《四边形压轴专练》
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、
CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG， ①求证：△DGC≌△BGE； ②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．
2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作
AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF． （2）若∠G＝90°．
①求证：四边形DEBF是菱形；
②当AG＝4，BG＝3时，求四边形DEBF的面积．
3．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N． （1）求证：∠BAP＝∠BGN； （2）若AB＝6，BC＝8，求
；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．
4．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示． ①线段DG与BE之间的数量关系是 ； ②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
5．在四边形ABCD中，E为BC边中点．
（Ⅰ）已知：如图1，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB． 求证：（1）△ABE≌AFE； （2）AD＝AB+CD；
（Ⅱ）已知：如图2，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，点F，G均为AD上的点，AF＝AB，GD＝CD． 求证：（1）△GEF为等边三角形； （2）AD＝AB+BC+CD．
6．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′． （1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；
（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时． ①求∠DAQ的度数； ②若AB＝6，求PQ的长度．
7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝3，点E在边BC上，tan∠AEC＝3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DM＝x，AN＝y． （1）求BE的长；
（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．
8．在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点
M作MN⊥CM，交AB（或AB的延长线）于点N，连接CN．
感知：如图①，当M为BD的中点时，易证CM＝MN．（不用证明）
探究：如图②，点M为对角线BD上任一点（不与B、D重合）．请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论．
应用：（1）直接写出△MNC的面积S的取值范围 ； （2）若DM：DB＝3：5，则AN与BN的数量关系是 ．
9．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、
F分别与A、B、D对应）．
（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为 ； （2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；
（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y． （1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；
（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．
11．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为 ；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是
BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的
结论；
（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点M，已知BC＝5，点E在射线BC上，tan∠DCE＝，点P从点B出发，以每秒2
个单位沿BD方向向终点D匀速运动，过点
P作PQ⊥BD交射线BC于点O，以BP、BQ为邻边构造▱PBQF，设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）tan∠DBE＝ ； （2）求点F落在CD上时t的值；
（3）求▱PBQF与△BCD重叠部分面积S与t之间的函数关系式；
（4）连接▱PBQF的对角线BF，设BF与PQ交于点N，连接MN，当MN与△ABC的边平行（不重合）或垂直时，直接写出t的值．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且
PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段MP的长为 （用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围．
（3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝8．过点A作AD∥BC．且点D在点
A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连结
PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）直接写出线段AP，CQ的长．（用含t的代数式表示） （2）①当PE⊥BC时，求t的值．
②当t值取①问结果时，判断四边形APEQ的形状，并说明理由．
（3）是否存在t的值，使以A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）若将点Q沿射线CB方向运动的速度改为每秒a个单位，当四边形APCE为菱形时，直接写出a的值．
15．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．
（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长； （2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC． ①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由； ②求AM、MN的长；
（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当
且
时，求CP的长．
参考答案
1．解：（1）证明： ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC， ∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120° 由（1）知，四边形CEGF是菱形， ∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°， ∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°， ∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）； ②∵△DGC≌△BGE， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠CGE， ∵CG＝GE＝CE， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC， ∵M为EF中点， ∴∠CEM＝∠ECM＝45°， ∴∠BEM＝∠DCM＝135°， 在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS）， ∴MB＝MD， ∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°， ∴△BMD是等腰直角三角形． ∵AB＝8，AD＝14， ∴BD＝2∴DM＝
，
BD＝．
2．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别为AB、CD的中点， ∴DF＝DC，BE＝AB， ∴DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形， ∴DE∥BF；
（2）①∵AG∥BD， ∴∠G＝∠DBC＝90°， ∴△DBC为直角三角形， 又∵F为边CD的中点． ∴BF＝DC＝DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形， ∴四边形DEBF是菱形；
②∵AD∥BG，AG∥BD，∠G＝90°， ∴四边形AGBD是矩形， ∴S△ABD＝S△ABG＝
3×4＝6，
∵E为边AB的中点， ∴S△BDE＝S△ABD＝3，
∴四边形DEBF的面积＝2S△BDE＝6．
3．（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAP＝∠APB＝90° ∵BP＝BE，
∴∠APB∠BEP＝∠GEF， ∵MN垂直平分线段AP， ∴∠GFE＝90°， ∴∠BGN+∠GEF＝90°， ∴∠BAP＝∠BGN．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8， ∴BD＝∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠APB，
＝
＝10，
∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴DA＝DE＝8，
∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2， ∴PA＝
＝
＝2
，
∵MN垂直平分线段AP， ∴AF＝PF＝∵PB∥AD， ∴
＝
＝＝，
， ﹣
＝
，
，
∴PE＝PA＝∴EF＝PF﹣PE＝
∴＝＝．
（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8， ∵MN垂直平分线段AP， ∴MA＝MP，
∴AD2+DM2＝PC2+CM2， ∴82+（6﹣x）2＝62+x2， ∴x＝
，
∵∠PFM＝∠PCM＝90°， ∴P，F，M，C四点共圆， ∴∠CFM＝∠CPM， ∴tan∠CFM＝tan∠CFM＝4．解：（1）①如图②中，
＝
＝．
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， 在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△DAG（SAS）， ∴BE＝DG；
②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H． 由①知，△ABE≌△DAG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠ATB+∠ABE＝90°， ∴∠ATB+∠ADG＝90°， ∵∠ATB＝∠DTH， ∴∠DTH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立． 如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD＝∠EAG， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AD＝2AB，AG＝2AE， ∴
＝
＝，
∴△ABE∽△ADG， ∴∠ABE＝∠ADG，∴DG＝2BE，
∵∠ATB+∠ABE＝90°， ∴∠ATB+∠ADG＝90°， ∵∠ATB＝∠DTH， ∴∠DTH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG；
（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．
＝，
∵△AHG∽△ATE， ∴
＝
＝
＝2，
∴GH＝2x，AH＝2y， ∴4x2+4y2＝4， ∴x2+y2＝1，
∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25． 5．（Ⅰ）证明：（1）如图1中，
∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠FAE， 在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS）， （2）∵△ABE≌△AFE， ∴∠AEB＝∠AEF，BE＝BF， ∵AE平分BC， ∴BE＝CE，
∴FE＝CE，
∵∠AED＝∠AEF+∠DEF＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEF＝∠DEC， 在△DEF和△DEC中，
，
∴△DEF≌△DEC（SAS）， ∴DF＝DC， ∵AD＝AF+DF， ∴AD＝AB+CD；
（Ⅱ）证明：（1）如图2中，
∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC，
同（1）得：△ABE≌△AFE（SAS），△DEG≌△DEC（SAS）， ∴BE＝FE，∠AEB＝∠AEF，CE＝EG，∠CED＝∠GED， ∵BE＝CE， ∴EF＝EG，
∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°， ∴∠AEF+∠GED＝60°， ∴∠FEG＝60°，
∴△FEG是等边三角形．
（2）由（1）可知FG＝GE＝EF＝BC， ∵AD＝AG+GH+HD， ∴AD＝AB+CD+BC． 6．解：（1）如图1中，
∵MN∥B′D′，
∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°，∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°， ∴∠C′MN＝∠C′NM， ∴C′M＝C′N， ∵C′B′＝C′D′， ∴MB′＝ND′，
∵AB′＝AD′，∠AB′M＝∠AD′N＝90°， ∴△AB′M≌△AD′N（SAS）， ∴∠B′AM＝∠D′AN，
∵∠B′AD′＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAB′＝22.5°， ∴α＝22.5°．
（2）①如图2中，
∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°，AQ＝AQ，AB′＝AD， ∴Rt△AQB′≌Rt△AQD（HL）， ∴∠QAB′＝∠QAD，
∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°， ∴∠B′AD＝30°，
∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．
②如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AE＝EP，连接EP．设PB＝a． ∵∠ABP＝∠AB′P＝90°，AP＝AP，AB＝AB′， ∴Rt△APB≌Rt△APB′（HL）， ∴∠BAP＝∠PAB′＝15°， ∵EA＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA＝15°， ∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°， ∴PE＝AE＝2a，BE＝∵AB＝6， ∴2a+
a，
a＝6，
）． ），
）＝6
﹣6，
∴a＝6（2﹣∴PB＝6（2﹣
∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6（2﹣
∵∠CPQ+∠BPB′＝180°，∠BAB′+∠BPB′＝180°， ∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°，
∴PQ＝＝＝12﹣4．
7．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠AHC＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形AHCD是矩形， ∴AD＝CH＝2，AH＝CD＝3， ∵tan∠AEC＝3， ∴
＝3，
∴EH＝1，CE＝1+2＝3， ∴BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2．
（2）延长AD交BM的延长线于G． ∵AG∥BC， ∴∴
＝＝
， ， ，AG＝2+，
＝
，
∴DG＝∵
＝
∴＝，
∴y＝
（0＜x＜3）．
（3）①如图3﹣1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°，
∵△EBN∽△EAB， ∴EB2＝EN•AE， ∴
解得x＝．
②如图3﹣2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，
，
∵△BNA∽△EBA， ∴AB2＝AE•AN， ∴（3
）2＝
•[
+
解得x＝13，
综上所述DM的长为或13．
8．解：探究：如图①中，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，
则四边形BEMF是平行四边形， ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°， ∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形， ∴ME＝MF， ∵CM⊥MN， ∴∠CMN＝90°， ∵∠FME＝90°， ∴∠CME＝∠FMN， ∴△MFN≌△MEC（ASA）， ∴MN＝MC；
应用：（1）当点M与D重合时，△CNM的面积最大，最大值为18， 当DM＝BM时，△CNM的面积最小，最小值为9， 综上所述，9≤S＜18．
（2）如图②中，
由（1）得FM∥AD，EM∥CD， ∴
＝
＝
＝，
∵AN＝BC＝6， ∴AF＝3.6，CE＝3.6， ∵△MFN≌△MEC， ∴FN＝EC＝3.6，
∴AN＝7.2，BN＝7.2﹣6＝1.2， ∴AN＝6BN， 故答案为AN＝6BN． 9．解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝CG＝4，∠B＝90°， ∵AB＝CD＝2， ∴DG＝
＝
，
＝2
，
∴AG＝AB﹣BG＝4﹣2故答案为4﹣2
（2）如图2中，
．
由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°， ∵点G在线段AE上， ∴∠AGC＝90°， ∵CA＝CA，CB＝CG， ∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）． ∴∠ACB＝∠ACG， ∵AB∥CD ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACH＝∠HAC，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m， 在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2， ∴m2＝22+（4﹣m）2， ∴m＝， ∴AH＝，GH＝
（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，最小值＝×OG×EG＝×2×（4﹣
）＝4﹣
．
＝
＝．
当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大．最大值＝×E′G′×OG′＝×2×（4+
）＝4+
综上所述，4﹣≤S≤4+．
10．解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝
＝
＝10，
当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．
∴tan∠PQM＝＝＝．
（2）如图1中，延长QN交AB于K．
由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝x，AM＝x，KQ＝BQ＝∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝∵QN＜QK， ∴x＜∴x＜
，
，
，
，BK＝BQ＝，
∴y＝PM•MK＝
（0≤x＜）．
（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．
∵PD∥BC，EN∥BC， ∴PD∥NE， ∵PE∥DN，
∴四边形PDNE是平行四边形， ∴PE＝DN， ∵DN＝DM，PQ＝MN， ∴PE＝EQ， ∵EG∥PC， ∴CG＝GQ， ∴EG＝PC，
∵四边形EGHN是矩形， ∴NH＝EG＝NQ＝PM＝∴
x，PC＝8﹣x，
x＝•（8﹣x），
．
解得x＝
②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．
∵DH＝PC， ∴8﹣x＝•解得x＝
x，
，
或
．
综上所述，满足条件x的值为
11．解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC． 理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠F， 在△ABE和△FCE中，
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS）， ∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAF＝∠FAD， ∴∠FAD＝∠F， ∴AD＝DF， ∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD． 故答案为AD＝AB+DC．
（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．
证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC ∴△AEB≌△GEC（AAS） ∴AB＝GC
∵AE是∠BAF的平分线 ∴∠BAG＝∠FAG， ∵∠BAG∠G， ∴∠FAG＝∠G， ∴FA＝FG， ∵CG＝CF+FG， ∴AB＝AF+CF．
（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．
证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥CF， ∴∠BAE＝∠G， 在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC， ∴AB＝GC， ∵∠EDF＝∠BAE， ∴∠FDG＝∠G， ∴FD＝FG， ∴AB＝DF+CF．
12．解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H．
在Rt△BCD中，∵∠DHC＝90°，CD＝5，tan∠DCH＝， ∴DH＝4，CH＝3， ∴BH＝BC+CH＝5+3＝8， ∴tan∠DBE＝
＝＝．
故答案为．
（2）如图2中，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵BC＝5，tan∠CBM＝∴CM＝
，BM＝DM＝2
＝， ，
∵PF∥CB， ∴∴
＝＝
，
，
解得t＝．
（3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是平行四边形PBQF，S＝PB•PQ＝2＝10t2．
t•t
如图3﹣2中，当＜t≤1时，重叠部分是五边形PBQRT，S＝S﹣•[5t﹣（5﹣t）]• [5t﹣（5﹣t）]＝﹣
平行四边形PBQF﹣S△TRF＝10t2
t2+30t﹣10．
如图3﹣3中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PBCT，S＝S△BCD﹣S△PDT＝×5×4﹣（•5﹣t）（4﹣2t）＝﹣t2+10t． •
（4）如图4﹣1中，当MN∥AB时，设CM交BF于T．
∵PN∥MT， ∴
＝
，
∴＝，
∴MT＝，
∵MN∥AB， ∴
＝
＝
＝2，
∴PB＝BM， ∴2
t＝×2，
∴t＝．
如图4﹣2中，当MN⊥BC时，易知点F落在DH时，
∵PF∥BH， ∴∴
＝＝
，
，
解得t＝．
如图4﹣3中，当MN⊥AB时，易知∠PNM＝∠ABD，
可得tan∠PNM＝＝，
∴＝，
解得t＝，
当点P与点D重合时，MN∥BC，此时t＝2， 综上所述，满足条件的t的值为或或或2． 13．解：（1）由题意AP＝2t，AQ＝PQ＝t， ∵PM＝3PQ， ∴PM＝3t． 故答案为3t．
（2）如图2﹣1中，当点M落在BC上时，
∵PM∥AC， ∴∴
＝＝
， ，
解得t＝
如图2﹣2中，当点N落在BC上时，
∵NQ∥AC， ∴∴
＝＝
， ，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为≤t≤．
（3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQNM，S＝3t2
如图3﹣2中，当＜t≤时，重叠部分是五边形PQNEF．
S＝S矩形PQNM﹣S△EFM＝3t2﹣•[3t﹣（4﹣2t）]• [3t﹣（4﹣2t）]＝﹣
6，
t2+18t﹣
综上所述，S＝．
（4）如图4﹣1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E．
∵∠FAB＝∠FEB＝90°，∠FBA＝∠FBE，BF＝BF， ∴△BFA≌△BFE（AAS），
∴AF＝EF，AB＝BE＝4，设AF＝EF＝x， ∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC＝
＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
在Rt△EFC中，则有x2+12＝（3﹣x）2， 解得x＝， ∵PM∥AF， ∴
＝
，
∴＝，
∴t＝
如图4﹣2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F．
同法可证：△ECA≌△ECF（AAS）， ∴AE＝EF，AC＝CF＝3，设AE＝EF＝y， ∴BF＝5﹣3＝2，
在Rt△EFB中，则有x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝， ∵PM∥AC， ∴
＝
，
∴＝，
解得t＝．
如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件．
设MC的延长线交BA的延长线于E，作EF⊥BC交BC的延长线于分，
同法可证：AC＝CF＝3，EF＝AE，设EF＝EA＝x， 在Rt△EFB中，则有x2+82＝（x+4）2， 解得x＝6， ∵AC∥PM， ∴∴
＝＝
， ，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为
或或
14．解：（1）由题意：AP＝t，CQ＝2t．
（2）①作AM⊥BC于M，如图所示， ∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠C＝45°＝∠B， ∴AB＝AC， ∴BM＝CM＝4， ∵AD∥BC，
∴∠PAC＝∠C＝45°， ∵PE⊥BC， ∴AM∥PE，
∴四边形AMEP是平行四边形， ∴AP＝EM，
∴4﹣（2t﹣2）＝t， ∴t＝2．
②∵t＝2， ∴PA＝2， ∵EQ＝2，
∴点Q与点M重合，
∴四边形AQEP是矩形．
（3）存在．理由如下：
（ⅰ）当点Q、E在线段BC上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP＝BE， ∴t＝8﹣2t+2， 解得：t＝
，
（ⅱ）当点Q、E在线段CB的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形 则AP＝BE，
t＝2t﹣2﹣8
解得：t＝10
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝
（4）∵四边形APCE是菱形，AC是对角线，∠ACE＝∠ACP＝45°， ∴∠PCE＝90°， ∴四边形APCE是正方形，
∴点E与M重合，此时CQ＝4+2＝6．AP＝4， ∴t＝4，
∴点Q的运动速度为＝单位长度/秒．
或10秒．
15．解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝
＝
＝5，
∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°， ∴△ANM∽△ACB， ∴
＝
， ，
∴＝
∴AM＝．
（2）①如图2中，
∵NA′∥AC， ∴∠AMN＝∠NMA′，
由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′， ∴∠MNA′＝∠A′MN， ∴A′N＝A′M，
∴AM＝A′N，∵AM∥A′N， ∴四边形AMA′N是平行四边形， ∵MA＝MA′，
∴四边形AMA′N是菱形．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x， ∵MA′∥AB， ∴∴＝解得x＝∴AM＝∴CM＝∴CA′＝∴AA′＝
＝
， ， ， ， ，
＝
＝，
＝＝，
∵四边形AMA′N是菱形， ∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝∴OM＝∴MN＝2OM＝
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．
＝．
， ＝
，
∵NH∥AC， ∴∴
＝
＝
＝＝
∴NH＝，BH＝， ∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝， ∴AM＝AC＝
，
＝，
∴CM＝AC﹣AM＝4﹣∵CM∥NH， ∴
＝
，
∴＝，
∴PC＝1．
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