广西南宁市第三中学2018-2019学年高一下学期第三次月考数学试卷

南宁三中2018-2019学年度下学期高一月考（三）

数学试题

命题人：颜显桐、黄华超 审题人：何文红、王洋洋

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若cos,13,，则tan等于（ ） 2B.

A. 2 42 4C. 22 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】

利用同角三角函数关系中，正弦与余弦的平方和为1这个公式，可以求出sin，再利用同角三角函数的商关系，求出tan的值.

1221【详解】Qcos,,,sin1， 33232tan故选：C

sin22. cos【点睛】本题考查了同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.

2.设0,,0,2，那么的取值范围是（ ） 223B. A. 0,

565, 66C. (0,)

D.

, 6【答案】D 【解析】

由题设得0<2α<π，0≤

≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π. 3663633.在等差数列an中，已知a3=1, a7=3，则数列an的前9项之和等于（ ） A. 9 【答案】B 【解析】 【分析】

利用等差数列的下标性质，可得出a1a9a3a74，再由等差数列的前n项和公式求出S9的值.

【详解】在等差数列an中Qa1a9a3a74,S9故选：B

【点睛】本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前n项和公式，考查了数学运算能力.

4.设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则

B. 18

C. 36

D. 52

a1a9918，

2M{y|y2x},P{y|yx1}（ ）

A. BC 【答案】C 【解析】

uuurB.

v1uuuAD 2C. AD

uuurD.

v1uuuBC 2uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuv1uuuv1uuuvuuuvuuuvEBFCECBCFBBCECFB=ABACABACAD,

222选A.

rrrr5.已知向量a(1,3),b(3,m)，若向量a,b的夹角为，则实数m（ ）

6A. 23 【答案】B

B.

3

C. 0

D. 3

【解析】

rrrabrurr,所以cos33m,解得m3，故选B. 因为cosa,bu|ab|6232m2考点：平面向量的数量积、模与夹角. 【此处有视频，请去附件查看】

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A. 192里 【答案】B 【解析】

由题意有：此人每天所走的路程形成等比数列an，其中公比qB. 96里

C. 48里

D. 24里

1,S6378，则2a1(1q6)1378，解出a1192，所以a3a1q2192()248，选C.

1q2

7.在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)2sin2x,g(x)sin2x，

43h(x)cosx的部分图像如图所示，则（ ）

6

A. a为f(x)，b为g(x)，c为h(x) B. a为h(x)，b为f(x)，c为g(x)

C. a为g(x)，b为f(x)，c为h(x) 【答案】B 【解析】 【分析】

D. a为h(x)，b为g(x)，c为f(x)

从振幅、最小正周期的大小入手：b的振幅最大，故b为f(x)；a的最小正周期最大，故a为h(x)，从而c为g(x). 【详解】f(x)22sin2x的振幅为2，最小正周期为：；

422g(x)sin2x的振幅为1，最小正周期为：；

32h(x)cosx的振幅为1，最小正周期为：2，b的振幅最大，故b为f(x)，a的

6最小正周期最大，故a为h(x)，从而c为g(x)，故本题选B.

【点睛】本题考查了正(余)弦型函数的振幅、最小正周期，考查了数形结合思想.

y08.设变量x，y满足约束条件{xy10，则z=2x+y的最大值为

xy30A. —2 【答案】C 【解析】

解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6

B. 4

C. 6

D. 8

x24x6,x09.设函数f(x)，则不等式f(x)>f(1)的解集是（ ）

x6,x0A. (3,1)U(3,) C. (1,1)U(3,)

B. (3,1)U(2,) D. (,3)U(1,3)

【答案】A 【解析】

x24x6,x0试题分析：由函数f（x）＝{得f(1)3不等式化为f(x)3即

x6,x0{x0x0{或所以x3或0x1或-3x0x3或-3x1

x24x63x63考点：分段函数和解不等式． 【此处有视频，请去附件查看】

10.等比数列{an}的前n项和为sn，又S4和S12是方程x220x750的两根S4S12.则S8（ ） A. 10

B. 10或5

C. 5

D. 5或

10

【答案】A 【解析】 分析】

解出方程的解，进而求出S4和S12，利用等比数列前n项和性质，可知

【2S4,S8S4,S12S8成等比数列，这样根据等比中项，可得等式，这样可以求出S8的值.

【详解】x220x750(x5)(x15)0x15,x215，由题意可知：

S45,S1215.又S4,S8S4,S12S8成等比数列，

4S8S4S4S12S8S810或5，又S8S4qS40,S810.

故选：A

【点睛】本题考查了一元二次方程的解、等比数列前n项和性质，考查了数学运算能力.

11.设锐角ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，且a1,取值范围为（ ）

B2A，则b的

A. (0,2) 【答案】C 【解析】 【分析】

B. (2,2) C. (2,3) D. (1,3)

由正弦定理，结合B2A，可得b2acosA，根据三角形是锐角三角形和

B2A，可以求出角A的取值范围，这样就可以求出b的取值范围.

【详解】由正弦定理可知：

abb，因为B2A， sinAsinBsin2A所以有sinBsin2AsinB2sinAcosA, 则b2acosA，ABC是锐角三角形，所以有又2A2AB3A，从而

6A3，

2，所以A4，所以有

6A4,23，所以2b3. cosA22故选：C

【点睛】本题考查了正弦定理、锐角三角形的性质、余弦函数的性质，考查了数学运算能力.

12.已知函数f(x)x33x(xR)，若不等式f2mmt恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. (,2)U(2,)

2f(4t)0对任意实数t12,B.  2C.

(2,2)

【答案】D 【解析】

D. (,2)

由题意得，f(x)f(x)，则f(x)为奇函数且f(x)在R上单调递增，不等式

f2mmt2f4t0对任意实数t1恒成立，则2mmt24t在t1恒成立，分

离参数

m4t422t22（当且仅当t2时，取等号）2，又因为，则t2tttm2，故选D.

【点睛】本题主要考查函数

恒成立问题的转化，基本不等式的应用，解题的关键是由已知

函数的解析式判断出函数的单调性及函数的奇偶性，利用参变分离法是解决不等式恒成立问题常用方法.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.

sin20cos20cos25sin251 222的值是__________．

【答案】【解析】 【分析】

逆用二倍角的正弦和余弦公式进行化简，然后再利用诱导公式进行角之间的变换，最后计算结果.

11sin40cos501 【详解】原式22cos50cos5021故答案为：

2【点睛】本题考查了二倍角的正弦和余弦公式、诱导公式，逆用公式是解题的关键.

14.若关于x的方程x2axa210有一正根和一负根，则a的取值范围为__________． 【答案】3-1<a<1 【解析】

试题分析：令f(x)= x2+ax+a2-1,由题意得f(0)<0即a2-1<0∴-1点评：基本题型，借助于二次函数图象，建立参数的不等式。数形结合思想的应用。

15.三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，且c=2a，则

cosB__________．

【答案】

3 4

【解析】

a2c2b23试题分析：由题可得bac，又c=2a，所以cosB.

2ac42考点:等比数列的概念，余弦定理.

4xy10016.设实数x,y满足条件x2y80，若目标函数zaxby(a0,b0)x0,y0为12，则【答案】【解析】 【分析】

在平面直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线y最大值

23的最小值为__． ab25 6azx，找到在纵轴上截距最bb23的最小值. ab大时，经过的点，得到等式4a6b12，利用基本不等式求出

【详解】由可行域可得，当x4，y6时，目标函数zaxby取得最大值，

4a6b12，

即

2323ab13ba1325ab1，2.

abab326ab6632故答案为：

25 6的

【点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知

rrrrm(sinC,sinBcosA),n(b,2c)，且mn.

（1）求角A大小.

（2）若a23,c2，求ABC的面积S的大小. 【答案】（Ⅰ）A（Ⅱ）SABC【解析】 【分析】

(1)由mn得sinC,sinBcosAb,2c0，再利用正弦定理化简即得A的值.(2)先由余弦定理得b4（舍去）或b2，再求三角形的面积. 【详解】（1）Qmn， sinC,sinBcosAb,2c0．

2. 31bcsinA3. 2vvvvbsinC2csinBcosA0.

Qbc bc2cbcosA0， sinBsinC1Qb0,c0 12cosA0 , cosA.

22. Q0A,A3（2）在ΔABC中，由余弦定理可知a2b2c22bccosA，

12b244bcos120o， b22b80.

b4（舍去）或b2， ABC 的面积SABC1bcsinA3. 2

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

18.数列{an}的前n项和为Sn，又Sn是方程x22n220nx10nn2（1）求数列{an}的通项公式an.

（2）数列an2n的前n项和为Tn，求Tn. 【答案】（1）an=112n；（2）Sn【解析】 【分析】

（1）求出方程x22n220nx10nn220的解.

11n,n522n9n50,n5

20的解，这样得到Sn的表达式，利用

S1n1aana*，求出数列n的通项公式n；

SSn2,nNn1n（2）根据an的正负性进行分类：分别利用等差数列的前n项和公式求出数列an2n的前n项和为Tn.

【详解】（1）由x2n20nx10nn222220， 0x10nn2Sn10nn2，

n1时，a1S19，

2210n1n1112n， n2时，anSnSn110nna19符合上式，所以an112n.

（2）令an112n0n①n5时，（或n6）

11，又nN， 2Tna12a24an2n242na1a2an 22nnS2nn2n10nn211n.

②n5时，（或n6），

Tna12a24an2n24L2na1a2asasa,an

22n2nS5SnS5nn2S5Sn2n9n50.

11n,n5Sn2

2n9n50,n5【点睛】本题考查了利用前n项和公式求数列通项公式、利用等差数列前n项和公式求数列之和，考查了分类思想.

19.如图所示，已知半圆的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，设

POC.

（1）当60时，求四边形OPDC的面积S.

（2）求四边形OPDC面积S的最大值. 【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）在POC中，利用余弦定理求出PC的长，然后利用三角形面积公式，求出四边形

5353；（2）Smax2 44OPDC的面积S；

（2）在POC中，利用余弦定理求出PC的长，然后利用三角形面积公式，求出四边形

OPDC的面积S的表达式，利用辅助角公式进行化简，根据的取值范围，求出四边形OPDC面积S的最大值.

【详解】（1）在POC中，由余弦定理得：PC2OP2OC22OPOCcos603，所以PC1153 3，SSOPCSPCD12sin603sin60224（2）在POC中，由余弦定理得：PC2OP2OC22OPOCcos54cos，

11SSOPCSPCD12sin(54cos)sin60

2253 2sin34当32即553. 时，Smax264【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式、辅助角公式，考查了数学运算能力.

20.（1）对一切正整数n，不等式

2x1n恒成立，求实数x的取值范围构成的集合. xn1（2）已知x,y都是正实数，且x+y3xy+5=0，求xy的最小值及相应的x,y的取值. 【答案】（1）{x | x<0,或x1}；（2）【解析】 【分析】 （1）根据

25 9n12x111，可以得到1，解这个不等式即可； n1n1x（2）由xy3xy+50，可以得到xy53xy，再由x,y都是正实数，可以得到，这样可以得到3xy2xy50，解这xy2xy（当且仅当xy时，等号成立）个不等式，然后根据等号成立的条件求出x,y的值. 详解】（1）由

n12x1x111，由题意知1，即0，解得x0或x1， n1n1xxx的取值范围构成的集合为：{x|x0或x1}.

（2）解：由xy3xy50，得xy53xy，

2xy5xy53xy，3xy2xy50，

xy13xy50,xy525，即xy， 39

等号成立的条件是xy，此时xy525，故xy的最小值是 39【点睛】本题考查了不等式恒成立问题、以及基本不等式的应用，考查了数学运算能力.

21.已知函数f(x)ax的图像过点(1,)，且点n1,像上，又{bn}为等比数列，b3=a1, b4=a4. （1）求数列{an}及{bn}通项公式.

12annN在函数f(x)ax的图2n1(3n1)anbn（2）若cn，数列的前n项和为Sn，求证：Sn<4.

ncnn2n3【答案】（1）ann1，bn2；（2）见解析

2【解析】 【分析】

x（1）把点(1,)的坐标代入函数f(x)a解析式中，求出a的值，再把

12ann1,nN代入函数f(x)ax的解析式中，求出数列{an}的通项公式，再根据数2n列{an}通项公式，求出a1,a4，也就可以求出等比数列{bn}的公比，最后求出{bn}的通项公式；

（2）根据数列{an}及{bn}的通项公式，可以求出cn的表达式，也就求出

的x1的表达式，最cn1后用裂项相消法求出数列的前n项和为Sn，这样就可以证明出Sn<4.

cnx111【详解】（1）Q函数f(x)a的图像过点1,，a,f(x). 2222anan1nx又点n1,2nN在函数f(x)a的图像上，从而2n1，即ann1，

nn22b3a11,b4a42,公比q2,bnb3qn32n3.

n2n3(3n1)anbn(3n1)2n12(3n1)n， （2）cnnn4141211111112124 cnn(3n1)3n(3n1)3n3n13n3n3nn111111111141L414 c1c2cnnn1223n1Sn【点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函数解析式、以及考查求等比数列的通项公式、利用裂项相消法求数列的前n项和.

2n122.数列{an}满足：a12a22a32an8n1，对任意的nN+都成立，又令

bnnan.

（1）求数列{bn}的前n项和Sn.

24n（2）若Tnn7n19(n1)2，是否存在kN，使SkTk(0,1)，请说明

理由.

4n【答案】（1）Sn33(2n)2；（2）见解析

【解析】 【分析】

2n1（1）根据a12a22a32an8n1，递推当n2时，得到

a12a22a322n2an18(n1)1,nN，两个式子相减，得到

an的表达式，验证当n1时，是否成立，然后用错位相减法，求出数列{bn}的前n项和Sn；

（2）设f(k)SkTk，判断函数f(k)的单调性，然后根据kN，进行判断是否符合题意SkTk(0,1).

【详解】（1）由已知，a18119 已知a12a22a322n1an8n1,nN①

nN②

2n2n2时，a12a22a32an18(n1)1,

①-②得：2n1an8，求得an24n,a19不满足上式.

9,n19,n1. an4n，bnnan4n2,n22,n2n·Snb1b2Lbn922232420Ln24n①

19Sn22320421Ln23n② 2219①-②：Sn9822021L24nn23n

221n2212125n23nS33(2n)24n；

Snn12212（2）由题意，SkTkk27k1424k77k24kf(k)

242当k4时，f(k)单调递增，且f(4)1，所以k4时，

f(k)k27k1424k1，又f(1)=f(2)=f(3)=0，

所以，不存在kN，使得SkTk(0,1).

【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式、以及错位相减法求数列前n项和，考查了数列的函数特征.