高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．
备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．
1．等差数列
(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)； (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； n
(3)前n项和公式：Sn＝a1＋annn－
＝na1＋22
d
；
(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；
②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2．等比数列
an＋1
(1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数)；
an(2)通项公式：an＝a1qn1；
－
na q＝1，1
(3)前n项和公式：Sn＝a1－qn
q≠1.1－q(4)性质：①an＝amqn
－m
(n，m∈N*)；
②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．
3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).学——科网
【误区警示】
1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．
3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形． 4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.
高频考点一、等差数列、等比数列的基本运算 例1、（2018年浙江卷）已知A. 【答案】B 【解析】令因此
若公比若公比但即因此
，
，选B.
【变式探究】【2017课标1，理4】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为
A．1
B．2
C．4
D．8
，则，则
， ，不合题意；
则，
，不合题意；
，令
得
，所以当
时，
，当
时，
，
B.
成等比数列，且 C.
D.
．若
，则
【答案】C
【解析】因为即
，解得d4，故选C.
，即a3a416，则
，
【变式探究】(1)在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3
2(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a2＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
a4解析：(1)两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.
a3
5×4
(2)法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.
2
2
∴a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a22＝－3，化简得d－6d＋9＝0，∴d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝
20.
5（a1＋a5）
法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，∴a3＝2.
2
2
∴由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a22＝－3，化简得a2＋2a2＋1＝0，∴a2＝－1.
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20. 答案：(1)D (2)20
【变式探究】(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( ) 1719
A. B. C．10 D．12 22
81
(2)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为( )
439
A. B. C．1 D．2 24
高频考点二、等差数列、等比数列的判断与证明 例2、已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝，求λ.
32
(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 1
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
1－λ
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，∴
an＋1λ
＝. anλ－1
1λ
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
1－λλ－11λ
于是an＝
1－λλ－1
n－1
.
n
λ
(2)解：由(1)得Sn＝1－λ－1.
λλ31311
由S5＝得1－λ－1＝，即λ－1＝. 323232解得λ＝－1.
1
【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝. 2
1
(1)求证：S是等差数列；
n
5
5
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)， 得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0， 11∴－＝2(n≥2，n∈N*)， SnSn－111
又＝＝2， S1a1
1
故S是首项为2，公差为2的等差数列． n
11
(2)解：由(1)知，＝2n，故Sn＝，
Sn2n
111
an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)，
2n2（n－1）2n（n－1）
∴a＝
1
－2n（n－1），n≥2.
n
1
，n＝1，2
高频考点三、等差数列、等比数列的综合应用
例3、（2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． 【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）【解析】 （Ⅰ）由所以解得由因为
. 得，所以
. 是
的等差中项得
，
，
，
（Ⅱ）设由
由（Ⅰ）可知所以故
，数列解得，
， ，
前n项和为. .
.
设
，
所以因此又
，所以
，
.
，
【变式探究】【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440 【答案】A
B．330 C．220 D．110
【解析】由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
，
要使和，设
所以
，有k14，此时k22k1，所以k2是第k1组等比数列1,2,，
，则t5，此时
，
,2k的部分
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
1
【变式探究】已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
3(1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和．
1
解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
3
∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立． (1)求数列{an}的通项公式．
1
(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列lga的前n项和最大？
n
解：(1)取n＝1，得λa21＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0. 若a1＝0，则Sn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， ∴an＝0(n≥1)． 2若a1≠0，则a1＝.
λ
22
当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，
λλ两式相减得2an－2an－1＝an，
∴an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列， 22n
n－1n－1
∴an＝a1·2＝λ·2＝λ. 10. （2018年江苏卷）设是排列
的一个逆序，排列
··，对1，2，·，n的一个排列
，如果当s 2，3的一个排列231，的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1， ··为1，2，·，n的所有排列中逆序数为k 只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记的全部排列的个数． （1）求（2）求 的值； 的表达式(用n表示)． 【答案】（1）2 5 （2）n≥5时，【解析】（1）记 为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有 ， 所以 ． 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此， ． ． ． （2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以 逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以为计算 ，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位 置只能是最后三个位置． 因此，当n≥5时， ． ， 因此，n≥5时， ． 的前项和，已知 ， ． 11. （2018年全国Ⅱ卷理数） 记为等差数列（1）求 的通项公式； （2）求，并求的最小值． 2 【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n–8n，最小值为–16． 【解析】 （1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9． 22 （2）由（1）得Sn=n–8n=（n–4）–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16． 12. （2018年全国Ⅲ卷理数）等比数列（1）求 的通项公式； 的前项和．若 或 中，． （2）记为【答案】（1）（2） ，求． 1.【2017课标1，理4】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为即 ，解得d4，故选C. ，即a3a416，则 ， 2.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【解析】设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数 列的求和公式有： ，解得x3，即塔的顶层共有灯3盏，故选B． 3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A 【解析】由题意得，数列如下： 则该数列的前项和为 ， 要使分和，设 所以 ，有k14，此时k22k1，所以k2是第k1组等比数列1,2,， ，则t5，此时 ， ,2k的部 所以对应满足条件的最小整数，故选A. 1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列an前9项的和为27,a108,则a100 （ ） （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】由已知,所以故选C. 2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且 ， （ ）.若 ， （ ） 2}是等差数列 A．{Sn}是等差数列 B．{Sn2}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{dn【答案】A 3.【2016年高考北京理数】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a16，a3a50，则 S6=_______.. 【答案】6 【解析】∵{an}是等差数列，∴∴整理得即同理有 ， ，解得S28， ，即 ，解得S13， ， ； ，a40， ，故填：6． ，d2， ，因此有， （2）由题意得， 由（1）知a13，a25，a37，猜想an2n1， 假设当 时，猜想成立，即ak2k1，则有 ， 则当nk1时，有 这说明当nk1时，猜想也成立， 由归纳原理知，对任意nN，an2n1. 【考点定位】数列的通项 ， 13. 【2014高考湖北理第18题】已知等差数列{an}满足：a12，且a1、a2、a5成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式. （2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得若不存在，说明理由. 【答案】（1）an2或an4n2. 若存在，求n的最小值； （2）当an2时，Sn2n，显然 ，不存在正整数n，使得 . 当an4n2时，令 ，即 ， ， 解得n40或n10（舍去） 此时存在正整数n，使得 成立，n的最小值为41. 综上所述，当an2时，不存在正整数n； 当an4n2时，存在正整数n，使得 成立，n的最小值为41. 【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容