福师《数学分析选讲》模拟试题及答案(二)

一、单项选择题

1.下列结论正确的是（ ）.

A. 若0f(x)dx和0f(x)dx均发散，则f(x)dx一定发散；

B. 若)dx发散，0g(x)dx发散，则0f(x0[f(x)g(x)]dx一定发散； C. 若f(x)dx发散，g(x)dx发散，则000f(x)g(x)dx一定发散； D. 若f(x)dx收敛，00g(x)dx发散，则0f(x)g(x)dx一定发散.

答案：A

n2.limn!nlnn等于( ) A. 110lnxdx B. 0lnxdx C. 0xdx D. 0xdx.

答案：A 3. 函数

yln(1x2)单调增加且图形为凹的区间是（ ）.

A. (,1) B. (1,0) C. (0,1) D. (1,) 答案：C

4. 设二元函数f(x,y)存在偏导数，则f(x02x,y0)f(x0x,y0)limx0x（ A. 0 B. fx(x0x,y0) C. 2fx(x0,y0) D. 3fx(x0,y0) 答案;D

5. 若f(x2)dxx4C，则f(x)=（ ）

．x2C B. x385A3C C.5x2C D. x4C

答案：C

6. 部分和数列{Sn}有界是正项级数un收敛的( )条件

n1 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要

答案：C

7．当x0时，xsinx与x比较是（ ）.

A.等价无穷小 B.高阶无穷小 C.低阶无穷小 D.同阶无穷小

.

）答案：B

8. 设f(x)x34x23x1，则方程f(x)0（ ）. A.在(0,1)内没有实根 B.在(1,0)内没有实根

C.在(,0)内有两个不同的实根 D.在(0,)内有两个不同的实根 答案：C

23x,x19. 设f(x)3，则f(x)在x1处的（ ）.

x1x,（A）左右导数都存在

（B）左导数存在，右导数不存在 （C）左右导数都不存在

（D） 左导数不存在，右导数存在 答案：B

10. f(x0)0是f(x)在xx0取得极值的（ ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分又非必要条件 答案：D

11. 设f(x)和g(x)均为区间I内的可导函数，则在I内，下列结论正确的是（ ）.

A．若f(x)g(x), 则f(x)g(x) B. 若f(x)g(x)，则f(x)g(x) C. 若f(x)g(x)，则 f(x)g(x) D. 若f(x)g(x)，则f(x)g(x) 答案：A

12．f(x)在[a,b]有界是f(x)在[a,b]可积的（ ）.

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充分且必要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：B

f(1)f(1x)13. 设f(x)为可导函数，且满足lim 那么曲线yf(x)在点(1,f(1)) 1，

3xx0处的切线斜率为 ( )

A. 3 B. 3 C. 1 D. 1 答案：A

二、判断题：以下各题若正确请在（ ）内填“√”, 若错误填“×”. 1.若xn不是无穷大量，则xn任一子列均不是无穷大量. （ ） 答案：×

2. 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上也可积. （ ） 答案：×

3. 当xx0时，f(x)不以A为极限，则存在

{xn},xnx0(n1,2),xnx0(n)，使{f(xn)}不以A为极限.（ ） 答案：√

4. 若limun0，则级数un收敛但和不一定是0 . （ ）

nn1答案：×

5. 对zf(x,y), 偏导数连续,则全微分存在. （ ） 答案：√

6.若xn不是无穷大量，则xn必存在有界子列. （ ） 答案：√

7. 若函数f(x)在[a,b]上可积，而g(x)只在有限个点上与f(x)的取值不相同，则g(x)在[a,b]上也可积，且有f(x)dxg(x)dx.（ ）

aabb答案：√

8.若f(x)在点x0连续，则f(x)在x0既是右连续，又是左连续. （ ） 答案：×

x9. 函数展开成x的幂级数为n021xx2n1,x1. （ ）

答案：√

xy22,xy02210.二元函数f(x,y)xy，在点(0,0)处连续，偏导数存在. （ ）

x2y200,答案：√ 三、填空题

1、若(2x3x2)dx0，则k的值为 .

0k答案：0或1

2、设(xn2021)2收敛，则limxn= .

n1n答案：2021

(x3)n3、级数的收敛区间是 .

nn1答案：（2，4）或[2,4）

4.设(xn10)2收敛，则limxn= .

n1n答案：10 5.

(x,y)(0,0)limxy .

xy42答案：4

(x2)2n6.级数的收敛区间是_____________.

nn1答案：（1，3）

7.广义积分答案：5

0k1dx . ，则1x210k18.lim1+ . xxx答案：e

1xe,x0，则f(0) . 9.设f(x)x0,x02答案：1

四、计算题

cotx1.求积分dx.

1sinx解：

dsinxcotx dx=sinx1sinx1sinx11 =dsinx

sinx1sinx =lnsinxln1sinxc

2.将函数f(x)解：

1展成x1的幂级数. 12x111112x32(x1)312(x1) 3n12(x1)nn2()(1)n1(x1)n,3n033n0f(x)15收敛域为(,).

22五、综合题.

n21！ 1.lim4cosn. （请说明理由）

nn1答： 原式＝０（有界量乘以无穷小量） 2. 叙述一元函数可导，可微，连续的关系.

答：一元函数可导与可微是等价的，可导推出连续，连续不一定可导.