2018-2019学年广西南宁市第三中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

试题

一、单选题

1．已知数据x1，x2，x3，…，x100是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上某人2018年8月份的收入x101(约100万元)，则相对于x，y，z，这101个数据( ) A． 平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 B． 平均数变大，中位数可能不变，方差也不变 C． 平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变 D． 平均数变大，中位数可能不变，方差变大 【答案】D 【解析】 【分析】

根据平均数、中位数以及方差的含义分析数据变化趋势. 【详解】

因为数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工2016年10月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100很多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大，由于数据的集中程度受到x101比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大．故选D. 【点睛】

本题考查平均数、中位数以及方差等知识点，考查分析处理数据能力. 2．下列有关命题的说法错误的是（ ） A． 若“pq”为假命题，则p与q均为假命题 B． “x1”是“x1”的充分不必要条件

2C． 若命题p：x0R，x00，则命题p：xR，x20

D． “sinx【答案】D

1”的必要不充分条件是“x” 26【解析】由题可知： x6时， sinx11成立，所以满足充分条件，但sinx时， 22x不一定为6，所以必要条件不成立，故D错

第 1 页 共 18 页

3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 A． B． C． D． 【答案】C

【解析】试题分析：从这4张卡片中随机抽取2张共有６种抽取方法，其中2张卡片上的数字之和为奇数有12,14,32,34共4种抽法，因此所求概率为【考点】古典概型． 4．与命题“若A． 若C． 若【答案】C 【解析】 【分析】

根据原命题与其逆否命题为等价命题，转化求逆否命题即可. 【详解】

其等价的命题为其逆否命题：若x2-2x-3≠0，则x≠3. 【点睛】

本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题，考查基本应用能力. 5．将八进制数135(8)化为二进制数为( )

A． 1110101(2) B． 1011101(2) C． 1010101(2) D． 1111001(2) 【答案】B 【解析】 【分析】

先将八进制数135(8)化为十进制数93，再化为二进制数． 【详解】

,选B.

【点睛】

本题考查不同进制之间转化，考查基本求解能力.

6．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）

第 2 页 共 18 页

，则

，则，则

”等价的命题是 ( ) B． 若 D． 若

，则

，则

．故选Ｃ．

42 B． 2242C． D．

44A． 【答案】B

【解析】试题分析：设正方形的边长为2，那么图中阴影的面积应为

11s1824，而正方形的面积是s24，所以若向该正方形内随机投一

24点，则该点落在阴影区域的概率为p【考点】几何概型．

7．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为＝值为( )

A． 8 B． 8.2 C． 8.4 D． 8.5 【答案】A 【解析】 【分析】

先求平均数得样本点的中心坐标，再根据回归直线必经过样本点的中心求实数m的值. 【详解】

196 1 197 3 200 6 203 7 204 m ，则实数m的

242，故选B. 42依题意得

回归直线必经过样本点的中心，于是有【点睛】

， ,

＝0.8×200－155，由此解得m＝8，选A.

函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直

第 3 页 共 18 页

接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.

8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是

9，则a的可能值为 （ ） 5

A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A

【解析】由已知可得该程序的功能是 计算并输出S11111...112，若该程序运行后输出12aa1a1a1的值是

919．∴a4，故选A． ，则 25a15【考点】程序框图. 9．设p:

值范围是( )

,q:

,若q是p的必要不充分条件,则实数的取

A． B． C． D．

【答案】A 【解析】 【分析】

先解一元二次不等式得p，q,再根据逆否命题与原命题等价得p是q的必要不充分条件，最后根据集合之间包含关系求实数a的取值范围. 【详解】

由2x2-x-1≤0,得≤x≤1.由x2-(2a-1)x+a(a-1)≤0,得a-1≤x≤a.因为q是p的必要不充分条件,

第 4 页 共 18 页

所以q是p的充分不必要条件（或p是q的必要不充分条件）,所以a-1≥且a≤1(等号

不能同时取得),得≤a≤1. 【点睛】

对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，即利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系解题.

x2y210．已知双曲线221(a0,b0) 的左右焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径

ab的圆与双曲线渐近线的一个交点为1,2 ，则此双曲线为 （ ）

x2y2x2y22222y1 B． x1 C． y1 D． x1 A． 4422【答案】B

x2y2【解析】∵双曲线221(a0,b0) 的左右焦点分别为F1,F2，

ab以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2）， ∴由题意知c=14=5， ∴a2+b2=5，① 又点（1，2）在y=

bbx上，∴2，② aa由①②解得a=1，b=2，

y21． ∴双曲线的方程为x42故选：B． 11．设

分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公

共点，且满足，则的值为 ( )

A． B． 1 C． 2 D． 不确定 【答案】C

第 5 页 共 18 页

【解析】 【分析】

根据椭圆、双曲线的定义以及勾股定理可得离心率之间关系,即得结果. 【详解】

由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m， 设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m ① 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ② 又∵

∴

，可得∠F1PF2=900，

故|PF1|2+|PF2|2=4c2③

①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④

将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即

，可得，

因此，故答案为：C 【点睛】

.

本题考查椭圆、双曲线的定义以及离心率，考查基本分析化简求解能力.

12．已知椭圆C:()的右焦点为F，短轴的一个端点为M,直线l:

交椭圆C于A、B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆C的离心率的取值范围为( )

A． B． C． D．

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据椭圆定义求a，再根据点到直线距离公式结合条件列不等式，解得b≥1，最后根据离心率定义求取值范围. 【详解】

第 6 页 共 18 页

如图所示,设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',则四边形AFBF'是平行四边形, ∴4=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a,∴a=2.不妨取M(0,b),

∵点M到直线l的距离不小于,∴≥,解得b≥1,

∴e==≤=,

∴椭圆E的离心率的取值范围是

【点睛】

.

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于不等式，再根据

的关系消掉得到

的关系式，而建立关于

的方程或

的方程或不等式，

要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

二、填空题

13．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为_________. 【答案】400 【解析】 【分析】

根据概率等于频数与总数的比值求单位总人数，再根据比例关系确定青年职员的人数. 【详解】

设青年、中年、老年职员的人数分别为10k，8k，7k，其中k>0.由得k＝40，所以该单位青年职员共有40×10＝400(人)． 【点睛】

在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.

第 7 页 共 18 页

＝0.2，

14．有下列命题: ①“ ②“ ③“ ④“

”是“

”的充要条件;

的解集为R”的充要条件; ”的充分不必要条件;

”是“一元二次不等式”是“直线”是“

平行于直线”的必要不充分条件.

其中真命题的序号为____________. 【答案】④ 【解析】 【分析】

举反例说明①为假命题;分别求一元二次不等式

平行于直线

假. 【详解】

①当x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件,故①为假命题;

②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,故②为假命题;

以及

的解集为R，直线

的充要条件，再根据集合包含关系确定真

③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,所以a=2,因此,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件,故③为假命题;

④lg x+lg y=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0,所以xy=1必成立,

反之不然,因此“xy=1”是“lg x+lg y=0”的必要不充分条件,故④为真命题. 综上可知,真命题是④. 【点睛】

充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条

第 8 页 共 18 页

件．

15．已知命题p：“至少存在一个实数则参数的取值范围是_______． 【答案】【解析】 【分析】

先研究¬p为真时参数的取值范围，再根据补集得¬p为假时参数的取值范围，即为结果. 【详解】

由已知得¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立． 所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，

，使不等式

成立”为真，

则所以

解得a≤－3，

因为¬p为假，所以a＞－3， 即a的取值范围是(－3，＋∞)． 【点睛】 求

为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果

16．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分

．

别为A，B，线段MN的中点在C上，则【答案】20

【解析】试题分析：如图，设的中位线， ∴

．

的中点为，由题意可知，，分别为，

第 9 页 共 18 页

【考点】椭圆的性质．

三、解答题 17．在

中，内角

所对的边分别为

，已知

.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值.

【答案】（1）【解析】 【分析】

;（2）

(1)先根据正弦定理将边化为角，化简得以及两角和正弦公式化简得结果. 【详解】

，即得结果，(2)根据三角形内角关系

（1）在又由

中，由

，得

，可得，

，

∴，得

（2）由，可得，则

【点睛】

第 10 页 共 18 页

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

*18．已知{an}为等差数列，前n项和为SnnN， {bn}是首项为2的等比数列，

且公比大于0， b2b312,b3a42a1， S1111b4. （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a2nb2n1}的前n项和nN*. 【答案】（I）an3n2， bn2n.（II）

3n2n184. 33【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程求出等差数列首项a1和公差d及等比数列的公比q，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.

试题解析：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.

2由已知b2b312，得b1qq12，而b12，所以q2q60.

又因为q0，解得q2.所以， bn2n. 由b3a42a1，可得3da18 ①. 由S11=11b4，可得a15d16 ②，

联立①②，解得a11， d3，由此可得an3n2.

所以，数列{an}的通项公式为an3n2，数列{bn}的通项公式为bn2n. （II）解：设数列{a2nb2n1}的前n项和为Tn，

由a2n6n2， b2n124n1，有a2nb2n13n14，

n故Tn245484233n14n，

3n44n3n14n1，

234Tn242543844上述两式相减，得3Tn24343434n3n14n1

1214n143n24n18.3n2n184. 3343n14n1

得Tn第 11 页 共 18 页

所以，数列{a2nb2n1}的前n项和为

3n2n184. 33【考点】等差数列、等比数列、数列求和

【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.

19．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其

范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通;T∈[2，4)基本畅通; T∈[4，6）轻度拥堵; T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．

(1)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？

(2)用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；

(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．

【答案】(1)轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有６个，９个，３个；(2)依次抽取的三个级别路段的个数为２，３，１；(3)

3． 5【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图可知底高=频率，频率20=个数，由频率分布直方图很容易知道轻度拥堵 ，中度拥堵，严重拥堵的频率分别是0.3,0.45,0.15；(2)此问考察分层抽样，交通指数在4,10的路段共18个， 抽取6个，则抽取的比值为

611，个段抽取的个数=路段个数；(3)考察古典概型，记选出的２个轻度拥1833堵路段为A1,A2，选出的３个中度拥堵路段为B1,B2,B3，选出的１个严重拥堵路段为

C1，任选两个，列举所有的基本事件的个数N，同时还要列举出其中至少一个轻度拥

第 12 页 共 18 页

堵的基本事件n,然后利用pn算出概率．本题主要考察基础知识，属于基础题型. N试题解析：(1)补全直方图如图，

由直方图：

0.10.21206个，

0.250.21209个，

0.10.051203个

这２０个路段中，轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别是６个，９个，３个．(2)由(1)知拥堵路段共有６＋９＋３＝１８个，按分层抽样，从１８个路段选出６个，每种情况为：３，１．

(3)记选出的２个轻度拥堵路段为A1,A2，选出的３个中度拥堵路段为B1,B2,B3，选出的１个严重拥堵路段为C1，则从６个路段选取２个路段的可能情况如下：

66662，93，31，即这三段中分别抽取的个数为２，181818A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,C1,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,C1,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B2,B3,B2,C1,B3,C1

共１５种情况．其中至少有一个轻度拥堵的有：

A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,C1,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,C1共９种

可能．

所选２个路段中至少一个轻度拥堵的概率是

93． 155【考点】１．频率分布直方图的应用；２．分层抽样；３．古典概型． 20．如图，四边形影恰好落在边

上．

是矩形，沿对角线

将

折起，使得点 在平面

上的射

第 13 页 共 18 页

（1）求证：平面

平面

；

（2）（理科做）当 时，求二面角 的余弦值．

（2）（文科做）当AB=2,AD=1时，求点B到平面ADC的距离.

【答案】（1）见解析；（2）（理科做）．（2）（文科做）【解析】 【分析】

(1) 根据射影得线面垂直，再根据线面垂直判定定理与性质定理得，最后根据线

面垂直判定定理得以及面面垂直判定定理得结论，（2）（理科做）建立空间直角坐标系，设立点坐标，列方程组解得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果，（2）（文科做）作性质定理得【详解】 （1）设点在平面

上的射影为点，连接

，

，利用线面垂直判定定理与

平面ADC，即为点B到平面ADC的距离.最后利用相似三角形求结果.

则

平面

，所以

．

，

因为四边形所以所以又而

平面． ，平面

是矩形，所以，

,所以

，所以平面

平面平面

， ．

第 14 页 共 18 页

（理科）（2）以点为原点，线段空间直角坐标系，如图所示．

所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立

设

，则

，所以

．

由（1）知，又，所以，，

那么，，

，

所以，所以，

设平面的一个法向量为，则，即．

取，则所以

的一个法向量为

，

因为平面

所以

所求二面角（文科）（2）作

的余弦值为． 交

于F，由（1）知

平面ADC

平面BCD,

第 15 页 共 18 页

又由（1）知

平面ABD,

点B到平面ADC的距离为【点睛】

垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

21．已知双曲线：（1）求双曲线的方程； （2）已知直线上，求的值.

的离心率为，且

与双曲线交于不同的两点且线段的中点在圆

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由题意得（2）设

两点坐标分别为

解得，计算，则双曲线的方程可求；

，联立直线方程与双曲线方程得到

，由线段

值

代入圆的方程可得的

第 16 页 共 18 页

试题解析：（1）由题意得

解得

所以双曲线方程为（2）设

，由线段

两点坐标分别为

得（判别式）

上，

，故

x2y2122．在平面直角坐标系xOy中，椭圆221ab0的离心率为，过椭圆右

2ab焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，ABCD7. （1）求椭圆的方程；

（2）求ABCD的取值范围．

x2y2481；【答案】（1）C:（2）,7． 437【解析】试题分析：（1）由题意知，e174c)在椭圆，CD72a，在由点(c,22上，能求出椭圆的方程；（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，依题知ABCD7；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设Ax1,y1,Bx2,y2，且设直线AB的方程为ykx1，则直线CD的方程为y1x1，由此求出kABCD，从而能求出ABCD的取值范围．

x2y21； 试题解析：（1）C:43第 17 页 共 18 页

（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，依题知ABCD7；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设Ax1,y1,Bx2,y2，且设直线AB的方程为

1ykx1，则直线CD的方程为yx1，则

kykx1，∴223x4y1234kx228k2x4k212，0

012k2112k218k2∴x1x2，∴AB，同理CD， 22234k34k3k44k212x1x234k2∴ABCD34k3k284k12224，

84t284设tk1，则t1，∴ABCD， 4t13t11149t2424848ABCD,7，综上，ABCD的取值范围为,7．

77【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了分类讨论思想，此类问题的解答时，把直线的方程代入圆锥曲线方程，利用根与系数的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

第 18 页 共 18 页