2012年考研数学一真题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

x2x（1）曲线y2渐近线的条数（

x1（A）0

（B）1

）

（D）3

（C）2

解析：C 由limyx1,得y1为水平渐近线 得x1为垂直渐近线

由limyx1由lim

x1y1,得x1非垂直渐近线，选（C） 2f(x)(ex1)(e2x2)…（enx-n），其中(n1)! n!

（B）(1)（D）(1)n（2）设函数（

）

n为正整数，则

f(0)=

（A）(1)（C）(1)n1(n1)! n!

n1n

解析： A

f(x)ex(e2x2)(ex1)(e2x2)f(0)1(1)选（A）

（3）如果函数

(enx2)(ex1)2e2x(1n)(1)n1(n1)!(enxn)

nenxf(x,y)在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（

）

f(x,y)（A）若极限lim存在，则f(x,y)在（0，0）处可微

x0xyy0（B）若极限limx0x0f(x,y)存在，则f(x,y)在（0，0）处可微 22xyx0y0（C）若

f(x,y)在（0，0）处可微，则极限limf(x,y)存在

xyf(x,y)（D）若f(x,y)在（0，0）处可微，则极限lim2存在

x0xy2x0

解析：(B)

f(x,y)lim2k x0xy2y0f(0,0)0

zf(x,y)f(0,0)0x0y()f(x,y)在(0,0)处可微.

（4）设Ik（A）I1

e0kx2sinxdx(k1,2,3)则有（

(B)I3）

(D)I2I2I3 I2I1 (C)I2I3I1 I1I3

解析： D

I2I1esinxdxI1e|sinx|dxI1.

2x22x2I3I1e|sinx|dxesinxdx.

2x23x2而

ee223x2sinxdxxte2x222(t)2sintdt

(x)2|sinx|dxe|sinx|dx.

I3I1.I3I1I2.

1001其中c,c,c,c为任

(5)设10，21，31，41，1234cccc1243意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）

（A）α1, α2, α3

（B）α1, α2, α 4（C）α1, α3, α4 （D）α2, α3, α4

解析：C

0,与成比例.

340341cc341与3+4线性相关,1，3，4线性相关，选C 0或1,3,40c111110 c3c41,3,4线性相关，选C

1001（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且pAP010.若P=(α1, α2, α3)，

002Q(12,2,3).则Q-1AQ=( ) 100(A)020 001

100(B)010 002200(C)010 002200(D)020 001解析：（B）

100

Q(1+2，2，3)P110001100100P1AP110

Q1AQ11000100111001100111101

11000122001

（7）设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{x(A)15

(B)

123 (C)

45(D)

5

解析：(A)

X~E(1)，Y~E(4)fex,x0x(x). 0,x0f4e4y,Y(y)0,X,Y独立.

4exf(x,y)e4y,x0,y0

0,其他P(XY)

xf(x,y)dy0dxx4exe4ydy exdx0xe4yd(4y) 0exe4xdx e5x0dx

15.

（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） (A) 1

(B)

12 (C)

12 (D)

1

解析：设一段长X,另一段Y1X， y0y0. 由cov(X,Y)DXDY DXD(1X)DY

cov(X,Y)EX(1X)EXE(1x)

E(XX2)EX[1EX] EXEX2EX(EX)2 EX2(EX)2DX

1，选项D

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. （9）若函数f(x)满足方程f(x)=_________.

f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2ex，则

解析：22012,21

f(x)f(x)2f(x)0f(x)C1e2xC2ex,

代入

f(x)f(x)2ex得C10,C21.

f(x)ex

（10）

20x2xx2dx________

解析：

 2220

20x2xxdx(x1)11(x1)2d(x1)

12111(x1)1xdx1xdx21x2dx0212.

z（11）gradxyy(2,1,1)_______

解析：{1，1，1}

gradxygradxy （12）设

zz1y,x, 2yyyz1,1,1} (2,1,1){yzxyz1,x0,y0,z0}{(,x,y)|，则

2yds_____ . 3解析:.

12z1xy,D:xy1(x0,y0)

ydsy3d3dx2D02211x0y2dy

3133341 (1x)dx(1x)0301212

（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E

解析：2. 设A的秩为_________.

EXXT,A2A

r(A)r(EA)3.

r(EA)r(XXT)r(X)1

r(A)2.

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，

11P(AB),P(C),则

23P（C）=_________.

解析：

3 4P(ABC)P(AB)P(ABC)解：P(AB|C) 1P(C)P(C)AC，ABC.

1P(AB)32P(AB|C). 1P(C)243

三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上.

（15）（本题满分 分）

x21x证明xln+cosx1+(-121x1xx2证明：令(x)xlncosx1.(0)0.

1x21x2x’(x)lnsinxx 21x1x1x1x2lnxsinx 21x1x1x21x0x1时. lnxx，又sinxx. 0,21x1x’(x)0；

1x21x1x0时，lnxx,又sinxx. 0，21x1x’(x)0.

（0）=0 x0为(x)在（-1，1）内最小点，而当-1(16)（本题满分 求函数f(x,y)xe

分）

x2y22的极值

解析：

由

x2y2'2fx(1x)e20x1x1x2y2得及 '2fyxye0y0y0x2y22x2y22''fxx(x33x)e''fxyy(1x2)e''fyyx(y21)e

x2y2211x1当时，A2e2,B0,Ce2. y0x12为极小点. ACB0且A0，y0极小值为

f(1,0)e.

1211x1当时，A2e2,B0,Ce2, y0x1ACB0且A0,为极大点

y02极大值为

f(1,0)e12

（17）（本题满分 求幂级数

分）

n04n24n32n

x的收敛域及和函数

2n1an1解：由lim1得R=1.

xan当x1时.

4n24n3(n)

2n1x1时级数发散.收敛域为（-1,1） 4n24n32nx 令S(x)2n1n022n(2n1)x

2n1n0x2n=(2n1)x2 n0n02n12nx2n2n1x2

n02n1n0’1x2x2S1(x)2S1(x) 222(1x)1x当x=0时，S(0)=3.

’x2n1当x≠0时，xS1(x)=

n02n1xS1(x)’x2nn011x2

11x11xxS1(x)ln,S1(x)ln.

21x2x1x3S(x)1x211x(1x2)xln1x

（18）(本题满分

,x0,1x1且x0

分)

已知曲线

xf(t)L：（0t<

2ycost），其中函数f (t)具有连续导数，且f (0)=0，

ft>0(02达式，并求此曲线L与x轴无边界的区域的面积.

解析：

①kdydy/dtsint. dxdx/dtf(t)sint（xf(t)），令y0 切线为ycostftxf(t)ft)cott,切线与x轴交点为(f(t)f(t)cost,0).

由题意

f(t)cot2tcos2t1

22sin4tf(t). 2costsin2tf(t)0.f(t)sectcost.

costf(t)ln|secttant|sintC

f(0)0,f(t)ln|secttant|sint

②A20ydx2costf(t)dt

02sin2tI201. 224分）

222y22x到点（2，0），再沿圆周xy4

（19）（本题满分

已知L是第一象限中从点（0，0）沿圆周x到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分I3x2ydx(x3x2y)dy

L解析：

补充

L0:x0(y12,y20)ILL0

L0而

LL0(3x13x)dd(4x22xx2)dx

D222D02014xdx4

42

2012xx2dx（依据定积分几何意义）

2202LL02.

L0(2y)dy4.

2I24.

分）

（20）（本题满分

10已知A=0aa00111a0,

001a0010（1）计算行列式|A|；

（2）当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解.

解析：

（I）A1(1)5aa31a4

（II）当a1及a1时，Ax=有无穷多个解. 当a1时，

11= 100120101100110

0000012通解为xk111

100当a1时.

1100110010110101010011001110010000000100 1011通解为xk

1010

（21）（本题满分11分）

10已知A10111，二次型f(x1,x2,x3)x()x的秩为2， 0aa10（1） 求实数a的值；

（2） 求正交变换x=Qy将f化为标准型.

解析：

110100T

AA=010a11a110111 0aa1002201a1a1a1a1a 3a2xT(ATA)x秩为2. r(ATA)2(也可以利用r(ATA)r(A)2) ATA0a1 (

ATA(a23)(a1)2)

202T(II)令AA=B=022

224 由解0,2,6

1当时,由(0EA)x0即Ax0得11. 11当2时,由(2EA)x01. 01当6时,由(6EA)x01. 2取r1=1111111,r1,r1. 2332610212120161.62622131Q3令13

fxxxQy2y26y3

（22）（本题满分11分）

设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为 0 0 1 0 2 1 41 41 0 1 30 0 2 （Ⅰ）求P{X1 121 122Y}； Y,Y).

（Ⅱ）求cov(X

解析：

Y 0 1 2 X 0 1 2 (1)P(X11 0 44 0 1 0 311 0 12122Y)P(X0,Y0)P(X1,Y2)110 44(2)cov(XY,Y)cov(X,Y)cov(Y,Y)

120,Y~11131231132. 13EXYEXEYDY

0X的边缘分布X~1212212EX,EY1

363331152DYEY2(EY)212211

333311142EXY1122

31231232222cov(XY,Y)1.

3333

（23）（本题满分 分）

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(,是未知参数且σ>0。设Z=X-Y. （1）求Z的概率密度

2)与N(,22)，其中σ

f(z,2);

2.

ˆ（2）设Z1,Z2,…,ZN为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量ˆ为σ2的无偏估计量. （3）证明

解析：

2X~N(,2),Y~N(,22)，X,Y独立，0，未知ZXY.

解：（1）Z的密度

f(z,2)

X~N(,2),Y~N(,22),X,Y独立. ZXY~N(0,32)

f(z,2)1232ez22321e6z262

（2）设Z1…Zn样本.

n11i622似然出数L(Z1,…Zn,)e6Zi2

n11n2lnL(Z1…Zn,)nln2Zi

66i12nln6162Zi1n2i

nnln6nln162 Z2ii1dlnL0.2d 1nn122112()Zi40,26i12Ziˆ23n

ˆ(3)即证E22,

Zi032Zi~N(0,32)，n2~N(0,1)，Zi是简单随机样本.

Zi2Zi222EZ3n. ，~(n),Eni23i13