椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用

b2性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2

ax2y21上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260， 例1. 若P是椭圆

10064求△F1PF2的面积.

x2y21上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点， 例2.已知P是椭圆

259证明：

性质二：已知椭圆方程为

xy1(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形22ab22若PF1PF2|PF1||PF2|1，则△F1PF2的面积为（ ） 2A. 33 B. 23 C. 3 D.

PF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan证明：

2.

3 3x2y21的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 例3.已知椭圆

169若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）

9999797A. B. C. D. 或

54477x2y2性质三：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

x2y2例4. 已知F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，椭圆上一点P使

abPF1F2中F1PF2,则cos12e2.

F1PF290，求椭圆离心率e的取值范围。

1

鞍山三中高二文科数学

练习题：

y2x21上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，1. 椭圆则△F1PF2的4924

专题2：离心率求法：

1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )

2356A.2 B.2 C.3 D.3

2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) 4321A.5 B.5 C.5 D.5

3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．

x2y2

4.已知A为椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、 F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．

5．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点

2

的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的3，求椭圆的离心率．

面积为（ ）

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

x2y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为12. 椭圆4时，PF1PF2的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 6

x2y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积 3. 椭圆4最大时，PF1PF2的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2

x24．已知椭圆2y21（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，

a且F1PF260，则|PF1||PF2|的值为（ ） A．1 B．

13 C．

4 3 D．

2 35. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上， 直线PF2倾斜角的差为90，△F1PF2的面积是20，离心率为1与PF求椭圆的标准方程.

5， 3

2

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椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）

性质二

证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，

由椭圆的第一定义得r1r22a,(r1r2)24a2.

F1 O F2 x 在△F1PF2中，由余弦定理得：r1r22r1r2cos(2c)2.

配方得：(r1r2)22r1r22r1r2cos4c2. 即4a22r1r2(1cos)4c2.

22y P 2a22c22a22c21112e2. 命题得证。 2rr2a2(12)22x2y21中，a10,b8,c6,而60. 例1．解法一：在椭圆

10064记|PF1|r1,|PF2|r2.

点P在椭圆上，

由椭圆的第一定义得：r1r22a20.

在△F1PF2中，由余弦定理得：r1r22r1r2cos(2c)2. 配方，得：(r1r2)23r1r2144.

222(a2c2)2b2r1r2.

1cos1cos由任意三角形的面积公式得：

SF1PF21sinr1r2sinb2b221cos2sin22b2tan.

22cos22cos4003r1r2144.从而r1r2SF1PF2256. 3112563643r1r2sin. 22323SF1PF2b2tan2.

x2y21中，b264，而60. 解法二：在椭圆

10064SF1PF2b2tany2x2同理可证，在椭圆221（a＞b＞0）中，公式仍然成立.

ab性质三

证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得： cos264tan30643. 3PF1PF2|PF1||PF2|1，60. 2例2.解：设F1PF2，则cos22rrF1F2(rr)2r1r24c2a2c121

2r1r22r1r22r1r22122222SF1PF2b2tan故选答案A.

29tan3033.

3

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b29；若P是直角顶点，例3.解：若F1或F2是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长

a42设点P到x轴的距离为h，则SFPFbtan2PF2. 1PF2|PF1||PF2|cosacos120故答案选D.

29tan459，又SFPF1(2c)h7h, 31221227h9，h977.故答案选D. 思路一：由焦点三角形性质二， cos90012e2.



22≤e＜1 思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为B

则S1F1PF2b2tan45b2≤SF1BF222cbbc

b≤c b2≤c2 a2c2≤c2e2c212a2≥2，故

2≤e＜1

练习题：

1. 解：Fb224，S21PF290,F1PF2btan224tan4524.

故答案选D.

2. 解：设F，S21PF2F1PF2btan2tan21，

245,90，PF1PF20.

故答案选A.

3. 解：a2,b1,c3，设FS21PF2， F1PF2btan2tan2，

当△F1PF2的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，120，

4． 解：F1PF260，b1，SF1PF2btan2tan303， 又SF1PF212|PF|PF31|2|sin4|PF1||PF2|， 34|PF31||PF2|3，从而|PF41||PF2|3. 故答案选C.

5. 解：设F S221PF2，则90. F1PF2btan2btan45b220，

又eca2b25aa3， b215205a29，即1a29.

解得：a245.

x2y2y2所求椭圆的标准方程为

45201或45x2201.

离心率求法：

1.解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，

4

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∴c2a＝2. 2.解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2， ∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.

∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.

∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝3

5或e＝－1(舍去)． 3.解析：依题意，得b＝3，a－c＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，

∴椭圆的离心率为e＝c＝44

a5. 答案：5 4.解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m，

∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4m. 又在Rt△AF1F2中，

|F1F2|＝|AF1|2－|AF2|2＝22m.

∴e＝2c＝|F1F2|22m22a2a＝4m＝2. 5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，

F0)，M点的坐标为(c，2

2(c,3b)， 则△MF1F2为直角三角形． 在Rt△MF1F2中，

|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，

即4c2＋4

29b2＝|MF1|.

而|MF1|＋|MF2|＝4c2

＋4229b＋3b＝2a， 整理得3c2＝3a2－22ab.又c2＝a2－b2，

所以3b＝2a.所以b4

a2＝9. c2

a2－b2b2∴e2

＝5 ∴e＝5a2＝a2＝1－a2＝9， 3. 法二：设椭圆方程为 x2y2

a2＋b2＝1(a>b>0)，

则M(c，2b)．代入椭圆方程，得c24b2

3a2＋9b2＝1，

所以c2a2＝59，所以ca＝553，即e＝3.

5