南宁三中2018~2019学年度上学期高一期考
数学试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合A.
B.
C.
D.
则
（ ）
【答案】A 【解析】 因为
,
,所以
故选A.
考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2.如果
，且
，则是（ ）
A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 【答案】C 【解析】 试题分析：由题
，是第二或第三象限。
，是第一或第三象限。
综上：是第三象限的角.
考点：角的象限与三角函数值的正负. 3.A. C.
B. D.
的定义域为（ ）
【答案】C 【解析】
试题分析：要使函数有意义，需满足：考点：函数的定义域． 4.已知是第四象限角，A.
B. C.
，则 D.
( )
，所以
．
【答案】C
【解析】 【分析】
根据同角三角函数关系式和角α在第四象限，确定cosα的值，再求得tanα的值即可。 【详解】因为解得
，代入
又因为α在第四象限 所以所以所以选C
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式，角在四个象限的符号，属于简单题。 5.函数A.
B.
的零点所在的区间为（ ） C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意易知函数f（x）=3x+2x﹣7在定义域上是连续增函数，再由函数零点的判定定理求解． 【详解】易知函数f（x）=3+2x﹣7在定义域上是连续增函数， f（1）=3+2﹣7=﹣2＜0， f（2）=9+4﹣7=6＞0， f（1）f（2）＜0；
由零点判定定理，可知函数f（x）=3+2x﹣7的零点所在的区间为（1，2）； 故选：B．
【点睛】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题． 6.函数f（x）=ln（A.
B.
）的递增区间为（ ） C.
D.
x
x
【答案】C 【解析】
求得函数的定义域为函数在在区间
单调递增，内函数在
上单调递增，选C.
，设内函数
，外函数为
，外
单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”，所以函数f(x)
7.若，则( )
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】
由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求得sinα﹣sinαcosα﹣3cosα的值． 【详解】由∴
可知：，∴
，
2
2
又故选C.
==.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 8.如图，矩形
的三个顶点，，分别在函数
，
，
，的图像上，且矩形的边
分别平行于两坐标轴，若点的纵坐标为，则点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
由图可知点在函数所以将
上，又点的纵坐标为，
，
的图像上，
代入对数函数解析式可求得点的坐标为
所以点的横坐标为，点的纵坐标为，点在幂函数所以点的坐标为
，
所以点的横坐标为，点的指数函数所以点的坐标为
，
的图像上，
所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为故选：．
9.已知定义在上的函数解集为（ ） A. C.
D.
B.
的图象关于轴对称，且函数
在
上单调递减，则不等式
的
．
【答案】A 【解析】 【分析】
函数图像关于轴对称，故函数在【详解】依题意，函数故
是偶函数，且
上递增，由此得到在
上单调递增，
，故选A.
，两边平方后可解得这个不等式.
【点睛】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题. 10.将函数像，则函数A.
图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图像的一个对称中心是（ ） B.
C.
D.
的图
【答案】B 【解析】
分析：根据三角函数的放缩变换，可得到详解：函数得到由
， ，可得
，
，由余弦函数的对称性可得结果.
图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
当时，对称中心为，故选B.
可求得函数的周期为
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数；由
可得对称中心横坐标；由
可得对称轴方程.
若
11.有以下四个命题：①集合②函数
则
只有一个零点;③函数
则的取值范围为
，若
；
的周期为；④角的终边经过点
.这四个命题中，正确的命题有（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】
由A为空集和不为空集，可得m的不等式组，解不等式可得m的范围，可判断①；
由y＝|log3x|和y＝3﹣x的图象交点个数，可得函数y＝3x|log3x|﹣1的零点个数，可判断②； 求得f（x+π）＝f（x），即可判断③；由任意角三角函数的定义，计算可判断④． 【详解】对于①，A＝∅时，即2m﹣1 的零点个数等价于方程 |log3x|的解的个数， ⇔1≤m≤2． 与y＝|log3x|的图象，如图所示： 易判断其交点个数为2个，所以函数由f（x+π）＝|cos（x+π正确； 对于④，当x=0时，故选A. 但）|＝|cos（x有两个零点，∴②不对； ）|＝f（x），可得函数 的周期为π，故③ 可判④错误. 【点睛】本题考查集合的包含关系和函数的零点个数问题、三角函数的周期求法，以及任意角三角函数的定义，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题． 12.已知函数 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 运用排除法，令t＝x以及t＝x1，则t∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）可得f（t）＝a，作出y＝f（x）的图象， ，则方程 的实根个数不可能为（ ） 1的图象，讨论a＝1，a＝log35，log35＜a＜2时，求得t的范围，可得x的解分别为6， 7，8，即可得到结论． 【详解】∵令t＝x， 1，则t∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） 可得f（t）＝a， 画出y＝f（x）的图象， 当a＝1时，t＝﹣1，，2，4，由t＝x当a＝log35，即有t＝﹣3，，3±由t＝x1的图象可得x有7个解； 1的图象可得x有6个解； ， 当log35＜a＜2时，t有一个小于﹣3的解，三个大于1的解， 由t＝x1的图象可得x有8个解； 的实根个数不可能为5． 综上可得方程故选：D． 【点睛】本题重点考查分段函数的运用、函数的零点等知识，注意运用换元法和数形结合思想方法，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.【答案】【解析】 【分析】 由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【详解】sin150°•cos240°＝sin30°•（﹣cos60°）故答案为： ． •（ ） ， 的值为_______. 【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题． 14.函数【答案】 【解析】 【分析】 把函数转化为cosx，把cosx看为自变量，利用二次函数求最值． 【详解】：y＝sinx+cosx＝﹣cosx+cosx+1＝﹣（cosxcosx时，ymax． 2 2 的最大值为_____________. ） 2 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力． 15.若函数【答案】【解析】 的定义域为 ，则函数 的定义域为________. 【分析】 根据 的定义域为的定义域. 【详解】因为则所以故填 . 的定义域为 ， ，解得. ， 知， 要有意义则需 ，即可求出 要有意义则需的定义域为 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题. 16.对函数 ,若 为某一个三角形的边长，则称 为“三角函数”，已知函数 为“三角函数”，则实数的取值范围是__________ 【答案】【解析】 【分析】 因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围． 【详解】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立， 由于f（x） 1 ， ①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件． ②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t， 同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t， 由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2≥t，解得1＜t≤2． ③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1， 同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1， 由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t综上可得， ． t≤2， 故实数t的取值范围是[，2]， 故答案为：[，2] 【点睛】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题． 三、解答题：第17题10分，其余每题都是12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（1）化简：. （2）已知【答案】（1）【解析】 【分析】 ，且；（2） . 求. （1）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． （2）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinα﹣cosα的值，可得sinα 和cosα的值，进而求得tanα的值． 【详解】（1）． （2）由题意得因为故 ，故 ，sinα＞0，cosα＜0，∵ ，又sinα＞0，cosα＜0， ， ， 【点睛】本题主要考查应用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于中档题． 18.（1）求值：（2）已知函数不等式【答案】（1）【解析】 ；（2）（3，+∞）. ； 的图象恒过定点，且点又在函数 的图象上，解 【分析】 （1）进行对数式的运算即可； （2）容易看出函数g（x）过定点（2，2），从而得出A（2，2），从而得出从而得出g（x）＝2x﹣2+1，这样解2x﹣2+1＞3即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）原式＝2log32﹣（log332﹣log39）+3log32﹣3 ＝2log32﹣5log32+2+3log32﹣3 ＝﹣1； （2）由题意知定点A的坐标为（2，2）； ∴ 解得a＝1； ∴g（x）＝2x﹣2+1； ∴由g（x）＞3得，2x﹣2+1＞3； ∴2x﹣2＞2； ∴x﹣2＞1； ∴x＞3； ∴不等式g（x）＞3的解集为（3，+∞）． 【点睛】本题考查对数式的运算，对数的定义，考查了指数函数过定点的问题，以及运用指数函数的单调性解不等式，属于中档题． 19.设函数对应的的值． 【答案】当【解析】 【分析】 设t＝log2x，由对数函数性质可得t的取值范围，原函数可化为g（t）＝（t+2）（t+1），（﹣2≤t≤2），利用二次函数的性质求解即可． 【详解】设t＝log2x， ∵ ，则t∈[﹣2，2] 时，取得最小值 ；当 时，取得最大值. 的定义域为 ,求 的最大值与最小值，并求出函数取最值时 ； ，解出a＝1， 设g（t）＝（t+1）（t+2），t∈[﹣2，2]， ∵y＝（t+1）（t+2）＝t2+3t+2在区间∴当 即 是减函数，在区间 ； 是增函数， 时，y＝f（x）有最小值 当t＝log2x＝2，即x＝4时，y＝f（x）有最大值f（4）＝g（2）＝12． 【点睛】本题主要考查对数函数的性质与对数的运算、函数的单调性与最值以及换元法，属于中档题． 20.已知函数（1）求的值； （2）求函数（3）当 的值域； 时， 恒成立，求实数的取值范围． ； （3） . 是定义在上的奇函数． 【答案】（1）2 ； （2）【解析】 【分析】 根据奇函数的性质，由 列出方程，可求出的值；（2）先分离参数可得 由 判断出 ，函数 单调递减，利用指数函数的性质可求出值域． ，对 ，再把t分离出来转化为 时恒成立，利用换元法：令，代入上式并求出的范围，再转化为 求【详解】 在函数 上的最大值． 是定义在 ． 上的奇函数， ，解得 由又 得， ， ， ， ， 函数由当当则等价于 的值域可得时，时， . ， ， 恒成立， 对 时恒成立， 令即当 ，在 ，即，当时恒成立， 上单调递增， 上的最大值，易知在 ， 时有最大值0，所以 ． 故所求的t范围是： 【点睛】本题考查了奇函数的性质应用，恒成立问题以及转化思想和分离常数法求参数范围，难度较大．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数即可）；② 数形结合(21.已知函数 图象在 恒成立( 即可)或 或 恒成立（ 恒成立. 上方即可)；③ 讨论最值 的部分图象如图所示： （1）求（2）求（3）将 的解析式； 的单调增区间和对称中心坐标； 的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平 的图象，求函数 （2） . 在 上的最大值和最小值. 最小值为 ， 移1个单位，得到函数【答案】（1）最大值为【解析】 （3） 【解析】试题分析：（1）由最值可求 进而得，最后将最值点代入解析式求，（2）把 由最值点横坐标之间距离可求周期， 看作整体，根据正弦函数性质可列不等式（单调 区间）或方程（对称中心横坐标），解出可得单调增区间和对称中心横坐标，而对称中心纵坐标由图象向下平移得到，（3）先根据图象变换得到 ，再根据范围确定 函数图象与性质确定最值. 试题解析：解：（1）由图象可知 ， 表达式：范围，最后根据正弦 又由于，所以， ，所以 ， 由图象及五点法作图可知：所以 （2）由（1）知，令所以令所以 的单调递增区间为 ，得 的对称中心的坐标为 ， ，得 . ， ， ， . ， ， （3）由已知的图象变换过程可得：因为所以当当 ，所以 ，得时，即 时， 取得最小值 . ， 取得最大值,函数 的解集; ,均存在，（2） 22.已知函数(1)若 ,求不等式 (2)若对任意【答案】（1）【解析】 ,使得成立,求实数的取值范围. 分析：（1）根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解相应不等式； （2）求出 的最小值 ， ，，无解 时， 或 ， ； 的最小值 ，然后再解不等式 ，注意分类讨论． 详解：（1）依题意得当当 时，时， 所以原不等式的解集为（2）因为所以当 当所以当 在当则当又因为 时， 时， 上单调增，在时，在时， ， 上单调增，在的上单调增， 时， 在 上单调增，在上单调减 上单调减，在上单调增 所以①当上单调增， ，结合 ，又因为 ， 时， 时， 的单调性，故 ， ②当综上， 时，又因为 所以①当综上得： 当当当 时，；②当 时，由时，由时，由 得得 得，故，故 ，故 综上所述：的取值范围是 点睛：不等式恒成立问题的等价转化： ①对任意②对任意③存在 ，，存在，对任意 ， ，使，使 恒成立 成立成立 ； ； ． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容