《贝努利不等式》

专题3 贝努利不等式的几个推论及应用

知识点：

贝努利不等式就是其中的一个重要不等式。在高中数学中有所应用，可作为教师的知识储备，在解决高中数学压轴题中具有指导作用。 一.概念

1x≥1nx （x＞1，n为正整数）． 当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立． 二.推论

1. （1） 设nN，n＞1，t＞0，则有

ntn≥ntn1， tn≥1nt1， 当且仅当t1时，取等号．

（2）的证明可由恒等式

n2n3n4tnntn1t1t2t3t2n2tn1

2 设a，＞0，nN，n＞1，则

an≥nn1an1n， 当且仅当a时，取等号．

证明 由（2）得，

aaann≥nnn1nn1an1n，当且仅当a时取等

号．

3 设a，b＞0，nN，n＞1，则

nanbn1nn1≥nan1b， n≥， 当且仅当ab时取等号． bn1aab证明 由（2）得，

nanaabnn1≥b≥nan1b， n1bbb1bbn11bnn1nn1≥，当且仅当ab时取等号． ≥nbaababa4 . 设a，b＞0，nN，n＞1，则

nn1n1a≤a， 当且仅当a1时（6）取等号．

nn证明

anan≥nnan1，所以na≤1n1．当且仅当a1时取等号． ann三、经典题组

题组1

1.已知m，n为正整数．

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x1时，1x≥1mx；

m11（Ⅱ）对于n≥6，已知1，求证：

n32m1,2,,n；

nnnm11，n32nm（Ⅲ）求出满足等式34n2n3的所有正整数n．

，an均为正数，nN，n＞1，则

nn2.（算术—几何平均值不等式）设a1，a2，

a1a2n

an≥na1a2an．

题组2

111251. 设x，y＞0，xy1，求证：xy≥．

xy42.设ai,bi0,i1,2,,n,kN，则

33ank1(a1a2an)k1a1k1a2k1． kk≥

b1kb2bn(b1b2bn)k

题组3

1.设a,b,c为正数，且满足abc1．试证

1113≥．

a3bcb3cac3ab22.设a1，a2，

，an，a，b，s均为正数，a1a2

kaks，n,kN，

n,k＞1，求证：naaib≤nkn1asbk．

i1

《大学数学在高考数学中漫步系列》

专题1.极限与洛必达

专题2.泰勒展开式的简析与应用 专题3.贝努力不等式

专题4.罗尔、拉格朗日中值定理 专题5.对数平均数

专题6.驻点、拐点、凹凸性