2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学

试题

一、单选题

1．集合Mx1x1，Nx0x2，则MA．x1x2 【答案】B

【解析】根据集合交集的定义进行运算即可. 【详解】

在数轴上分别标出集合M,N所表示的范围如图所示， 由图象可知， M故选：B.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2．命题“x02,x0x0”的否定是 A．x02,x0x0 C．x2,x2x 【答案】D

【解析】根据特称命题的否定是全称命题，得出选项. 【详解】

因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x02,x0x0”的否定是

222N（ ）

B．x0x1

C．x0x1

D．x1x0

Nx|0x1.

B．x02,x0x0 D．x2,x2x

2x2,x2x，

故选D. 【点睛】

本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.

3．已知全集UR，集合Axxx20,Bxx1，则图中阴影部分表示

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

的集合是（ ）

A．2,1 【答案】C

B．1,01,2 C．2,10,1

D．0,1

【解析】由集合描述求集合A,B，结合韦恩图知阴影部分为CU(AB)(AB)，分别求出CU(A【详解】

B)、(AB)，然后求交集即可.

Axxx20{x|2x0}，Bxx1{x|1x1}，

由图知：阴影部分为CU(AB)(AB)，而AB{x|1x0}，

AB{x|2x1}，

∴CU(AB){x|x1或x0}，即CU(AB)(AB){x|2x1或

0x1}，

故选：C 【点睛】

本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.

4．若a0,b0，则“ab4”是 “ab4”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A

【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】

当a>0, b>0时，ab2ab，则当ab4时，有2abab4，解得

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

ab4，充分性成立；当a=1, b=4时，满足ab4，但此时a+b=5>4，必要性不成

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立，综上所述，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件. 【点睛】

易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 5．设2a5bm，且A．10 【答案】A

【解析】先根据2a5bm，得到alog2m,blog5m，再由求解. 【详解】

因为2a5bm，

所以alog2m,blog5m， 所以

112，则m（ ） abC．20

D．100

B．10

11logm2logm5ab11logm2logm5logm102， abm210，

又

m0，

m10．

故选：A 【点睛】

本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.

6．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）

A．1 【答案】B

【解析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．

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B．﹣1

C．

15 2D．

15 2

【详解】

把四个图象分别叫做A，B，C，D．

b0矛盾，所以不成立． 2ab0矛盾，所以不成立． 若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得2a若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点， 得a﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴2

b0有可能，所以此时a＝﹣1成立． 2a2

若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a﹣1＝0，解得a＝1， 此时对称轴b0，矛盾，所以不成立． 2a故图象为第三个，此时a＝﹣1． 故选B． 【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握抛物线的开口方法，对称轴之间的关系，属于中档题．

7．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案划算 C．两种方案一样 【答案】B

【解析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】

任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．

B．采用第二种方案划算 D．无法确定

30m30nmnmn；

6024002mnmn. 第二种方案的均价：200200mnmn第一种方案的均价：

所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B 【点睛】

本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.

8．已知集合P1,2,3,4,5，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大

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数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ） A．49 【答案】A

【解析】利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应B的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】

集合P1,2,3,4,5知：

1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：A的集合为{1}， 而B有 24115种集合，集合对(A,B)的个数为15； 2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：

B．48

C．47

D．46

A的集合为{2},{1,2}，而B有2317种，

集合对(A,B)的个数为2714；

3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：

A的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B有2213种，

集合对(A,B)的个数为4312；

4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，

而B有2111种，集合对(A,B)的个数为818； ∴一共有151412849个， 故选：A 【点睛】

本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.

二、多选题

9．设正实数a,b满足ab1，则下列结论正确的是（ ）

A．

11有最小值4 abD．a2b2有最小值

B．ab有最小值1 C．ab有最2大值2 【答案】ACD

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【解析】根据基本不等式逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

1111412ababab对于A，，当且仅当时等号成立，故A正ab22确.

对于B，由基本不等式有ab12ab即ab≤立，

故ab有最大值对于C，因为

11，当且仅当ab时等号成

221，故B错误. 22ab212ab1ab2，故ab2，

当且仅当ab1时等号成立，故ab有最大值2，故C正确. 222ab1，

对于D，因为ab12ab1222当且仅当ab故选：ACD. 【点睛】

本题考查基本不等式在最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题. 10．下列各小题中，最大值是A．yx211时等号成立，故a2b2有最小值，故D正确.

221的是（ ） 2B．yx1x2,x0,1 D．yx1 216xx2C．y4

x1【答案】BC

4x2 x2【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论. 【详解】

解：对于A，y没有最大值；

x21x2112222

对于B，y＝x（1﹣x）≤＝，y≥0，∴y≤，当且仅当x＝时取2422等号.

2第 1 页 共 6 页

1对于C，x＝0时，y＝0.x≠0时，y＝

21时取等号. 1≤，当且仅当x＝±

x22x1对于D，y＝x+2+号. 故选：BC. 【点评】

44﹣2≥2(x2)﹣2＝2，x＞﹣2，当且仅当x＝0时取等x2x2本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题. 11．已知关于x的方程xm3xm0，则下列结论中正确的是（ ）

2A．方程有一个正根一个负根的充要条件是mmm0 B．方程有两个正根的充要条件是mm0m1 C．方程无实数根的必要条件是mmm1 D．当m3时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC

【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可. 【详解】

m34m0A选项中，方程有一个正根一个负根则{即m0；

f00同时m0时方程有一个正根一个负根；m0是方程有一个正根一个负根的充要条件.

2m34m0b3mB选项中，方程有两个正根则{即0m1； 02a2f00同时0m1时方程有两个正根；0m1是方程有两个正根的充要条件. C选项中，方程无实数根则(m3)24m0即1m9；

而m1时方程可能无实根也可能有实根；故m1是方程无实数根的必要条件. D选项中，m3时x230知方程无实根； 故选：ABC 【点睛】

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2

本题考查了一元二次方程根与系数关系，结合二次函数的性质判断方程的根不同分布情况下的充要条件.

12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=

12

x-200x+80000，2且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ） A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B．该单位每月最低可获利20000元 C．该单位每月不获利，也不亏损

D．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 【答案】AD

【解析】根据题意，列出平均处理成本表达式，结合基本不等式，可得最低成本；列出利润的表达式，根据二次函数图像与性质，即可得答案. 【详解】

由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为

y180000180000x2002x200200， x2x2x当且仅当

180000x，即x400时等号成立， 2x故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；

设该单位每月获利为S元， 则

11S100xy100x(x280000200x)x2300x80000221(x300)235000，

2因为x[400,600]， 所以S[80000,40000].

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误， 故选：AD 【点睛】

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本题考查基本不等式、二次函数的实际应用，难点在于根据题意，列出表达式，并结合已有知识进行求解，考查阅读理解，分析求值的能力，属中档题.

三、填空题 13．若1,2【答案】7

【解析】列举出符合条件的集合A，即可得出答案. 【详解】

由题意知，符合1,2A1,2,3,4,5，则满足这一关系的集合A的个数为______.

A1,2,3,4,5的集合A有：1,2,3、1,2,4、1,2,5、

1,2,3,4、1,2,3,5、1,2,4,5、1,2,3,4,5，共7个.

故答案为7. 【点睛】

本题考查集合个数的计算，一般列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

14．已知ab1.若logablogba【答案】6

【解析】根据题意，设tlogba，根据ab1得出t的范围，代入logablogba求出t的值，得到a与b的关系式，与abba联立方程组，即可求出a、b的值． 【详解】

由题意得，设tlogba，由ab1可得t1，代入logablogba5，abba，则ab__________． 2525，得 215t t2解得t2，即logba2ab 又abba，可得b2bba 即a2bb2 解得b2,a4 所以ab6． 故答案为6． 【点睛】

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2

本题主要考查对数的运算性质．

15．已知0x1,0y1，且4xy4x4y30，则___________. 【答案】412的最小值是xy42 3【解析】由4xy4x4y30，整理得(1x)(1y)1，设a1x,b1y，44ab1，

12422再化简，再结合44a4a13，结合基本不等式，即xy44a4a1可求解. 【详解】

因为4xy4x4y30，可得4xy4x4y41， 整理得(1x)(1y)1， 4设a1x,b1y，则4ab1，

又由0x1,0y1，则a1x0,b1y0 所以

12121218a124222xy1a1b1a111a4a11a4a144a4a1

4a又由44a4a13， 则

4214214(4a1)2(44a)()[44a4a1][6] 44a4a1344a4a1344a4a114(4a1)2(44a)642， [62]344a4a13当且仅当

4(4a1)2(44a)322，即a等号成立，

44a4a14所以1264242. 24xy331242所以的最小值是4.

xy3第 1 页 共 6 页

故答案为：4【点睛】

42. 3本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，合理化简和构造基本不等式的条件是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

四、双空题

16．已知不等式ax2bx10的解集为{x|3x4}，则实数a _________；函数yx2bxa的所有零点之和等于_________． 【答案】17

1212【解析】根据不等式解集，结合不等式与方程关系可求得参数a,b；代入函数解析式，即可由韦达定理求得零点的和. 【详解】

∵等式ax2bx10的解集为{x|3x4}， ∴x3,x4是方程ax2bx10的两个实根，

11则3412，解得a，

a12而两根之和7b7，解得b， a127， 12故函数yx2bxa的所有零点之和为b故答案为：【点睛】

17，． 1212本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由不等式解集确定参数值，属于基础题.

五、解答题

17．已知集合Ax2x5,Bxm1x2m1. （1）若ABA，求实数m的取值范围；

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

（2）当xR时，若AB，求实数m的取值范围.

【答案】（1）m3；（2）(,2)(4,)；

【解析】（1）由条件知BA，讨论B、B求m的范围，取并集即可； （2）由A【详解】

（1）由ABA知：BA， 当B时，m12m1得m2；

B分类讨论B、B，求m的范围即可；

m12当B时，2m15解得2m3；

m12m1综上，有：m3； （2）xR时，AB知：

当B时，m12m1得m2；

m152m12当B时，或，

m12m1m12m1解得m4；

∴m的取值范围为(,2)(4,)； 【点睛】

本题考查了集合，根据集合交、并结果判断集合间的关系求参数范围，属于基础题. 18．化简下列各式：

1（1）0.06452.52730；

82312lg2lg311. （2）

lnelg0.36lg1624【答案】（1）0；（2）1.

【解析】（1）根据分数指数幂的计算法则进行计算即可； （2）利用对数的运算法则求解. 【详解】

1解：（1）0.06452.527300.4382311232233133 10.4110；2第 1 页 共 6 页

2lg2lg3lg4lg3lg12lg121. 11（2）1lg0.6lg2lg10lg1.2lg12lnelg0.36lg1624【点睛】

本题考查指数幂的化简计算，考查对数式的化简运算，难度一般，解答时要灵活运用指数幂及对数的运算法则.

19．已知p:(x1)(2x)0,q:关于x的不等式x22mxm60恒成立 (1)当xR时q成立，求实数m的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) m3,2 （2）-107m 33【解析】（1）分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于0恒成立 （2）p是q的充分不必要条件可得p是q的真子集，再进行分类讨论即可 【详解】

22（1）由题可知4m4m240,mm60,3m2实数m的取值范

围是3,2

2（2）p:1x2，设A{x|1x2}，Bx|x2mxm60

p是q的充分不必要条件，A是B的真子集

① 由（1）知，3m2时，B=R，符合题意；

② m3时，Bxx6x90xx3，符合题意 ③m2时，Bxx4x40xx2，符合题意

2④m3或m2时，设f(x)x2mxm6,f(x)的对称轴为直线xm，由

22A是B的真子集得m1m2m1m2或,或，

f10f203m+703m+1007101071m或m2,m3或2m

3333107m 综上所述：-33【点睛】

复杂的二次函数问题，需要判断函数值域的情况下，需要进行分类讨论，根据对称轴、单调性及特殊点进行判断

20．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管

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员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6). （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低?

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为

900a(1x)元

x(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.

【答案】（1）4米；（2）(0，12).

【解析】（1）设甲工程队的总造价为y元，则y=900(x+解函数的最值即可； （2）由题意可得，900(x+

16)+7 200，利用基本不等式求x900a(1x)16)+7 200>对任意的x∈[2，6]恒成立，即可

xx9(x4)2a<=(x+1)++6恒成立，再利用基本不等式求解函数的最值即可

x1x1【详解】

（1）设甲工程队的总造价为y元， 则y=3(150×2x+400×

1216)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6)， xx900(x+

1616)+7 200≥900×2×x·+7 200=14 400. xx16，即x=4时等号成立. x当且仅当x=

即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元. （2）由题意可得，900(x+

900a(1x)16)+7 200>对任意的x∈[2，6]恒成立，即

xx(x4)2a(1x)， xx9(x4)2=(x+1)++6， ∴a<

x1x1又x+1+

99+6≥2(x1)+6=12， x1x1第 1 页 共 6 页

当且仅当x+1=

9，即x=2时等号成立， x1∴a的取值范围为(0，12).

【点睛】

此题考查基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 21．已知函数yxm1x4，区间A0,3，分别求下列两种情况下m的取

2值范围.

（1）函数y在区间A上恰有一个零点； （2）若x0A，使得y1成立. 【答案】（1）m10或m3；（2）m251． 3【解析】（1）分类讨论，（i）0或3是零点时；（ii）0和3都不是零点，在(0,3)上有唯一零点，用零点存在定理求解； （2）不等式y1变形为m1x【详解】

记f(x)x(m1)x4， （1）显然f(0)0，

（i）若(m1)160，则m3或5，

2255，求出x的最小值即可得． xxm5时，f(x)0的解为x1x22[0,3]， m3时，f(x)0的解为x1x22[0,3]，

（ii）若f(3)93(m1)40，则m不合题意；

（iii）f(0)40，f(3)133(m1)0，m综上，m106，此时f(x)的另一零点是[0,3]，3510， 310或m3； 32（2）即不等式x(m1)x41在[0,3]上有解，x0显然不是它的解，

x(0,3]，则m1x55，即m1x在(0,3]上有解， xx55x25, 设g(x)x，g(x)122xxx第 1 页 共 6 页

所以当0x增， 所以x5时，g(x)0，g(x)递减，当5x3时，g(x)0，g(x)递

5时，g(x)取得极小值也是最小值g(5)25，所以m125，

m251．

【点睛】

本题考查零点存在定理，考查不等式能成立问题，不等式恒成立与能成立问题都是要进行问题的转化，常常转化为求函数的最值，但要注意是求最小值还是求最大值． 22．已知a3，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，

p，pq，{ 其中min{p，q}=

q,pq.（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）； （ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）. 【答案】（Ⅰ）2,2a．（Ⅱ）（ⅰ）ma{0,3a22a4a2,a222．（ⅱ）

348a,3a4a{．

2,a4【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对x1和x1两种情况讨论Fx，进而可得使得等式Fxx2ax4a2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数fx2x1，

2gxx22ax4a2的最小值，再根据Fx的定义可得Fx的最小值ma；

（Ⅱ）分别对0x2和2x6两种情况讨论Fx的最大值，进而可得Fx在区间0,6上的最大值Ma． 试题解析：（Ⅰ）由于a3，故

当x1时，x2ax4a22x1x2a12x0，

22当x1时，x2ax4a22x1x2x2a．

2所以，使得等式Fxx2ax4a2成立的x的取值范围为2,2a．

2（Ⅱ）（ⅰ）设函数fx2x1，gxx2ax4a2，

2则fxminf10，gxmingaa4a2，

2第 1 页 共 6 页

所以，由Fx的定义知maminf1,ga，即

0,3a22，ma{

2a4a2,a22.（ⅱ）当0x2时，

Fxfxmaxf0,f22F2，

当2x6时，

Fxgxmaxg2,g6max2,348amaxF2,F6． 348a,3a4Ma{所以，．

2,a4【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．

【思路点睛】（Ⅰ）根据x的取值范围化简Fx，即可得使得等式

Fxx22ax4a2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数fx和gx的

最小值，再根据Fx的定义可得ma；（Ⅱ）根据x的取值范围求出Fx的最大值，进而可得Ma．

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