2018-2019学年广西南宁市第三中学高一下学期期中考试 数学 解析版

数学 2019.5

一、选择题（每小题5分，共60分）

5

1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )

13

12A．

5

12B．－

5

5C． 12

5D．－

12

2．已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝( )

A． 5

B． 25

C．10

D．5

246

3．数列0，，，，…的一个通项公式为( )

357

A．an＝

n－1

n＋2n－1

B．an＝ 2n＋12（n－1）

C．an＝

2n－12nD．an＝ 2n＋1

4．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( )

A．－1

B．0

C．1

D．6

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝13，b＝3，A＝60°，则边c＝( )

A．1

B．2

C．4

D．6

6．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )

2A．－

3

4B． 3

1C． 2

1D． 3

7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝( )

A．2－1

nB．2＋1

n-1

C．2n－1 D．2(n－1)

8．函数f(x)＝cos 2x＋6cos

A．4

π－x的最大值为( )

2

C．6

n2

2

B．5

*

D．7

2

2

9．数列{an}中，已知对任意n∈N，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3－1，则a1＋a2＋a3＋…＋an等于( )

A．(3－1)

n2

1nB． (3－1)

4

C．9－1

n1nD． (9－1)

2

10．已知||＝1，||＝3，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈

R)，则的值为( )

A．2

5

B． 2

C．3

D．4

mnπ11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且对于任意x∈R，2

π有f(x)≤f 成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )

3

2πA．－，0 3π B．－，0

3

C．

2π，0

3

D．

5π，0

3

1*

12．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N)，其前n项和为Sn，则在

（n＋1）n＋nn＋1

数列S1，S2，…，S2 019中，有理数项的项数为( )

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40=________ 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且

A．42

B．43

C．44

D．45

a＝1，b＝3，则S△ABC＝________．

15．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的

取值范围是________．

16．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝6，a3＋a6＝27,设Tn＝n－1，若对于一切正整

3·2

数n，总有Tn≤t成立，则实数t的取值范围是________．

三、解答题（共70分） 17．（本小题满分10分）

已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)＋cos 2x． (1)求f(x)的最小正周期；

2

Snπ(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．

2

18．（本小题满分12分）

(1)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1＋a2＝－3，S5＝10，求a9． (2)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，求xyz的值．

2

19．（本小题满分12分）

(1)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，求a与b的夹角θ． (2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3， ＝2，求·的值．

20．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a－b)cos C－ccos B＝0． (1)求角C的值；

(2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积．

21．（本小题满分12分）

设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3． (1)求an；

1

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．

Sn

22．（本小题满分12分）

若数列{an}的前n项和Sn＝2an－2． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝an·log1an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，

2试求实数m 的取值范围．

高一段考数学试题参考答案

55

1．D ∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴tan α＝－．

1312

2．A ∵a∥b，∴ x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝（－1）＋2＝5． 3．C 分子0，2，4，6都是偶数． 4．B a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0．

5．C a＝c＋b－2cbcos A⇒13＝c＋9－2c×3×cos 60°，即c－3c－4＝0，

解得c＝4或c＝－1(舍)．

6．A ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)，因为A，B，C三点共线，

2

所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－．

3

7．A 由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴an＋1＝2，∴an＝2－1．

311π2

8．B 由f(x)＝cos 2x＋6cos－x＝1－2sinx＋6sin x＝－2sin x－＋，

222

所以当sin x＝1时函数的最大值为5．

9．D ∵a1＋a2＋…＋an＝3－1，n∈N，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3

∴当n≥2时，an＝3－3∴an＝2·3

2

1

22

2

2

2

2

2

2

2

nn2

n*n－1

－1，

nn－1

＝2·3

n－1

，又n＝1时，a1＝2适合上式，

n－1

，故数列{an}是首项为4，公比为9的等比数列．

n2

2

4（1－9）1n因此a＋a＋…＋an＝＝(9－1)．

1－92

10．C ∵·＝0，∴⊥，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，

＝(1，0)，＝(0，3)，＝m＋n＝(m，3n)． ∵ tan 30°＝3n3m

＝，∴ m＝3n，即＝3． m3n

1π11．A 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝．因为f(x)≤f 恒成

23

立，

1πππππ所以f(x)max＝f ，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，

2322331π2π1π故f(x)＝sinx＋．令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)， 323322π故f(x)图象的对称中心为2kπ－，0(k∈Z)，

3

2π当k＝0时，f(x)图象的对称中心为－，0． 3

1

12．B an＝ （n＋1）n＋nn＋1

（n＋1）n－nn＋1

＝ [（n＋1）n＋nn＋1][（n＋1）n－nn＋1]＝

nn＋1－． nn＋1

22n＋1334n＋1n＋－＋－＋…＋－＝1－， 22n＋1334n＋1n2

所以Sn＝1－

因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为bn=n－1(n≥2)， 所以n－1≤2 019，且n≥2，所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43．

13．150 数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，

因此有(S20－S10)＝S10(S30－S20)．即(S20－10)＝10(70－S20)，

故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40， 故S40－S30＝80．S40＝150．

14． 31

因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°．由正弦定理，得＝2sin A2

2

2

3

，

sin 60°

1

解得sin A＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，

213

所以S△ABC＝ab＝．

22

31115． －，∪，＋∞

422

由已知得＝－＝(3，1)，＝－＝(2－m，1－m)．若∥， 1

则有3(1－m)＝2－m，解得m＝．

2

由题设知，＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)． 3

∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，可得m>－．

41

由题意知，当m＝时，∥，且与同向．

2

311故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是－，∪，＋∞． 422

316． ，＋∞ 2

a1＋d＝6，a1＝3，

设公差为d，由题意得：解得∴an＝3n．

2a1＋7d＝27，d＝3，

3n（n＋1）

则Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，∴Tn＝，Tn＋1＝n22

（n＋1）（n＋2）

， n＋1

2

（n＋1）（n＋2）n（n＋1）（n＋1）（2－n）

∴Tn＋1－Tn＝－＝， n＋1nn＋1

2223

∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝12

33∴Tn的最大值是，故实数t的取值范围是，＋∞． 22

17．(1)因为f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋cos 2x

π＝1＋sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋＋1，

4

2π

所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π．

2π(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝2sin2x＋＋1． 4ππ5ππ当x∈0，时，2x＋∈，，

2444

2

2

π5π由正弦函数y＝sin x在，上的图象知，

44

πππ

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值2＋1；

428π5ππ

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0．

442

π综上，f(x)在0，上的最大值为2＋1，最小值为0．

2

18．(1)设数列{an}的公差为d，

a1＋（a1＋d）＝－3，

由题设得 5×4

5ad＝10，1＋2

a1＝－4，

解得

d＝3，

2

因此a9＝a1＋8d＝20．

(2)∵－1，x，y，z，－3成等比数列，

∴y＝xz＝(－1)×(－3)＝3，且x＝－y>0，即y<0， ∴y＝－3，xz＝3，

2

2

∴xyz＝－33．

19．(1)因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|，

2

a·b－2|a|212π

则cos θ＝＝． 2＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝

|a||b|4|a|23

(2)∵＝3， 33

∴＝＋＝＋＝＋，

4411

＝－＝－＋，

43

11

∴·＝(4＋3)·(4－3)

412

112222

＝(16－9)＝(16×6－9×4)＝9 484820．(1)根据正弦定理，(2a－b)cos C－ccos B＝0

可化为(2sin A－sin B)cos C－sin Ccos B＝0．

整理得2sin Acos C＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A． 1∵02π

又∵03

1

(2)由(1)知cos C＝，又a＋b＝13，c＝7，

2

∴由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝(a＋b)－3ab＝169－3ab＝49， 解得ab＝40．

11π

∴S△ABC＝absin C＝×40×sin＝103．

22321．(1)设数列{an}的公差为d，

3a1＋3d＝a1＋6d，

由题意得 （a＋7d）－2（a＋2d）＝3，11

2

2

2

2

解得a1＝3，d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1． (2)由(1)得Sn＝na1＋∴bn＝

n（n－1）

d＝n(n＋2)，

2

1111

＝－．

n（n＋2）2nn＋2

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn

11111－1＋1－1 ＝1－＋－＋…＋3242n－1n＋1nn＋21111

－＝1＋－ 2n＋1n＋221311

＋＝－．

42n＋1n＋2

22．(1)由Sn＝2an－2，得当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，

两式相减，得an＝2an－2an－1， ∴当n≥2时，an＝2an－1，即

an＝2． an－1

又n＝1时，S1＝a1＝2a1－2，a1＝2， 则{an}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＝2．

(2)bn＝2·log12＝－n·2，

2nnnn∴－Sn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋n·2，①

∴－2Sn＝1×2＋2×2＋…＋(n－1) ·2＋n·2，② ①－②，得Sn＝2＋2＋2＋…＋2－n·2

n2

3

2

3

23nnn+1

nn+1

2（1－2）n+1n+1n+1＝－n·2＝2－n·2－2．

1－2

由Sn＋(n＋m)an＋1<0，

得2－n×2－2＋n×2＋m×2<0对任意正整数n恒成立， 1n+1n+1

∴m·2<2－2，即m21

∵n－1>－1， 2

∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]．

n+1

n+1

n+1

n+1