浅谈数学运算核心素养

浅谈数学运算核心素养

北仑明港高级中学 315800

数列与不等式综合问题是近几年浙江高考的热点和难点，也经常出现在省内各地的模拟卷上，学生往往拿不下此类题目，甚至不知从何处入手.本文以“数列和式不等式”为例，以数学运算的内涵为切入点，研究培养数学运算素养的对策.

一、理解运算对象，选择运算方法

例1.已知，求证：.

思路：发现：，联想：，代入：，裂项：.

例2.已知，若，求证：<.

思路：先分解：，取倒数：，再裂项：，后移项：.

例3.（2019年11月宁波“十校”第20题第2问）

已知，，求证：（）.

思路：变形：，裂项：，，求和：放缩：.

点评：上述三个例题的共同特点是运用了“裂项求和”方法，而学生不会做的障碍点在于认不清式子的结构，找不准变形的方向，得不到裂项的形式.因此，通过这三个例题的呈现，学生对可进行“裂项求和”的数列通项结构特征或者递推关系的特点都有更深刻和全面的认识，同时积累变形和裂项的基本技能.另外，学生也能领会到要证明“先求和后放缩”型的数列和式不等式，先要搞清楚数列通项的本质结构特征，运算对象的结构决定了运算方法和思路，不同的数列结构采用不同的求和方法.多题归一能帮助学生认清运算

对象的本质，也只有深刻理解了运算对象，才知道怎么处理，运算才有方向感，学生才能学会举一反三.

二、探究运算思路，掌握运算法则

例4.已知，求证：.

思路1：联系不等式：，运用可得：，发现问题：，而，调整放缩：保留第一项，从第2项起使用即可.

思路2：进行拆项：，从而可得：，发现问题：，而，重新拆项：，，调整放缩：，，求和可得：.

点评：学生不会证明本题的障碍点是找不到合适的放缩路径，不会调控放缩程度.通过本题让学生体会到要证明“先放缩后求和”型的数列和式不等式，先要根据数列通项的结构特征，找到一条合理的放缩路径，一旦出现放缩的结果还是超出了给定的界限时，一般可采取以下两种调控方式：第一、保持原来的放缩路径，前面保留若干项的原值，从其后项开始放缩；第二、改变放缩路径，控制放缩的程度，提高放缩的精准度.这番运算道理学生听得明白也想得通，但仍需适当地实践操作，直到会灵活应用为止.一题多解能拓展思维，有助于学生从不同视角探究运算思路，熟练掌握运算法则.

三、巧用逆向思维，设计运算程序

例5.已知，求证：.

思路：可先记：，是数列的前项和，运算得：，，等价于证明：，只要证明：，即证：由不等式：可知成立.

点评：根据已有的储备知识，学生知道关于的基本放缩结构：，只能证明出，会想到进行调控，比如：，但是不等式右边裂项后相邻项没出现重叠，导致无法累加相消.从已知条件出现证明结论有一定困难，就可以考虑运用逆向思维，从结果出发看看可以推出什么条件.通过观察不等的右边，可以把它看成某个新数列的前项和，从而求得，等价于两个数列通项大小的比较，即只需证明：.当然，本题也可以借助数学归纳法来证明，只是相比较利用逆向思维来说，运算量较大，颇耗时费力.因此，在日常教学过程中要渗透逆

向思维，优化运算思路，合理设计运算程序.