大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x) cosx(x sinx),则在x 0处有( ).

（A）f (0) 2 （B）f (0) 1（C）f (0) 0 （D）f(x)不可导. 2. 设 (x) 1 x

1 x， (x) 3 3x，则当x 1时（ ） .

（A） (x)与 (x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） (x)与 (x)是等价无穷小；

（C） (x)是比 (x)高阶的无穷小； （D） (x)是比 (x)高阶的 无穷小. 3. 若 F(x) x (2t x)f(t)dt

，其中f(x)在区间上( 1,1)二阶可导且 f (x) 0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x 0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x 0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x 0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y F(x)的拐点。1 4.

设f(x)是连续函数，且 f(x) x 2 0 f(t)dt , 则f(x) ( x2x2

（A）2 （B）2 2 （C）x 1 （D）x 2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题 5. lim(1 3sinx x 0 x) . cosx 6. 已知 cosx x

是f(x)的一个原函数,则 f(x) x dx lim 2 2

4分，共16分）2 2 cos2 n 17.

n n(cosn cosn n ) . 12 x2arcsinx 1 － 1 x 2 dx 8. 2 .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共 9. 设函数y y(x)由方程 ex y

sin(xy) 1确定，求y (x)以及y (0). 求1 10. x7 x(1 x7 )dx. ) x

1 xe， x 0

40分）

设f(x) 求 f(x)dx． 32

2x x，0 x 1 11. 1

012. 设函数f(x)连续，，且x 0 g (x)并讨论g (x)在x 0处的连续性. g(x) f(xt)dt lim f(x)

Ax，A为常数. 求

13. 求微分方程xy 2y xlnx满足 y(1) 1 9的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线y y(x)(x 0)，过点(0,1)，且曲线上任一点 M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线y lnx的切线，该切线与曲线y lnx及x 轴围 成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体

积 V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数f(x)在 0,1 上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]， q 1

f(x)dx q f(x)dx .

17. 设函数f(x)在 0, 上连续，且0 x f(x)dx 0 ，0 f(x)cosxdx 0 .

证明：在 0, 内至少存在两个不同的点 1, 2，使f( 1) f( 2) 0.（提 F(x) 示：设 f(x)dx ） 解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1cosx2 () c

e635. . 6.2x.7. 2. 8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导 x y

)coxys(xy)(y ) e(1 y ex y ycos(xy) y (x) x y e xcos(xy) x 0,y 0，y (0) 1 7

7x6dx du 10. 解：u x 1(1 u)112 原式 ( )du 7u(1 u)7uu 1 1 (ln|u| 2ln|u 1|) c7 12 ln|x7| ln|1 x7| C77 11. 解： 3 1

f(x)dx xe xdx 3 00 xd( e x) 3 0 2 x x2

xe e cos d (令x 1 sin ) 3 4

12. 解：由f(0) 0，知g(0) 0。 x 1 xt u 2e3 1 g(x) f(xt)dt x f(u)du x (x 0) g (x) xf(x) f(u)du x

x0 2 (x 0) g (0) lim x 0 f(u)du x2 lim x 0x f(x)A 2x2 A AA

22，g (x)在x 0处连续。 limg (x) lim x 0 x 0 xf(x) f(u)du x 02 dy2 y lnx

13. 解：dxx y e xdx 2 ( e xdx 2 lnxdx C) 11 xlnx x Cx 2 9 3 111

y(1) C, 0y xlnx x 39 9 ，

四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且 ， 将此方程关于x求导得y 2y y 2

特征方程：r r 2 0 y 2 ydx y x

解出特征根：r1 1,r2 2.

其通解为 y C1e x C2e2x

代入初始条件y(0) y (0) 1，得 21y e x e2x

33故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） C1 21,C2 33 1

y lnx0 (x x0) x0

15. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程： 1y x

e 由于切线过原点，解出x0 e，从而切线方程为： 1

则平面图形面积 A (ey ey)dy 1 e 12

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线y lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1 V1 1 e23 V2 (e ey)2dy

6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共 q 1 q q V V1 V2 (5e2 12e 3) 1

16. 证明：0 q

f(x)dx q f(x)dx f(x)dx q( f(x)dx f(x)dx) q 1q

(1 q) f(x)dx q f(x)dx f( 1) f( 2) 1 [0,q] 2 [q,1] q(1 q)f( 1) q(1 q)f( 2)

12分） 1 故有： q

f(x)dx q f(x)dx 证毕。 x 17.

F(x) f(t)dt,0 x

0证：构造辅助函数：。其满足在[0, ]上连续，在(0, ) 上可导。F (x) f(x)，且F(0) F( ) 0 由题设，有

0 f(x)cosxdx cosxdF(x) F(x)cosx| sinx F(x)dx ，

有0，由积分中值定理，存在 (0, )，使F( )sin 0即F( ) 0

综上可知F(0) F( ) F( ) 0, (0, ).在区间[0, ],[ , ]上分别应用罗尔定理，知存在

1 (0, )和 2 ( , )，使F ( 1) 0及F ( 2) 0，即f( 1) f( 2) 0.