大一上学期(第一学期)高数期末考试题

x,x1. 当xx0时，都是无穷小，则当xx0时（ D ）不一定是

无穷小. (A) (C)

xx

ln1(x)(x)

1xa22x x(B)

2(x)(D) (x)

sinxlimxasina2. 极限

的值是（ C ）. （B） e

（C） ecota（A） 1

（D） etana

sinxe2ax1x0f(x)xax0在x0处连续，则a =（ D ）. 3.

（C） e （D） 1

f(ah)f(a2h)limf(x)h0xah4. 设在点处可导，那么（ A ）. （A） 3f(a) （B） 2f(a)

1f(a)f(a)(C) （D） 3

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

ln(xa)lna1lim(a0)x5. 极限x0的值是 a. （A） 1

（B） 0

exyylnxcos2x确定函数y(x)，则导函数y y2sin2xyexyx . xyxelnx7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x2yz0,2x3y5z6都平行，则直

x1y2z311 . 线l的方程为 16. 由

8. 求函数y2xln(4x)的单调递增区间为 （－，0）和（1，+ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

2(1x)ex9. 计算极限x0.

lim1x(1x)eeelimx0x解：x0lim1x1ln(1x)1x1xelimxln(1x)xex0x22

10. 设f(x)在[a，b]上连续，且

xxF(x)(xt)f(t)dtax[a,b]，试求出F(x)。

解：

F(x)xf(t)dttf(t)dtaax

xF(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dtaa11. 求

xcosxdx.sin3x

F(x)f(x)

解

cosx1dxxdsin2x3sinx21111xsin2xsin2xdxxsin2xcotxC2222

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

：

x22dxxx2112. 求

3.

令　1tx

1232原式1tdt11(2)dtt11t2

arcsint32121t2 6

2xy1x2 的极值与拐点. 13. 求函数

2132解：函数的定义域（－，+）

2(1x)(1x)4x(3x2)yy(1x2)2 (1x2)3

令y0得 x 1 = 1, x 2 = -1

y(1)0 x 1 = 1是极大值点，y(1)0x 2 = -1是极小值点

极大值y(1)1，极小值y(1)1 令y0得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = -3 x (-,-3) － (-3,0) + (0, 3) － (3,+) + y 33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）

x3y2y3xx414. 求由曲线与所围成的平面图形的面积.

x3解:3xx2,　x312x4x20,4

x(x6)(x2)0,　　x16,　x20,　　x32.

2x3x322S(3xx)dx(3xx)dx6404 x432x3032x3x42(x)6(x)016232316

114524733

215. 设抛物线y4x上有两点A(1,3)，B(3,5)，在弧A B上，求一点P(x,y)使ABP的面积最大.

0AB连线方程：y2x10　　AB45点P到AB的距离ABP的面积2xy152x22x3　(1x3)5

1x2x3452(x22x3)25

　　　S(x)4x4　当x1　　S(x)0 　　　S(x)40　　　S(x)当x1时S(x)取得极大值也是最大值 此时y3　　所求点为(1，3)

另解：由于ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线2的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4x0),使f(x0)2x053312,　解得x01,所求C点为(1,3)六、证明题（本大题4分）

2xex016. 设，试证(1x)1x.

2xf(x)e(1x)(1x),x0 证明：设

f(x)e2x(12x)1，f(x)4xe2x，x0,

f(x)0，因此f(x)在（0，

+）内递减。在（0，+）内，f(x)f(0)0,f(x)在（0，+）内递减，在（0，+）

2x2xe(1x)(1x)0e(1x)1x 试证f(x)f(0),内，即亦即当 x>0时，

e2x(1x)1x.

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