2021年椭圆的焦点弦长公式

欧阳光明（2021.03.07）

2ab2F1F22ac2cos2及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有

2ab2F1F22ac2cos2。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距F1F242，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设PF1X(0)，当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a4，c22，从而

b22，故由焦

点弦长公式

2ab2F1F22ac2cos224(22)242及题设可得：2168cos，解

得cos22，即arccos22或arccos22。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线l通过点F，且倾斜角为，又直线

l被椭圆E截得的线段的长度为

16，求椭圆53E的方程。

分析：由题意可设椭圆相应于F的准线为式有

2ab2a2c2cos2(xc3)2(y1)21，又椭圆E的方程为22abE

a2Y轴，故有c3 （1）， 又由焦点弦长公

c316 （2）又 a2b2c2 （3）。解由（1）、5（2）、（3）联列的方程组得：a24，b23，c1，从而所求椭圆

(x4)2(y1)21。 E的方程为43例3、已知椭圆

x2y2xyC：221（ab0），直线l1：1abab被椭圆C截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的，求椭圆C的方程。

分析：由题意可知直线l1过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有ab8， （1）又由焦点弦长公式得

22252ab2a2c2cos2=

4a5，

（2） 因tan=3，得3，（3）

又 a2b2c2 （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：a6，b2，从而所求椭圆

22x2y2E的方程为1。

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