一．选择题（每题2分，满分12分） 1．下列各式的结果中，符号为正的是（ ） A．（﹣2）+（﹣5） 10）
D．3÷（﹣4）
B．0﹣8
C．（﹣1）×（﹣
2．2019年10月1日，天安门广场迎来新中国成立以来的第15次国庆阅兵．据统计，截止至当天下午6点，央视新闻置顶的“国庆阅兵”阅读数已超过34亿．数据34亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×1010 B．3.4×109
C．3.4×108
D．34×108
3．不等式3≥2x﹣1的解集在数轴上表示正确的为（ ） A．C．
B．D．
4．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
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5．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝（ ）
A．80°
B．100° C．120° D．160°
6．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠FAC的度数为（ ）
A．54°
B．60° C．66° D．72°
二．填空题（满分24分，每小题3分） 7．比较大小：
﹣3 0．（填“＞”、“＝”或“＜”号）
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8．因式分解：4a3﹣16a＝ ． 9．甲乙两人同解方程组得
时甲正确解得
，乙因抄错c而
，则a+c＝ ．
10．一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为 ．
11．如图，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，则∠D＝ °．
12．如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA＝20cm，AA′═50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长比是 ．
13．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，点E是
AB边的中点，点F是BC边上一动点，将△BEF移沿直线EF折叠，得到△GEF，当FG∥AC时，BF的长为 ．
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14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB＝2，则图中阴影部分的面积为
三．解答题
15．（5分）先化简，再求值：x＝1，y＝．
16．（5分）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？
17．（5分）如图，已知AB＝DC，DB＝AC．求证：∠B＝∠C．
，其中
18．（5分）某校初二对某班最近一次数学测验或续（得分取整数）进行统计分析，将所有成绩由低到高分成五组，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请结合直方图提供的信息，回答下列问题：
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（1）该班共有名同学参加这次测验；
（2）这次测验成绩的中位数落在第几组内（从左到右数）； （3）若该校一共有360名初二学生参加这次测验，成绩80分以上（不含80分）为优秀，估计该校这次数学测验的优秀人数是多少人？ 四．解答题
19．（7分）步行是全世界公认的有效、科学的健身方法．为了方便市民步行健身，某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡AB改造成AC．已知原坡角∠ABD＝30°，改造后的斜坡AC的坡度为1：3，BC＝30米，求原斜坡AB的长．（精确到0.1米，参考数据：≈1.732）
20．（7分）四张大小、形状都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，把它们放入不透明的盒子中摇匀．
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（1）从中随机抽出1张卡片，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率为 ．
（2）从中随机抽出1张卡片，记录数字后放回摇匀，再抽出一张卡片，记录数字．用树状图或列表法求两次抽出的卡片上的数字恰好是两个相邻整数的概率．
21．（7分）如图，直线y1＝3x﹣5与反比例函数y2＝交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB． （1）求k和n的值； （2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
的图象相
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接BE、CE，EB平分∠AEC．
（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；
（2）如图2，∠A＝90°，BC＝5，AE＝1，求线段BE的长．
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五．解答题
23．（8分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t＝ 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟； （2）图中点A的坐标为 ； （3）求线段AB所直线的函数表达式； （4）在整个过程中，何时两人相距400米？
24．（8分）阅读理解，并解答问题：
如图所示的8×8网格都是由边长为1的小正方形组成，图①中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
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问题：
请用“赵爽弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变化，在图②，图③的方格纸中设计另外两个不同的图案，每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠．画图要求： （1）图②中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）图③中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 六．解答题
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写
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出AQ、AP的长．
26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．
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参考答案
一．选择题
1．解：A、原式＝﹣7，不符合题意； B、原式＝﹣8，不符合题意； C、原式＝10，符合题意；
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D、原式＝﹣，不符合题意， 故选：C．
2．解：34亿＝3400000000＝3.4×109． 故选：B．
3．解：﹣2x≥﹣1﹣3， ﹣2x≥﹣4， x≤2， 故选：B．
4．解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 故选：D．
5．解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°， ∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°． 故选：D．
6．解：如图，连接AD，
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根据作图过程可知：
AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG， 设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x， ∴∠ADG＝∠AGD＝2x， ∵∠B＝2∠C， ∴∠B＝2x，
∴∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°， ∴x＝36°，
∴∠FAC＝90°﹣36°＝54°． 故选：A． 二．填空题 7．解：∵5＜9， ∴∴
＜3， ﹣3＜0．
＝5，32＝9，
故答案为：＜．
8．解：原式＝4a（a2﹣4）＝4a（a+2）（a﹣2），
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故答案为：4a（a+2）（a﹣2） 9．解：把
代入②得：3c+14＝8，
解得：c＝﹣2， 把解得：
和
，
代入①得：
，
所以a+c＝4+（﹣2）＝2， 故答案为：2．
10．解：∵一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根， ∴△＝（﹣）2﹣4×1×（b+1）＜0， 解得：b＞﹣
，
．
故答案为：b＞﹣11．解：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠B＝35°． ∵DE∥CB，
∴∠D＝180°﹣∠C＝145°． 故答案为：145．
12．解：如图，∵OA＝20cm，AA′＝50cm， ∴
＝
＝
＝，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比＝AB：A′B′＝2：7．
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故答案为2：7．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6作CH⊥AD于H， 则CH＝CD＝3，DH＝∴AH＝DH， ∴CA＝CD＝AB＝6， ∴∠ACB＝∠B＝30°， ∵FG∥AC，
∴∠BFG＝∠ACB＝30°， ∵点E是AB边的中点， ∴BE＝3， 分两种情况：
①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图1所示：
则∠ENB＝∠B＝30°， ∴EM＝BE＝，BM＝NM＝∴BN＝2BM＝3
，
EM＝
，
CH＝3
＝AD，
，
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由折叠的性质得：∠BFE＝∠GFE＝15°， ∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE， ∴FN＝EN＝3， ∴BF＝BN+FN＝3
+3；
②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图2所示：
则∠ENB＝∠B＝30°，
∴EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝∴BN＝2BM＝3
，
EM＝
，
∵FG∥AC，∴FG∥EN，∴∠G＝∠GEN，由折叠的性质得：∠B＝∠G＝30°，∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，由折叠的性质得：∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN﹣FN＝3
﹣3；
+3或3
﹣3．
故答案为：3
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14．解：如图，连接BO，FO，OA． 由题意得，△OAF，△AOB都是等边三角形， ∴∠AOF＝∠OAB＝60°， ∴AB∥OF，
∴△OAB的面积＝△ABF的面积， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF＝AB，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OAB的面积×3＝π，
故答案为：2π．
×3＝2
三．解答题
15．解：原式＝（x2﹣2xy+y2+2x﹣2xy+y﹣y2﹣y）÷（﹣x） ＝（x2﹣4xy+2x）÷（﹣x） ＝﹣2x+8y﹣4， 当x＝1，y＝时，
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原式＝﹣2×1+8×﹣4 ＝﹣2+4﹣4 ＝﹣2．
16．解：设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只， 依题意，得：解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝6．
再设应安排两个工厂工作y天才能完成任务， 依题意，得：（6+4）y≥100， 解得：y≥10．
答：至少应安排两个工厂工作10天才能完成任务． 17．解：连接AD，
∵AB＝DC，DB＝AC．AD＝DA， ∴△ABD≌△DCA （SSS） ∴∠B＝∠C．
﹣
＝5，
18．解：（1）2+9+10+14+5＝40人， 答：该班共有40名学生参加测验．
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（2）40个数据从小到大排列后处在第20、21位的两个数的平均数是中位数，而第20、21位的两个数都落在第3组， 答：这次测验成绩的中位数落在第三组． （3）360×
＝171人，
答：该校360名学生中这次数学测验为优秀的人数是171人． 四．解答题
19．解：设AD＝x米， 在Rt△ABD中，∠ABD＝30°， ∴AB＝2AD＝2x， ∴BD＝
＝
x，
∵斜坡AC的坡度为1：3， ∴CD＝3AD＝3x， 由题意得，3x﹣解得，x＝15+5
x＝30， ，
≈47.3，
则AB＝2x＝30+10
答：原斜坡AB的长约为47.3米．
20．解：（1）从中随机抽出1张卡片，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率＝＝； 故答案为； （2）画树状图为：
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共有16种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的数字恰好是两个相邻整数的结果数为6，
所以两次抽出的卡片上的数字恰好是两个相邻整数的概率＝．
21．解：（1）∵点B（n，﹣6）在直线 y＝3x﹣5上， ∴﹣6＝3n﹣5，解得n＝﹣，∴B（﹣，﹣6）， ∵反比例函数∴
的图象也经过点B， ，解k＝3；
＝
答：k和n的值为3、﹣．
（2）设直线y＝3x﹣5分别与 x轴、y轴相交于点C、点D，
当 y＝0时，即，∴，
当x＝0时，y＝3×0﹣5＝﹣5，∴OD＝5，
∵点A（2，m）在直线y＝3x﹣5上，∴m＝3×2﹣5＝1．即A（2，1），
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∴S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△BOD＝
．
答：△AOB的面积未经（3）根据图象可知：
或x＞2．
22．解：（1）△BCE是等腰三角形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠CBE＝∠AEB， ∵BE平分∠AEC， ∴∠AEB＝∠BEC， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴CB＝CE，
∴△CBE是等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝5，
在RT△ECD中，∵∠D＝90°，ED＝AD﹣AE＝4，EC＝BC＝5， ∴AB＝CD＝在Rt△AEB中，
∵∠A＝90°，AB＝3．AE＝1， ∴BE＝
＝
＝
．
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．
＝＝3，
五．解答题
23．解：（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60＝40（米/分钟）．
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟， ∴乙的速度为100﹣40＝60（米/分钟）． 故答案为：24，40，60；
（2）乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40（分钟）， 40×40＝1600，
∴A点的坐标为（40，1600）． 故答案为：（40，1600）；
（3）设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b， ∵A（40，1600），B（60，2400）， ∴
，解得
，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t；
（4）两种情况：①迎面：（2400﹣400）÷100＝20（分钟）， ②走过：（2400+400）÷100＝28（分钟），
∴在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米． 24．解：（1）图②是轴对称图形而不是中心对称图形； （2）如图③既是轴对称图形，又是中心对称图形；
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六．解答题
25．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABE＝90°＝∠D， 在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∴∠EAN＝∠BAD＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠EAM＝45°＝∠NAM， 在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN， ∴BM+DN＝MN；
， ，
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故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下： 如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF， 则∠ABM＝90°＝∠D， 在△ABM和△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°， 即∠MAF＝∠BAD＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠MAN＝∠FAN＝45°， 在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS）， ∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM， ∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°， ∵CN＝CD＝6，
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，
，
∴DN＝12， ∴AN＝∵AB∥CD， ∴△ABQ∽△NDQ， ∴∴
＝
＝
＝
＝， ＝
＝6
，
＝，
；
∴AQ＝AN＝2
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2， 解得：x＝2， ∴BM＝2， ∴AM＝∵BC∥AD， ∴△PBM∽△PDA， ∴
＝
＝＝，
，
． ＝
＝2
，
∴PM＝AM＝
∴AP＝AM+PM＝3
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26．解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（﹣x2+2x+3）， 即3a＝3，解得：a＝1， 抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， ∵直线BC过点B（3，0），C（0，3）， ∴
，解得
，
∴y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∴∵∴当
（3）设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18； ①当MC是斜边时，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
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，
，
时，S有最大值，最大值
；
解得：m＝﹣2； ②当MB是斜边时， 同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．
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