＦ２ｌ：４ａ２－４ｃ２又ｍｌ院Ｉｓ坚！学蔓“，所以４柚一≤ａ２，＾￡ａｚｚｉ３．即一ｅＩ孚１）。五、利用圆锥曲线重要结论构造不等式以上题为例。解：Ｐ为椭圆上任意一点，当Ｐ点移动到椭圆的短轴的端点Ｂ时，￡ＦｌＰＦ２最大。由已知椭圆上存在点Ｐ，使￡Ｆ．ＰＦ：＝１２０。，所以一定有／＿ＦｌＰＦ２≥１２０。，／＿ＯＢＦ２＞１６００（０为坐标原点），在ＲｔＡＯＢＦ２中，ｓｉｎＺＯＢＦ。ｔ：２＂”７－，所以，“Ｉ詈。｝ｏ六、利用题设中的已知条件构造不等式５４数学大世界２０１１／１万方数据例４：已知双曲线；一告＝ｌｌａ＞Ｌｂ＞０）焦距为２ｃ，直线Ｌ过点（ａ，０）和（Ｏ，ｂ），且点（１。０）到直线ｌ的距离与点（１，０）到直线ｌ的距离之和ｓ≥三ｃ，则双曲线离心率ｅ的取值范围。离公式且ａ＞ｌ，得到点（１，ｏ）到直线ｌ的距离吐’ｉ嚣，同理得到解：直线ｌ的方程为ｉ＋；４１，即ｂｘ＋ａｙ—ａｂ＝Ｏ。由点到直线的距点（一ｌ，ｏ）到直线Ｉ的距离也－警告，·－４＋乩’二２磊ａｂｉ’２ａ，ｂ。，由ｓ≥ｉ４得竽２ｉ４ｃ即５ｎ√；ｔ７≥２．ｃ２，于是５、／两，＞２ｅ２即舵４－２５ｅ２＋２５≤ｏ，解不等式，得；≤ｅ１“，由于ｅ＞ｌ＞０，所以，·ｃＩ警．吲。七、利用直线与圆锥曲线的位置关系满足的条件构造不等式例５：已知双曲线≥一若－ｌ（ａ，ｏ＇６，ｏ）的右焦点分别为Ｆ，若过Ｆ且倾斜角为６００的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率ｅ的取值范嗣。解：设有焦点坐标为Ｆ（ｃ，０），则直线方程为ｖ＝、／§（ｘ＿ｃ），将其代人双曲线方程鲁一告～，整理得（３ａ２－ｂ２）ｘ乙６玉ｘ＋ａ２ｃ２＋ａ铂２＝由（幸）当３ａＺ＿ｂ＿ｚ－：－Ｏ，直线与双曲线的渐近线平行，又因为直线过右焦点，所以此时直线只与双曲线的右支有一个交点。当３ａ２＿ｂｚ≠０，设方程（＋）的两个根为ｘ。、ｘ２＇若使直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则直线与双曲线左、右两支各有一交点，所以，ＸＩ＊ｘ２＜０，即ｊ≮三：＋笋ｃ０’即３ａ２一ｂ２＜０。综上，３ａ２－ｂ２≤ｏ．即３ａ２ｃ２－ａ２，｝２４’所以，ｅ∈【２，＋∞）。（此题也可根据直线斜率与双曲线的渐近线的斜率的大小关系进行判断，若使直线与双曲线的右支有且只有一个交点，只需＝≥，／３，即３ａ２一ｂ２≤ｏ，即３ａ：。＜Ｃ２－－ａ２，≥≥４·所以，ｅＥｆ２。＋∞ｏ八、利用三角形两边之和大于第三边构造不等式例６：已知双曲线≥一号－ｌ（ａ，ｏ．６，ｏ）的左、右焦点分别为ＦＩ、Ｆ２，Ｐ为双曲线左支上一点，Ｐ左准线的距离为ｄ，若ｄ，ＩＰＦ，ｌ，ＩＰＦ，Ｉ成等比数列，则双曲线离心率ｅ的取值范围。解：因为ｄ，ＩＰＦ。ｌ，ＩＰＦ：ｌ成等比数列，所以掣－剽，根据双曲线的第二定义有掣～案卜ｒ，ＩＰＦ。Ｉ＝ｅｌＰＦ２ｌ，又根据第一定义，ｌＰＦｌＩ—ＩＰＦ２Ｉ＝２ａ，求得魍Ｉ。＿１２ａ·隅｛。暑。在ＡＰＦ。Ｆ２中，ＩＰＦ。Ｉ＋ＩＰＦ２Ｉ＞ＩＦ以Ｉ，当Ｐ与Ｆ１，Ｆ２共线时，有ＩＰＦｌＩ＋ＩＰＦｚＩ＝ＩＦｌＦ２Ｉ。所以，ＩＰＦｌＩ“ＰＦ２Ｉ≥ＩＦＩＦ２１，即旦ｅ－－Ｉ＋蓦＞２ｃ，ｅ乙２ｅ—ｌ≤ｏ，ｌ一、／乏≤ｅ≤ｌⅣ２，又ｅ＞１，所以，ｅ∈（１，１＋、／２１。（此题也可根据焦半径的范围构造不等式，解法略）九、利用求函数值域构造不等式例７：设ａ＞ｌ则双曲线事一毒寺·ｔ的离心率ｅ的取值范围。解：＾妥。虫等业。｛＋！＋２：（！＋１）㈠，·．‘ａ＞１．·．ｏｃ：ｔＩ·二２ｔ（：＋１）㈡”，即２＜ｅ２＜５＇．．．ｅ（忻。怕）。圆锥曲线离心率取值范围的九种求法

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

包建民

天津市蓟县第一中学

数学大世界（教师适用）

SHUXUE DASHIJIE(JIAOSHI SHIYONG)2011(1)

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