《高等数学》练习题库及答案,DOC

《高等数学》练习测试题库及答案

一．选择题

1是（） x21A.偶函数B.奇函数C单调函数D无界函数

x2.设f(sin)=cosx+1,则f(x)为（）

21.函数y=

A2x2－2B2－2x2C1＋x2D1－x2

3．下列数列为单调递增数列的有（）

2543A．0.9，0.99，0.999，0.9999B．，，，

2345n1n,n为奇数2n1C．{f(n)},其中f(n)=D.{n}

n2，n为偶数1n4.数列有界是数列收敛的（） A．充分条件B.必要条件

C.充要条件D既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（）

A．发散数列必无界B．两无界数列之和必无界

C．两发散数列之和必发散D．两收敛数列之和必收敛

sin(x21)（） 6．limx1x1A.1B.0 C.2D.1/2

k7．设lim(1)xe6则k=()

xxA.1B.2 C.6D.1/6

8.当x1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1B.x3-1 C.(x-1)2D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件B.充分条件 C.充分必要条件D.无关条件 10、当|x|<1时，y=

（）

A、是连续的B、无界函数

C、有最大值与最小值D、无最小值

11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）

为（）

A、

12、下列有跳

B、eC、-eD、-e-1

跃间断点x=0的函数为（）

A、xarctan1/xB、arctan1/x C、tan1/xD、cos1/x

13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（）

A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续 D、在点x0必不连续

14、设f(x)=在区间(-∞,+∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（）

A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0

C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜0

15、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）

A、

B、

C、tan[f(x)]D、f[f(x)]

16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）

A、[0,л]B、（0,л）

C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）

17、在闭区间[a,b]上连续是函数f(x)有界的（）

A、充分条件B、必要条件 C、充要条件D、无关条件

18、f(a)f(b)＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）

A、充分条件B、必要条件 C、充要条件D、无关条件

19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）

A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1 C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+1

20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）

A、k=0B、k=1 C、k=2D、-1/2

21、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）

A、eB、1/eC、eD、e

22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）

A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0 C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=0 23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）

A、±1B、±л/2 C、±(л/2+1)D、±(л/2-1) 24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=（）

A、aB、-aC、|a|D、0

x

1/e

25、设y=㏑，则y’|x=0=（）

A、-1/2B、1/2 C、-1D、0

26、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）

A、-1B、0 C、1D、不存在

27、设yf(x)=㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）

A、0B、1/㏑2 C、1D、㏑2

28、已知y=sinx，则y(10)=（）

A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx

29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）

A、-1/xB、1/x C、8.1/xD、-8.1/x

30、若函数f(x)=xsin|x|，则（）

A、f``(0)不存在B、f``(0)=0 C、f``(0)=∞D、f``(0)=л

31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）

A、-1B、0 C、л/2D、2

32、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）

A、-1B、0 C、1D、2

33、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的（）

9

9

9

9

A、充分条件B、必要条件 C、充要条件D、无关条件

34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x0可微的（）

A、充分条件B、必要条件 C、充要条件D、无关条件 35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）

A、0B、-dxC、dxD、不存在

x136、极限lim()的未定式类型是（）

x11xlnxA、0/0型B、∞/∞型C、∞-∞D、∞型

sinxx2)的未定式类型是（） 37、极限lim(xx01A、00型B、0/0型C、1型D、∞0型

∞

x2sin38、极限limx0sinx1x=（）

A、0B、1 C、2D、不存在 39、x

x0时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xA、（n+1）阶无穷小B、n阶无穷小 C、同阶无穷小D、高阶无穷小

40、若函数f(x)在[0,+∞]内可导，且f`(x)＞0，xf(0)＜0则f(x)在[0,+∞]内有（）

A、唯一的零点B、至少存在有一个零点 C、没有零点D、不能确定有无零点 41、曲线y=x-4x+3的顶点处的曲率为（）

A、2B、1/2 C、1D、0

42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（） A、0B、1/2 C、1D、2

43、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）

A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对

2

x0的（）

44、若∫f(x)dx=2ex/2+C=（）

A、2ex/2B、4ex/2 C、ex/2+CD、ex/2 45、∫xe-dx=（D）

A、xe--e-+CB、-xe-+e-+C C、xe-+e-+CD、-xe--e-+C

46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)dx（）

A、不含有对数函数B、含有反三角函数 C、一定是初等函数D、一定是有理函数 47、∫-10|3x+1|dx=（）

A、5/6B、1/2 C、-1/2D、1

48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）

A、лB、2лC、4лD、6л

49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）

A、лB、6л/15 C、16л/15D、32л/15 50、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）

A、B、2 C、31/2D、21/2

51、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）

A、Z=4B、Z=0 C、Z=-2D、x=2

52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）

A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线 53、方程=0所表示的图形为（）

A、原点（0，0，0）B、三坐标轴 C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面

54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）

A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线 55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（）

A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面 56下列命题正确的是（）

A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界

-n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛 57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A、.必要条件B、充分条件 C、充分必要条件D、无关条件

58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（） A、[0,л]B、（0,л） C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）

59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（） A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1

C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+1 60设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（） A、-1B、0 C、1D、不存在 二、填空题

1、求极限lim(x2+2x+5)/(x2+1)=（）

x1

2、求极限lim[(x-3x+1)/(x-4)+1]=（）

x03

3、求极限limx-2/(x+2)1/2=（）

x24、求极限lim[x/(x+1)]=（）

xx

5、求极限lim(1-x)=（）

x01/x

6、已知y=sinx-cosx，求y`|x=л/6=（）

7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ|ψ=л/6=（） 8、已知f(x)=3/5x+x2/5，求f`(0)=（）

9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（） 10、函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（） 11、函数y=2x3极小值与极大值分别是（） 12、函数y=x-2x-1的最小值为（） 13、函数y=2x-5x2的最大值为（）

14、函数f(x)=x2e-x在[-1,1]上的最小值为（）

15、点（0，1）是曲线y=ax+bx2+c的拐点，则有b=（）c=（） 16、∫xx1/2dx=（）

17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)=（）

3

2

18、若∫f(x)dx=x2e2x+c，则f(x)=() 19、d/dx∫abarctantdt=（）

120x(et21)dtx,x0在点x=0连续，则a=（） 20、已知函数f(x)=a,x021、∫02(x2+1/x4)dx=（） 22、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（） 23、∫031/2adx/(a2+x2)=（） 24、∫01dx/(4-x2)1/2=（） 25、∫л/3sin(л/3+x)dx=（） 26、∫4x(1+x)dx=() 27、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（） 28、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（） 29、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（） 30、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（） 31、∫4x(1+x)dx=（） 32、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）

33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为() 34、设f(x)=[x]+1，则f（л+10）=（） 35、函数Y=|sinx|的周期是（）

36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（） 37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（） 38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）

39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（） 40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是 （）

41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（） 42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是() 43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）

91/2

1/2

91/2

1/2

л

44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）

45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（） 46求极限lim[x/(x+1)]x=（）

x47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（） 48∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）

49y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）

50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（） 三、解答题

1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。 2、求函数y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。 3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。 5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。 6、求y=ex，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。

7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。 8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。 9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。 11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。 12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。

13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面积。9/4

14、求对数螺线r=e及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。

15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。

16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。 17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。 18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。

aθ

19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。 20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。 21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。

22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a＞0)旋转所得旋转体体积。

23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。

25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。 26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。 27、求对数螺线r=e自θ=0到θ=ψ的一段弧长。 28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。 29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。 30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。

31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点。

32、设U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。

33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。 34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。 35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。 38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。

39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。

40、求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。 41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。 42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方程。

43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。

aθ

44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。 45、求过两点M（3，-2，1）和M（-1，0，2）的直线方程。

46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。 47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。 48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。 49、求点P（3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。 51求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。 52求y=ex，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。 53求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积

54求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。 四、证明题

1．证明不等式：21111x4dx8 31dx2．证明不等式2,(n2)

201xn63．设f(x)，g(x)区间a,a(a0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件

f(x)f(x)A(A为常数)。证明：f(x)g(x)dxAg(x)dx

a0aa14．设n为正整数，证明2cosxsinxdxn02nnaa20cosnxdx

5．设(t)是正值连续函数，f(x)xt(t)dt,axa(a0),则曲线

yf(x)在a,a上是凹的。 dxdxx6.证明：11x2 x1x2117．设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则

xux8．若f(x)是连续函数，则f(t)dtdu(xu)f(u)du

000

9．设f(x)，g(x)在a,b上连续，证明至少存在一个(a,b)使得

bb210．设f(x)在a,b上连续，证明：f(x)dx(ba)f(x)dx aa211．设f(x)在a,b上可导，且f(x)M，f(a)0证明：

《高等数学》练习测试题库参考答案

一． 选择题 1——10ABABDCCDAA 11——20ABABBCAADC 21——30DCDAABCCCA 31——40BABDDCCAAD 41——50ABCDDCACCA 51——55DDCCA 56------60DACDC 二． 填空题 1．2 2．3/4 3．0 4．e-1 5．e-1 6．(31/2+1)/2 7．

2（1+） 428．9/25

9．-1或1- 10．2 11．-1，0 12．-2 13．1/5 14．0 15．0，1 16.C＋2x3/2/5 17.F(x)＋C 18.2xe2x(1+x) 19.0 20.0 21.21/8 22.271/6 23./3a 24./6 25.0 26.2(31/2-1) 27./2 28.2/3 29.4/3 30.21/2

22

31.0 32.3/2 33.(1,3) 34.14 35. 36.7/6 37.32/3 38.8a 39.等腰直角 40.4x+4y+10z-63=0 41.3x-7y+5z-4=0 42.(1,-1,3) 43.y+5=0 44.x+3y=0

45.9x-2y-2=0 46.e-1 47.2 48.21/2 49.7/6

50.3x-7y+5z-4=0

三． 解答题

1.当X=1/5时，有最大值1/5 2.X=-3时，函数有最小值27 3.R=1/2

4.在点(5.7/6

2ln2,-)处曲率半径有最小值3×31/2/2

226.e+1/e-2 7.x-3y-2z=0

8.(x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9.（-5/3，2/3，2/3） 10.2(21/2-1) 11.32/3 12.4×21/2/3 13.9/4

a214.(a2-e2)

415.e/2 16.8a2/3 17.3л/10 18.

a2a222a(ee)

4219.160л2 20.2л2 a2b 21.

166 322.7л2 a3 23.1+1/2㏑3/2

24.23-4/3

385225.1

92yp2y2py26.ln2p21a2ae 27.ap2y2 p28.ln3/2+5/12 29.8a 30.5×21/2 31.（0，1，-2） 32.5a-11b+7c 33.4x+4y+10z-63=0 34.y2+z2=5x 35.x+y2+z2=9

36.x轴：4x2-9(y2+z2)=36y轴：4(x2+z2)-9y2=36 37.x2+y2(1-x)2=9z=0 38.x2+y2+(1-x)2≤9z=0 39.3x-7y+5z-4=0 40.2x+9y-6z-121=0 41.x-3y-2z=0 42.x+y-3z-4=0 43.

133

x4y1z3== 215x3y2z145.==

412xy2z446.==

23144.

47.8x-9y-22z-59=0 48.(-5/3,2/3,2/3) 49.

32 250.17x31y37z1170

4xyz1051.R=1/2 52.e+1/e-2 53.4×21/2/3 54.3л/10 四．证明题

1．证明不等式：2111x4dx8 3证明：令f(x)1x4,x1,1 则f(x)4x321x42x31x4，

令f(x)0,得x=0 f(-1)=f(1)=2,f(0)=1 则1f(x)2

上式两边对x在1,1上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有f(x)1x412x2x4(1x2)21x2,于是

dx11111xdx(1x2)dx,故

1411dx2．证明不等式2,(n2)

201xn61证明：显然当x0,时，（n>2）有

211dx即，2,(n2)

201xn613．设f(x)，g(x)区间a,a(a0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件

f(x)f(x)A(A为常数)。证明：f(x)g(x)dxAg(x)dx

a0aa证明：af(x)g(x)dxaf(x)g(x)dx0f(x)g(x)dx

14．设n为正整数，证明2cosxsinxdxn02nna0a20cosnxdx

证明：令t=2x,有

又，sintdttusin(u)du2sinnudu，

nn2200所

nn以

1nn，

12cosxsinxdx2sintdt2sintdt)(002n102n20sinntdt12n2sinnxdx

又，sinnxdxx22ntcosntdt2cosnxdx

200因此，201cosxsinxdxn2n20cosnxdx

a5．设(t)是正值连续函数，f(x)xt(t)dt,axa(a0),则曲线

ayf(x)在a,a上是凹的。

证明：f(x)xa(xt)(t)dt(tx)(t)dt

xa

故，曲线yf(x)在a,a上是凹的。

dxdxx6.证明：11x2 x1x211dx证明：x1x21令x1u1dudxxx•(du)1x111u211x2 u212u11117．设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则 证明：TaTf(x)dxT令xuTa0f(uT)duf(xT)dx0aTT0af(x)以T为周期af(xT)f(x)0f(x)dx

在等式两端各加0f(x)dx，于是得af(x)dxf(x)dx

xux8．若f(x)是连续函数，则f(t)dtdu(xu)f(u)du

000证明：x0uf(t)dtduuuf(t)dtxxuf(u)du

00009．设f(x)，g(x)在a,b上连续，证明至少存在一个(a,b)使得

证明：作辅助函数F(x)f(t)dtg(t)dt，由于f(x),g(x)在a,b上连续，所

axxb以F(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，并有F(a)F(b)0由洛尔定理

F()0,(a,b)

xb即f(t)dtg(t)dtxaxxbxf(x)g(t)dtf(t)dt•g(x)xax

＝0

亦即，f()g(x)dxg()f(x)dx

abbb2f(x)dx(ba)f(x)dx 10．设f(x)在a,b上连续，证明：aa2xx2证明：令F(x)af(t)dt(xa)af(t)dt

2故f(x)是a,b上的减函数，又F(a)0，F(b)F(a)0

bb故f(x)dx(ba)f2(x)dx

aa211．设f(x)在a,b上可导，且f(x)M，f(a)0证明：

证明：由题设对xa,b,可知f(x)在a,b上满足拉氏微分中值定理，于是有 又f(x)M，因而，f(x)M(xa)

由定积分比较定理，有f(x)dxM(xa)dxaabbM(ba)2 2