平顺县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f（x）的性质叙述正确的是（ ）

A．只有减区间没有增区间 B．是f（x）的增区间 C．m=±1

D．最小值为﹣3

的最小值为（ ）

D．1

2． 已知x＞1，则函数A．4

B．3

C．2

3． 抛物线y=﹣8x2的准线方程是（ ） A．y= 4． 如图

，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至

B．y=2 C．x=

D．y=﹣2

少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A．

5． 为得到函数A．向左平移C．向左平移

个长度单位 个长度单位

B．

C．

D．

的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）

B．向右平移D．向右平移

个长度单位 个长度单位

6． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）

A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品 C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案 7． △ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b，且获得一等奖

6，A6，则

B（ ）111]

A．

32 B．或 C．或 D．

434433第 1 页，共 19 页

8． 已知函数，函数

﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

9． （﹣6≤a≤3）的最大值为（ ） A．9

B．

C．3 D．

10．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

11．执行如图所示的程序，若输入的x3，则输出的所有x的值的和为（A．243 B．363 C．729 D．1092

第 2 页，共 19 页

，其中b∈R，若函数y=f（x）

）

【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力． 12．设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题

13ccosBab，ABC的面积SABCA、B、Ca、b、c13．在中，角的对边分别为，若c，

212则边c的最小值为_______．

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．

第 3 页，共 19 页

14．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

坐标不变），所得函数图象的解析式为 ． 15．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈ ． 16．下列说法中，正确的是 ．（填序号）

①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；

②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称； ③y=（

x

）﹣是增函数；

④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．

17．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是 ． 18．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于 km．

三、解答题

19．若已知

，求sinx的值．

12axx,aR． 2（1）令gxfxax1，讨论gx的单调区间；

20．已知函数fxlnx（2）若a2，正实数x1,x2满足fx1fx2x1x20，证明x1x2

51． 2第 4 页，共 19 页

21．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1} （1）若a=，求A∩B．

（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

22．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；

（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|x2||x1|，g(x)x. （1）解不等式f(x)g(x)；

（2）对任意的实数，不等式f(x)2x2g(x)m(mR)恒成立，求实数m的最小值.111]

第 5 页，共 19 页

24．已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

（Ⅰ）椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：（Ⅲ）当

为定值．

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

第 6 页，共 19 页

平顺县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数， 则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，

当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件， 当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f（x）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B， 故选：B

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．

2． 【答案】B

【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0 由基本不等式可得，当且仅当故选B

3． 【答案】A

2

【解析】解：整理抛物线方程得x=﹣y，∴p=

即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”

∵抛物线方程开口向下，

第 7 页，共 19 页

∴准线方程是y=故选：A．

，

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．

4． 【答案】

D

【解析】

古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计． 结论．

【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得

3

【解答】解：从9个数中任取3个数共有C9=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；

∴所求的概率为故选D． 简单． 5． 【答案】A

【解析】解：∵

=

【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较

，

个单位得到函数

只需将函数y=sin2x的图象向左平移故选A．

的图象．

【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．

6． 【答案】D

【解析】【知识点】线性规划

【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，

则根据题意有：，作可行域为：

第 8 页，共 19 页

A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。 其中，x最大为4，y最大为16．

最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。 所以A、B、C正确，D错误。 故答案为：D 7． 【答案】B 【解析】

试题分析：由正弦定理可得:3sin6362,sinB,B0,,B 或，故选B.

4sinB24考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 8． 【答案】 D

【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

第 9 页，共 19 页

2

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，

若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：

22

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．

22

当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22

当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，

故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，

则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

9． 【答案】B

【解析】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣（a）的最大值为故

，

（﹣6≤a≤3）的最大值为

=

，

+

，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f

第 10 页，共 19 页

故选B．

【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

10．【答案】D

【解析】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD⊆面PDA，PD⊆面PDC， ∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD， 又∵四边形ABCD为矩形 ∴BC⊥CD，CD⊥AD ∵PD⊥矩形ABCD所在的平面 ∴PD⊥BC，PD⊥CD ∵PD∩AD=D，PD∩CD=D

∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD， ∵CD⊆面PDC，BC⊆面PBC，AB⊆面PAB，

∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD 综上相互垂直的平面有5对 故答案选D

11．【答案】D

【解析】当x3时，y是整数；当x3时，y是整数；依次类推可知当x3n(nN*)时，y是整数，则

2由x31000，得n7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D．

n12．【答案】A

22

【解析】解：方程|x+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数， 2

作函数y=|x+3x﹣3|与y=a的图象如下，

第 11 页，共 19 页

，

结合图象可知， m的可能值有2，3，4； 故选A．

二、填空题

13．【答案】1

14．【答案】 y=cosx ．

【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移故答案为：y=cosx．

15．【答案】 [﹣1，3] ．

个单位长度，得

，即y=cos2x的图象，把y=cos2x

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；

第 12 页，共 19 页

22

【解析】解：∵函数y=sinx﹣2sinx=（sinx﹣1）﹣1，﹣1≤sinx≤1， 22

∴0≤（sinx﹣1）≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）﹣1≤3． 2

∴函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．

故答案为[﹣1，3]．

【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．

16．【答案】 ②④

②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确； ③y=（

x

）﹣是减函数，故错误；

【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；

④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确． 故答案为：②④

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．

17．【答案】 [，1] ．

【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M， ∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得 2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]， 故答案为[，1]．

18．【答案】 25

由正弦定理可得AC=故答案为：25

．

【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，

=25

km，

【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：∵∴sin（

）=﹣

，∴

＜

＜2π，

=﹣．

第 13 页，共 19 页

∴sinx=sin[（x+=﹣

﹣

）﹣

=﹣

]=sin（

．

）cos﹣cos（

）sin

【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．

20．【答案】（1）当a0时，函数单调递增区间为0,，无递减区间，当a0时，函数单调递增区间为0,

11，单调递减区间为,；（2）证明见解析. aa【解析】

试

题解析：

第 14 页，共 19 页

（2）当a2时，fxlnxxx,x0，

22

2由fx1fx2x1x20可得lnx1x2x1x1x2x20， 即x1x2x1x2x1x2lnx1x2，

21t1，

tt则t在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，

令tx1x2,ttlnt，则t1所以t11，所以x1x2x1x21，

2第 15 页，共 19 页

51， 2由x10,x20可知x1x20．1

又x1x20，故x1x2考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 21．【答案】

【解析】解：（1）当a=时，A={x|∴A∩B={x|0＜x＜1} （2）若A∩B=∅

当A=∅时，有a﹣1≥2a+1 ∴a≤﹣2 当A≠∅时，有∴﹣2＜a≤综上可得，

或a≥2

或a≥2

}，B={x|0＜x＜1}

【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．

22．【答案】

【解析】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29． 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．

（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2， 设成绩为x、y

成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c， 若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况， 若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况， 若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有 a b c x xa xb xc 第 16 页，共 19 页

y ya yb yc 共有6种情况，所以基本事件总数为10种， 事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种 ∴

．

，所以有：

×组距=

【点评】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数．

23．【答案】（1）{x|3x1或x3}；（2）. 【

解

析

】

试

题解析：（1）由题意不等式f(x)g(x)可化为|x2|x|x1|， 当x1时，(x2)x(x1)，解得x3，即3x1； 当1x2时，(x2)xx1，解得x1，即1x1； 当x2时，x2xx1，解得x3，即x3 （4分） 综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为{x|3x1或x3}. （5分）

（2）由不等式f(x)2x2g(x)m可得|x2||x1|m， 分离参数m，得m|x2||x1|，∴m(|x2||x1|)max

∵|x2||x1||x2(x1)|3，∴m3，故实数m的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1 24．【答案】

【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为

（a＞b＞0）．

∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4． ∴

，2a=4，解得a=2，c=1．

222

∴b=a﹣c=3．

第 17 页，共 19 页

∴椭圆C的标准方程为．

（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x（k≠0），P（x，y）． 联立

，化为

，

222

∴|OP|=x+y=2

，同理可得|OQ|=

，

=

为定值．

∴=+

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立． 因此（III）当

=

为定值． =

定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．

证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）． 联立

，化为

，

=

=

=

，满足条件．

222∴|OP|=x+y=

，

，

=

+

=

．

2

同理可得|OQ|=

∴

2

化为（kk′）=1，

∴kk′=±1．

∴OP⊥OQ或kk′=1． 因此OP⊥OQ不一定成立．

第 18 页，共 19 页

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

第 19 页，共 19 页